人教版八年级数学上册《角平分线的性质和判定》复习题.docx

角平分线内容及典型例题一 . 复习内容：1. 角平分线的作法2. 角平分线的性质及判定3. 角平分线的性质及判定的应用二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、 OB 于 C、D 两点；分别以 C、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P；过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求2. 角平分线的性质及判定（ 1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等推导已知： OC 平分 MON ， P 是 OC 上任意一点， PA OM ， PB ON，垂足分别为点 A 、点 B 求证： PA PB证明： PA OM ，PBON PAO PBO 90 OC 平分 MON 1 2在 PAO 和 PBO 中， PAO PBO PA PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）1如图所示，OP 平分 MON （ 1 2）， PA OM ， PB ON， PA PB（ 2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上推导已知：点 P 是 MON 内一点， PA OM 于 A ， PB ON 于 B，且 PA PB 求证：点 P 在 MON 的平分线上证明： 连结 OP在 RtPAO 和 Rt PBO 中， Rt PAO Rt PBO（ HL ） 1 2 OP 平分 MON即点 P 在 MON 的平分线上几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）如图所示，PA OM ， PB ON，PA PB 1 2（ OP 平分 MON ）3. 角平分线性质及判定的应用为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用例：一个工厂， 在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300 米在下图中标出工厂的位置，并说明理由4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系2三 . 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲， 它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现， 但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的【典型例题】例 1. 已知：如图所示， C C 90， AC AC 求证：（ 1） ABC ABC ；（ 2）BC BC （要求：不用三角形全等判定）分析： 由条件 C C 90， AC AC ，可以把点 A 看作是 CBC 平分线上的点，由此可打开思路证明： （1） C C 90（已知）， AC BC ，AC BC （垂直的定义）3又 AC AC（已知），点 A 在 CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） ABC ABC（ 2） C C， ABC ABC， 180（ C ABC ） 180（ C ABC）（三角形内角和定理）即 BAC BAC， AC BC ，AC BC， BC BC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性例 2. 如图所示，已知 ABC 中， PE AB 交 BC 于 E，PF AC 交 BC 于 F，P 是 AD 上一点，且 D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分 BAC ，并说明理由分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出 1 2，再利用平行线推得3 4，最后 用角平分线的定义得证解： AD 平分 BAC D 到 PE 的距离与到PF 的距离相等，点 D 在 EPF 的平分线上 1 2又 PE AB ， 1 3同理， 2 4 3 4， AD 平分 BAC 评析： 由角平分线的判定判断出 PD 平分 EPF 是解决本例的关键 “同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”例 3. 如图所示，已知 ABC 的角平分线 BM ，CN 相交于点 P，那么 AP 能否平分 BAC ？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段解： AP 平分 BAC 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点P 分别作 BC ，AC ， AB 的垂线，垂足分别是E、 F、 D4 BM 是 ABC 的角平分线且点P 在 BM 上， PD PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PF PE， PD PF AP 平分 BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）例 4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系（ 1）学校距铁路的距离是多少？（ 2）请写出学校所在位置的坐标分析： 因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点 P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号解： （ 1）点 P 在公路与铁路所夹角的平分线上，点 P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点 P 到公路的距离是400m，点 P（学校）到铁路的距离是400m（ 2）学校所在位置的坐标是（400， 400）评析： 角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等例 5. 如图所示，在 ABC 中， C 90， AC BC ，DA 平分 CAB 否在 AB 上确定一点 E，使 BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点若不能，请说明理由交 BC 于 D，问能E，并给出证明；分析： 由于点 D 在 CAB 的平分线上，若过点D 作 DE AB 于 E，则 DE DC于是有 BD DE BD DC BC AC ，只要知道 AC 与 AE 的关系即可得出结论解： 能过点 D 作 DE AB 于 E，则 BDE 的周长等于 AB 的长理由如下： AD 平分 CAB ， DC AC ，DE AB ， DCDE 在 RtACD 和 Rt AED 中， Rt ACD Rt AED （ HL ） AC AE 又 AC BC， AE BC BDE 的周长 BD DEBE BD DC BEBC BE AE BE AB 5评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系 本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化 这是初中几何中常用的一种数学思想【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上” 这两个结论后， 许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时， 不习惯直接应用这两个结论， 仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路6练习题一 . 选择题1. 如图所示， OP 平分 AOB ， PC OA 于 C，PD OB 于 D ，则 PC 与 PD 的大小关系是（ ）A. PC PDB. PC PDC. PC PDD. 不能确定2.在 Rt ABC中， C 90， AD 是角平分线，若BC 10， BD CD 3 2，则点 D到 AB 的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103.在 ABC 中， C 90， E 是 AB 边的中点， BD 是角平分线，且 DE AB ，则（）A. BCAEB. BC AEC. BCAED. 以上都有可能4. （2007 年浙江义乌）如图所示，点 P 是 BAC 的平分线 AD 上一点， PE AC 于点 E，已知 PE3，则点 P 到 AB 的距离是（）A.3B.4C.5D.65. 如图所示，在 ABC 中， C90， AD 平分 BAC ，AE AC ，下列结论中错误的是（ ）A. DC DEB. AED 90C. ADE ADCD. DB DC6.到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7.如图所示， ABC 中， C 90， AC BC ，AD 平分 CAB 交 BC 于 D， DE AB于 E，且 AB 6cm，则 DEB 的周长为（）A. 4 cmB. 6 cmC. 10cmD. 以上都不对78. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A 、B 、 C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点 P 是 CAB 的平分线上一点， PF AB 于点 F， PEAC 于点 E，如果PF 3cm，那么 PE_ 10. 如图所示， DB AB ，DCAC ，BD DC， BAC 80，则 BAD _ ， CDA _11. 如图所示， P 在 AOB 的平分线上，在利用角平分线性质推证PD PE 时，必须满足的条件是 _12. 如图所示，B C， AB AC ， BD DC，则要证明AD是 BAC的 _线需要通过_ 来证明如果在已知条件中增加B 与 C 互补后，就可以通过_来证明因为此时BD 与 DC 已经分别是 _的距离813. 如图所示， C 为 DAB 内一点， CD AD 于 D，CB AB 于 B，且 CD CB，则点 C 在_ 14. 如图所示，在 Rt ACB 中， C 90， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D（ 1）若 BC 8， BD 5，则点 D 到 AB 的距离是 _ （ 2）若 BD DC 3 2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长为 _15. （ 1） OP 平分 AOB ，点 P 在射线 OC 上，PD OA 于 D ，PE OB 于 E， _（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）（ 2） PD OA ， PE OB，PD PE， OP 平分 AOB （依据： _）三 . 解答题16. 已知：如图，在 Rt ABC 中， C 90， D 是 AC 上一点， DE AB 于 E，且 DE DC （ 1）求证： BD 平分 ABC ；（ 2）若 A 36，求 DBC 的度数17. 如图： ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， E、 F 分别为 AB 、AC 上的点，且 EDF BAF 180（ 1）求证： DE DF；（ 2）若把最后一个条件改为： AE AF ，且 AED AFD 180，那么结论还成立吗？18. 如图， 1 2， AE OB 于 E， BD OA 于 D， AE 与 BD 相交于点 C求证： ACBC 919. 如图所示，某铁路MN 与公路 PQ 相交于点O，且夹角为90，其仓库G 在 A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm（ 1）在图上标出仓库 G 的位置（比例尺为 110000，用尺规作图）（ 2）求出仓库 G 到铁路的实际距离四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（ 1）如图所示，以O 为圆心，任意长为半径画弧交OM 、 ON 于点 A 、B ；（ 2）以 O 为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM 、ON 于点 C、 D；（ 3）连接 AD 、BC 相交于点E；（ 4）作射线OE，则 OE 为 MON 的平分线你认为他这种作法对吗？试说明理由10