北京市海淀区高三数级第二学期期末练习.doc
北京市海淀区高三数学年级第二学期期末练习 数 学（理科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分考试时。120分钟.考试结束。将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题 共40分）注意事项 ：1答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。2选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）直线的倾斜角是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）某中学有高一、高二、高三学生共1600名，其中高三学生400名.如果用分层抽样的方法从这1600人中抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是 （ ）(A)20 (B)40 (C) 60 (D)80 （3）函数的反函数是（ ） （A） （B） （C） （D） （4）函数与在同一直角坐标系下的图象是 （ ） （A） (B) (C) (D)（5）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ）（A）若与l所成的角相等，则 （B）若g与a，b所成的角相等，则a/b （C）若与a所成的角相等，则 （D）若a/b， a, 则(6) 若an=（）, 则 （ ） （A） （B） （C） （D）（7）已知集合A满足条件：若，则，那么集合中所有元素的乘积为（ ） (A) (B) (C) (D) （8）双曲线的左、右焦点分别为，点（）在其右支上，且满足，则的值是 （ ） （A） （B） （C） （D） 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学（理科） 2008.05第II卷（共110分）注意事项 ：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号一二三总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分数二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）已知映射，集合A中元素x在对应法则f作用下的象为，那么A中元素的象是 .（10）集合,B=x| |x-2|<3,= .（11）在等差数列中，若，则= .（12）设圆关于直线对称的圆为C,则圆C的圆心坐标为 ;再把圆C沿向量 a=(1,2)平移得到圆D,则圆D的方程为 .（13）在棱长为的正方体中， 分别为棱和的中点，则线段被正方体的内切球球面截在球内的线段长为_.日（14）中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日“ ”）的对角线走.例如马从方格中心点O走一步，会有8种走法. 则从图中点A走到点B，最少需_步，按最少的步数走，共有_种走法.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.(15)（本小题共12分） 设函数,其中向量, , （I）求的值及函数的最大值； （II）求函数的单调递增区间. （16）（本小题共14分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，动点P在棱A1B1上，() 求证：PDAD1；() 当A1P=A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值； () 当A1P=A1B1时，求点C到平面D1DP的距离. （17）（本小题共13分）某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动. A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个. 假定参赛者答对每个题的概率均为.（I） 求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；（II） 设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为，求E.（18）（本小题共13分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7.（I）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程;（II）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，当时，求的面积. （19）（本小题共14分） 已知：函数（）. （I）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求a； （II）设的导函数是,在（I）的条件下.若，求的最小值；（）若存在，使，求a的取值范围.（20）（本小题共14分）已知函数，满足：对任意，都有；对任意都有.（I）试证明：为上的单调增函数；（II）求；（III）令，试证明：.海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理科） 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案DBA CDCBC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9） （10） 或 （11） （12） , （13） （14）4，8三、解答题（本大题共6小题,共80分.）(15) （共12 分）解：（I），= 2分 4分= . 5分又 6分 函数的最大值为. 7分当且仅当（Z）时，函数取得最大值为.（II）由（Z）， 9分得 （Z）. 11分函数的单调递增区间为(Z). 12分 (16) （共14分）解法一：（I）证明：连结A1D,在正方体AC1中, A1B1平面A1ADD1, A1D是PD在平面A1ADD1 内的射影. 2分 在正方形A1ADD1中， A1D AD1, PDAD1. 4分 解(II) 取中点，连结，则/. 平面，平面.为在平面内的射影.则为CP与平面D1DCC1所成的角. 7分在中， 与平面D1DCC1所成的角的正弦值为. 9分 （III）在正方体AC1中，.平面内，平面.点到平面的距离与点C1到平面的距离相等.又平面，面，平面平面.又平面平面，过C1作C1H于H，则C1H平面.C1的长为点C1到平面的距离. 12分 连结C1 ，并在上取点,使/.在中，得.点到平面的距离为. 14分 解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 由题设知正方体棱长为4，则、. 1分 （I）设,. 3分 , . 4分 （II）由题设可得， , 故. ， 是平面的法向量. 7分 . 8分 与平面D1DCC1所成角的正弦值为. 9分（III），设平面D1DP的法向量，.则，即令，则. 12分点C到平面D1DP的距离为. 14分（17）（共13分）解（I）设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M， 1分依题意，答对一题的概率为，则P(M)= 3分=. 4分（II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数=1,2,6, 5分则， ， . 11分所以，的分布列是123456P 设，则 , E=. 13分 答：某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为；某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为，E为.（18）（本小题共13分）解；如图，建立直角坐标系，依题意：设椭圆方 程为（a>b>0）， 1分（I）依题意： 4分 椭圆M的离心率大于0.7，所以.椭圆方程为. 6分 （II）因为直线l过原点与椭圆交于点，设椭圆M的左焦点为.由对称性可知，四边形是平行四边形.的面积等于的面积. 8分，.设，则 10分. 11分. 13分（19）（共14分）解：（I） 1分 据题意， 3分 （II）由（I）知,则.x-+5分 对于，最小值为. 6分的对称轴为，且开口向下，时，最小值为与中较小的.，当时，的最小值是-7.当时，的最小值为-7. 7分的最小值为-11. 8分（）若上单调递减.又 11分 若从而在（0，上单调递增，在，+上单调递减. 据题意， 14分综上，的取值范围是（3，+）.（20）（共14分） 解：（I）由知，对任意，都有，由于，从而，所以函数为上的单调增函数. 3分（II）令，则，显然，否则，与矛盾.从而，而由,即得.又由（I）知，即.于是得，又，从而，即. 5分进而由知，.于是, 7分,由于,而且由（I）知，函数为单调增函数，因此.从而. 9分（III）,，.即数列是以6为首项, 以3为公比的等比数列 . . 11分 于是,显然, 12分另一方面,从而. 综上所述, . 14分 说明：其他正确解法按相应步骤给分.
