例谈三角恒等式证明策略.doc

例谈三角恒等式的证明策略三角恒等式的证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），证明的常用策略有：化繁为简；左右归一；化差为零；等价化归等，不论采用什么证明方法，都有要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口。下面举例说明，希望对同学们的期末复习有所帮助。策略一：化繁为简例1 分析：从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角化简到右边。 证明：左式= 右边点评：化繁为简是三角恒等式证明最最基本的原则，这种繁简型三角恒等式的证明的关键是仔细观察等式左右三角函数式中的角、函数名以及结构之间的差异，消除差异，寻求角、名、式的统一即可。策略二：左右归一例2 求证：分析：左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值，因而得证。证明：左式=右边所以左边右边，故等式成立。点评：对于左右结构相当分数型三角恒等式，左右归一，通过化归转化，将问左右两边通过化简成相同的三角式。当然“寻求角与函数名的统一”是证明的关键。策略三：化差为零例3、 求证：分析：左式右式，通过运用同角三角函数公式及等公式的化简，得左式右式，从而得左式右式，即得证。证明：左边-右边=0所以左边-右边点评：对于结构较为复杂的分数型三角恒等式，利用作差法证明可从形式上起到简化的目的，将问题转化为证明分数中的分子为零即可。策略四：等价变换例4、 求证：分析：先转换命题，只须证：，再利用角的关系：可证得结论。证明：两边同除上，得.点评：等价变换是证明三角恒等式最常见的方法，主要考查学生三角变换的能力。特别适用于左右结构比较悬殊三角恒等式的证明，一般而言，变角变名是常用的技巧。策略五、整体换元例5、求证： +=分析：不难发现左右结构形式繁简相差较为悬殊且角不变，不妨令cos2=a ，利用同角关系将恒等式左边表示成的关于“”的代数式，化简整理还原即可。证明：令cos2=a，则sin2=1a，tan2=，从而左边=+=+=.点评：本题通过换元，使三角函数式得以简化，从而将问题转化为代数式的证明问题，构思巧妙，值得借鉴。一般地当所求问题的条件或结论中的各项次数较高时，可用“换元法”达到降次的目的，这是简化问题的最佳策略。策略六：巧妙构造例6、已知、为锐角，且，求证：分析：要证明角相等，则必须转化为证角对的同名三角函数值相等，为此可设法构建三角函数，再通过已知条件挖掘性质即可解决。证明：构造函数，由条件，知，当时， 故，且，由此又均为锐角，则，即证 点评：本题证法新颖别致，通过构造函数模型，利用函数的有关性质巧妙地寻找到条件与结论间的逻辑关系，从而全部问题得以巧妙解决。