2016上海市高考数学试卷及答案(理数).docx

2016年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1计算：3-i=（i为虚数单位）.1+i2若集合A=x|2x+1>0，B=x|x-1<2，则AIB=.3函数f(x)=2sinxcosx-1的值域是.4若n=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.25在(x-)6的二项展开式中，常数项等于.x26有一列正方体，棱长组成以1为首项，1为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则lim(V1+V2+L+Vn)=.n7已知函数f(x)=e|x-a|（a为常数）.若f(x)在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是.8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为.9已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=.10如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角la=p.若将l的极坐标方程写成r=f(q)的形式，则6OMax12在平行四边形ABCD中，A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别f(q)=.11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.p是边BC、CD上的点，且满足|BM|CN|=|BC|CD|，则AMAN的取值范围是.13已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0).2函数y=xf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为.D14如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.C二、选择题（本大题共有4题，满分20分）AB15若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）（A）b=2,c=3.（B）b=-2,c=3.（C）b=-2,c=-1.（D）b=2,c=-1.16在DABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则DABC的形状是（）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17设10x<x<x<x104，x=105.随机变量x取值x、x、x、x、x的123451123452、x4+x5、2的概率也为0.2.概率均为0.2，随机变量x取值x1+x2、x2+x3、x3+x42222若记Dx、Dx分别为x、x的方差，则1212x5+x1（）100中，正数的个数是（）（A）DxDx.（B）DxDx.（C）DxDx.121212（D）Dx与Dx的大小关系与x、x、x、x的取值有关.12123418设a=1sinnp，S=a+a+L+a.在S,S,L,Snn25n12n12（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PPA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，EAD=22，PA=2.求：AD（1）三角形PCD的面积；（6分）B（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）C20已知函数f(x)=lg(x+1).（1）若0<f(1-2x)-f(x)<1，求x的取值范围；（6分）（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)=f(x)，求函数y=g(x)(x1,2)的反函数.（8分）21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：失事船的移动路径可视为抛物线y=12x2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救49援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.yP（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时O两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）Ax22在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2-y2=1.1（1）过C的左顶点引C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成11的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：1OPOQ；（6分）（3）设椭圆C:4x2+y2=1.若M、N分别是C、C上的动点，且OMON，212求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）23对于数集X=-1,x,x,L,x，其中0<x<x<L<x，n2，定义向量集12n12nY=a|a=(s,t),sX,tX.若对于任意aY，存在aY，使得aa=0，则称X1212具有性质P.例如X=-1,1,2具有性质P.（1）若x2，且-1,1,2,x，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,L,xn的通项公式.（8分）1计算：=1-2i（i为虚数单位）.2016年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）3-i1+i2若集合A=x|2x+1>0，B=x|x-1<2，则AIB=(-1,3).23函数f(x)=2sinxcosx-1的值域是-5,-3.224若n=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）.25在(x-)6的二项展开式中，常数项等于-160.x26有一列正方体，棱长组成以1为首项，1为公比的等比数列，体积分别记为7.V1,V2,Vn,，则lim(V1+V2+L+Vn)=n87已知函数f(x)=e围是(-,1.|x-a|（a为常数）.若f(x)在区间1,+)上是增函数，则a的取值范8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为3p.39已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=-1.10如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角lsin(p-q).a=p.若将l的极坐标方程写成r=f(q)的形式，则6f(q)=16OMax12在平行四边形ABCD中，A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是2（结果用最简分数表示）.3p是边BC、CD上的点，且满足|BM|CN|=|BC|CD|，则AMAN的取值范围是2,5.13已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0).2函数y=xf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为5.414如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.D若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为C常数，则四面体ABCD的体积的最大值是2ca2-c2-1.3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）AB15若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（B）（A）b=2,c=3.（B）b=-2,c=3.（C）b=-2,c=-1.（D）b=2,c=-1.16在DABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则DABC的形状是（C）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.2、x4+x5、2的概率也为0.2.100中，正数的个数是（D）17设10x<x<x<x104，x=105.随机变量x取值x、x、x、x、x的12345112345概率均为0.2，随机变量x取值x1+x2、x2+x3、x3+x4x5+x12222若记Dx、Dx分别为x、x的方差，则（A）1212（A）DxDx.（B）DxDx.（C）DxDx.121212（D）Dx与Dx的大小关系与x、x、x、x的取值有关.12123418设a=1sinnp，S=a+a+L+a.在S,S,L,Snn25n12n12（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PPA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，EAD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）AD（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）B所以三角形PCD的面积为1223=23.6分C解（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.3分因为PD=22+(22)2=23，CD=2，z2P（2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1,2,1)，AE=(1,2,1)，BC=(0,22,0).8分设AE与BC的夹角为q，则AEDyAEBC=4=，q=p.CB|AE|BC|x222cosq=224412分由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是p解法二取PB中点F，连接EF、AF，则PEFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角8分在DAEF中，由EF=2、AF=2、AE=2知DAEF是等腰直角三角形，FAED所以AEF=p.4因此异面直线BC与AE所成的角的大小是p420已知函数f(x)=lg(x+1).BC12分3（1）若0<f(1-2x)-f(x)<1，求x的取值范围；（6分）（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)=f(x)，求函数y=g(x)(x1,2)的反函数.（8分）2-2x>0解（1）由，得-1<x<1.x+1>0由0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2-2x<1得1<2-2x<10.3分x+1x+12因为x+1>0，所以x+1<2-2x<10x+10，-<x<1.33-1<x<1由得-2<x<1.6分-2<x<1333（2）当x1,2时，2-x0,1，因此y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x).10分由单调性可得y0,lg2.因为x=3-10y，所以所求反函数是y=3-10x，x0,lg2.14分21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：失事船的移动路径可视为抛物线yy=12x2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救49援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.P（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）Ox解（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）7，代入抛物线方程y=12x2A249中，得P的纵坐标yP=3.2分由|AP|=9492，得救援船速度的大小为949海里/时.4分30，故救援船速度的方向由tanOAP=723+12=730，得OAP=arctan730弧度.6分为北偏东arctan7（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2).由vt=(7t)2+(12t2+12)2，整理得v2=144(t2+1)+337.10分因为t2+12，当且仅当t=1时等号成立，t2t2所以v21442+337=252，即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.14分22在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2-y2=1.1（1）过C的左顶点引C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成11的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：1OPOQ；（6分）（3）设椭圆C:4x2+y2=1.若M、N分别是C、C上的动点，且OMON，212求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）解（1）双曲线C:x2-y2=1，左顶点A(-2,0)，渐近线方程：y=2x.1122过点A与渐近线y=2x平行的直线方程为y=2(x+2)，即y=2x+1.2y=-2xx=-2解方程组，得4.2分2y=2x+1y=1所以所求三角形的面积1为S=1|OA|y|=2.4分28（2）设直线PQ的方程是y=x+b.因直线与已知圆相切，故|b|=1，即b2=2.6分2由y=x+b2x2-y2=1，得x2-2bx-b2-1=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则112x+x=2b2xx=-b2-1.又2，所以OPOQ=xx+yy=2xx+b(x+x)+b212121212=2(-b2-1)+b2b+b2=b2-2=0，故OPOQ.10分（3）当直线ON垂直于x轴时，2，则O到直线MN的距离为3.|ON|=1，|OM|=2当直线ON不垂直于x轴时，3设直线ON的方程为y=kx（显然|k|>22），则直线OM的方程为y=-1x.k4x2+y2=1y2=y=kx由x2=，得14+k2k24+k21+k2，所以|ON|2=.4+k2同理|OM|2=1+k2.13分2k2-1设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2，3.所以1d2=1|OM|2+1|ON|2=3k2+3k2+1=3，即d=3具有性质P.例如X=-1,1,2具有性质P.综上，O到直线MN的距离是定值.16分23对于数集X=-1,x,x,L,x，其中0<x<x<L<x，n2，定义向量集12n12nY=a|a=(s,t),sX,tX.若对于任意aY，存在aY，使得aa=0，则称X1212（1）若x2，且-1,1,2,x，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,L,xn的通项公式.（8分）解（1）选取a=(x,2)，Y中与a垂直的元素必有形式(-1,b).2分11所以x=2b，从而x=4.4分（2）证明：取a=(x,x)Y.设a=(s,t)Y满足aa=0.111212由(s+t)x=0得s+t=0，所以s、t异号.1因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，故1X.7分假设x=1，其中1<k<n，则0<x<1<x.k1n选取a=(x,x)Y，并设a=(s,t)Y满足aa=0，即sx+tx=0，11n2121n则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1.若s=-1，则2，矛盾；若t=-1，则x=sx<sx，矛盾.n1n所以x1=1.10分（3）解法一猜测x=qi-1，i=1,2,n.12分i记A=-1,1,x,L,x，k=2,3,n.k2k先证明：若A具有性质P，则A也具有性质P.k+1k任取a=(s,t)，s、tA.当s、t中出现-1时，显然有a满足aa=0；1k212当s-1且t-1时，s、t1.因为A具有性质P，所以有a=(s,t)，s、tA，使得aa=0，k+121111k+112从而s和t中有一个是-1，不妨设s=-1.111假设tA且tA，则t=x.由(s,t)(-1,x)=0，得s=txx1k+11k1k+1k+1k+1sA矛盾.所以tA.从而A也具有性质P.15分k1kkk+1，与现用数学归纳法证明：x=qi-1，i=1,2,n.i当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，A=-1,1,x,L,x有性质P，则x=qi-1，i=1,2,k；k2ki当n=k+1时，若A=-1,1,x,L,x,x有性质P，则A=-1,1,x,L,xk+12kk+1k2k也有性质P，所以Ak+1=-1,1,q,L,qk-1,x.k+1取a=(x,q)，并设a=(s,t)满足aa=0，即xs+qt=0.由此可得s与t1k+1212k+1中有且只有一个为-1.若t=-1，则1，不可能；所以s=-1，xk+1=qtqqk-1=qk，又xk+1>qk-1，所以xk+1=qk.=-t2解法二设a=(s,t)，a=(s,t)，则aa=0等价于1s2.综上所述，x=qi-1x=qi-1，i=1,2,n.18分iis11122212t1记B=s|sX,tX,|s|>|t|，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于t原点对称.14分注意到-1是X中的唯一负数，BI(-,0)=-x,-x,L,-x共有n-1个数，23n所以BI(0,+)也只有n-1个数.xn-1<xn-2<L<x2<x1，已有n-1个数，对以下三角数阵由于xnxnxnxnxnxn-1<xnxn-2<L<xnx2<xnx1xn-1<xn-2xn-1xn-3<L<xn-1x1x2x1x1>L>x1=，所以xnxn-2=L=x1，从而数列的通项公式为注意到xnx1>xn-1x2xn-1xn-1x2x=x(x2)k-1=qk-1，k=1,2,n.18分k1x1