人教版高中数学总复习[知识梳理简单的线性规划(基础).docx

精品文档用心整理简单的线性规划【考纲要求】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。【知识网络】简单的线性规划不等式（组）的应用背景二元一次不等式（组）表示的区域简单应用【考点梳理】【不等式与不等关系394841知识要点】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式Ax+By+C>0(0)或Ax+By+C<0(0)表示的平面区域的基本步骤：画出直线l:Ax+By+C=0（有等号画实线，无等号画虚线）；当C0时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当C=0时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域。简称：“直线定界，特殊点定域”方法。考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.要点诠释：判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号资料来源于网络仅供免费交流使用作图，找出可行域运动求出最优解精品文档用心整理即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.考点三：线性规划的有关概念：线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by(a，bR)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解要点诠释：在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；所求的目标函数是有约束（限制）条件的；必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。考点四：解线性规划问题总体步骤：设变量找约束条件，找目标函数变要点诠释：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务【典型例题】类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域例1画出3x+y-3<0所表示的平面区域.【解析】资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理举一反三：，【变式1】下面给出四个点中，位于x+y-1<0表示的平面区域内的点是（x-y+1>02)0)-0)(0，(-2，(0，2)(2，【答案】C【变式2】(x+2y+1)(x-y+4)0表示的平面区域为（）【答案】B；原不等式可转化为x+2y+10ABCDx+2y+10x-y+40或x-y+40【变式3】画出不等式2x+y-4>0表示的平面区域。【解析】先画直线2x+y-4=0（画成虚线）.取原点(0,0)代入2x+y-4得20+0-4=-4<0,原点不在2x+y-4>0表示的平面区域内，不等式2x+y-4>0表示的区域如图：例2画出下列不等式组表示的平面区域。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理x<3x+y22x+y33x+2y6x0（1）；（2）；（3）.x02yxx+2y3x+2y42y<x+6y0y0【解析】（1）（2）（3）举一反三：【变式1】用平面区域表示不等式(x+y-1)(x-y+4）0【解析】3x-2y-2>0,【变式2】求不等式组x+4y+4>0,的整数解。2x+y-6<0【解析】如图所示，作直线l:3x-2y-2=0，l:x+4y+4=0，l:2x+y-6=0，123在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,1)，(2,1)，(3,1)即为原不等式组的整数解。类型二：图解法解决简单的线性规划问题.【不等式与不等关系394841基础练习一】资料来源于网络仅供免费交流使用例3设变量x,y满足约束条件x-y-1，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）y1【解析】由约束条件x-y-1可知可行域如图：y1精品文档用心整理x+y3A12B10C8D2x+y3【变式1】已知x+y-40，求；2x-y-50平移y=-2x知在A(2,1)处取得最大值z=10答案：B举一反三：x-y+20(1)z=x+2y-4的最大值；(2)z=2y+1x+1的范围.【解析】作出可行域如图,并求出顶点坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理yx+y-4=0AC2x-y-5=0Bx0x-y+2=0(1)将C(7,9)代入z得最大值21;21(2)z=21y-(-)表示可行域内一点到定点Q(-1,-)的斜率的2倍,x-(-1)2QA=7QB=,因为k3,k48x-y+2m037z的范围是,.42x+y-204例4.(2015重庆高考)若不等式组x+2y-20，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的3值为()A.-3B.1C.43D.3若表示的平面区域为三角形，由x+y-2=0得即A(2,0)由x-y+2m=0解得即B(1-m,1+m)x-y+2m=0由解得即C32-4m2+2my=2+2m【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：x=2x+2y-2=0y=0则A(2,0)在直线x-y+2m=0的下方，即2+2m>0则m>-1则A(2,0)，D(-2m,0)x=1-mx+y-2=0y=1+m2-4mx=,x+2y-2=0333则三角形ABC的面积资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理SDABC=SDADB-SDADC=12ADy-yBC=(2+m)1+m-23=(1+m)1+m-=即(1+m)1+m=即(1+m)2=4解得m=1或m=-3(舍去)故选B.【变式】(2015山东高考)已知x,y满足约束条件x+y2，若z=ax+y的最大值为4，则a=()y012+2m32+2m43433举一反三：x-y0A.3B.2C.-2D.-3【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)则A(2,0)，B(1,1)若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4,解得a=2.此时，目标函数为z=2x+y即y=-2x+z平移直线y=-2x+z，当直线经过A(2,0)时，截距最大，此时z最大值为4，满足条件.若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4解得a=3此时，目标函数为z=3x+y即y=-3x+z平移直线y=-3x+z，当直线经过A(2,0)时，截距最大，此时z最大值为6，不满足条件.故a=2，故选B.类型三：实际应用问题中的线性规划问题.例5.（2016天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料ABC肥料资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理甲乙4585310现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.()用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；.()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润4x+5y2008x+5y360【解析】（）解：由已知x,y满足的数学关系式为3x+10y300，该二元一次不等式组所表示的区域x0y0_y8_x+5y=360M_10_x_O_104_x+5y=200_x+10y=300为图1中的阴影部分。（）解：设利润为z万元，则目标函数z=2x+3y，所以由图可知，当直线z=2x+3y经过可行域中的点M时，z的值最大.解方程组得点M的坐标为M(20，24)，所以z3x+10y=3004x+5y=200max=220+324=112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.举一反三：【变式1】某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种A产品B产品劳动力（个）310煤（吨）94电（千瓦）45已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元资料来源于网络仅供免费交流使用则，目标函数z=7x+12y4x+5y200精品文档用心整理3x+10y3009x+4y360x0,y0作出可行域，如图所示，作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，此直线经过点M（20，24）故z的最优解为（20，24），z的最大值为720+1224=428（万元）。资料来源于网络仅供免费交流使用