平面向量数量积的物理背景及其含义教案.doc
平面向量数量积的物理背景及其含义教案课题：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4一、教学目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。二、教学重、难点教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义 2、性质与运算律及其应用教学难点：1、平面向量数量积的概念 2、 平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明三、教学过程活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 活动二：探究数量积的概念SF1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1） 数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos（2）定义说明：记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。4、学生讨论，并完成下表：的范围0<90=900<180的符号5、研究数量积的几何意义（1）给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积等于的长度与在的方向上的投影cos 的乘积。活动三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较与的大小，你有什么结论？ 2、请证明上述结论。 设和b都是非零向量，则 1、 =0 2、当与同向时，=；当与反向时，= -， 特别地，=2或= 3、3、明晰：数量积的性质活动四：探究数量积的运算律 1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？预测：学生可能会提出以下猜想： = （）= () （ + ） = + 2、分析猜想：猜想的正确性是显而易见的。关于猜想的正确性，请同学们先来讨论：猜测的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测是不正确的。 3、明晰：数量积的运算律：已知向量、 、和实数，则：（1）= （2）（）=（)= （）（3）（ + ）= + 4、学生活动：证明运算律2在证明时，学生可能只考虑到>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当<0时，向量与，与的方向的关系如何？此时，向量与及与的夹角与向量与的夹角相等吗？5、师生活动：证明运算律（3）活动五：应用与提高1、学生独立完成：已知=5,=4, 与的夹角=120，求2、师生共同完成：已知=6，=4, 与的夹角为60，求（+2 ）（-3），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3、学生独立完成：对任意向量 ，b是否有以下结论：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 224、师生共同完成：已知=3，=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？5、反馈练习1、判断下列各题正确与否：、若0，则对任一非零向量，有0、若0，则2、已知ABC中，=, =，当 <0或0时，试判断ABC的形状。活动六：小结1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？3、本节课主要采用了什么研究方法？4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？布置作业： 1、课本P121习题2.4A组1、2、3。2、拓展与提高：已知与都是非零向量，且+3 与7 -5垂直，-4与 7-2垂直，求与的夹角。（本题供学有余力的同学选做）教学设计说明 平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。在小结这个环节中，我主要是让学生从知识技能、思想方法两个方面对本节课的内容进行全面回顾总结，达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。 以上就是我对本节课设计的简单说明。
