浙教版初中数学八年级下册《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解.docx

精品文档用心整理特殊平行四边形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2.理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：S矩形长宽判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半要点二、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.资料来源于网络仅供免费交流使用3面积：S菱形底高精品文档用心整理对角线对角线24判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：S正方形边长边长1=2对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、（2016春常州期末）如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AEBC，DEAB试说明：（1）AE=DC；（2）四边形ADCE为矩形（【思路点拨】1）根据已知条件可以判定四边形ABDE是平行四边形，则其对边相等：AE=BD结合中点的性质得到AE=CD；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论【答案与解析】资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理证明：（1）如图，AEBC，AEBD又DEAB，四边形ABDE是平行四边形，AE=BDD为BC的中点，BD=DC，AE=DC；（2）AECD，AE=BD=DC，即AE=DC，四边形ADCE是平行四边形又AB=AC，D为BC的中点，ADCD，平行四边形ADCE为矩形【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论2、如图所示，在矩形ABCD中，AB6，BC8将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入AEF中，由折叠可知CDCF，DEEF，易得AC10，所以AF4，AE8-EF，然后在AEF中利用勾股定理求出EF的值【答案与解析】解：设EFx，由折叠可得：DEEFx，CFCD6，又在ADC中，AC=62+82=10资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理AFACCF4，AEADDE8x在AEF中，AE2=AF2+EF2，即(8-x)2=42+x2，解得：x3EF3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF的面积是_cm2【答案】5.1.提示：由题意可知BFDF，设FCx，DF5x，在RtDFC中，DC2+FC2=DF2，解得x，BFDE3.4，则S523.435.1.81=DEABEF12类型二、菱形3、（2015遵义）在RtABC中，BAC=90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（）求证：AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积【答案与解析】（1）证明：AFBC，AFE=DBE，E是AD的中点，AD是BC边上的中线，AE=DE，BD=CD，在AFE和DBE中，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理，AFEDBE（AAS）；（2）证明：由（）知，AFEDBE，则AF=DBDB=DC，AF=CDAFBC，四边形ADCF是平行四边形，BAC=90，D是BC的中点，E是AD的中点，AD=DC=BC，四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，RTABC斜边BC边上的高也为h，BC=DC=BC=h=，菱形ADCF的面积为：DCh=10【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由ADBC，ABCD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AEBC于E，CFAB于FCFBAEB90AECF（纸带的宽度相等）ABECBF，ABECBF,ABBC,四边形ABCD是菱形.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且ABCD下列结论：EGFH，1四边形EFGH是矩形，HF平分EHG，EG（BCAD），四边形EFGH是2菱形其中正确的个数是（）A1B2C3D4EF1【答案】C；【解析】解：E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，111CD，FGAB，GHCD，HEAB，2222ABCD，EFFGGHHE，四边形EFGH是菱形，EGFH，正确；四边形EFGH是矩形，错误；HF平分EHG，正确；当ADBC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，连接CD，延长EG到CD上一点N，EN11BC，GNAD，221EG（BCAD），只有ADBC时才可以成立，2而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；四边形EFGH是菱形，正确综上所述，共3个正确故选C【总结升华】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与ABCD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键类型三、正方形5、如图，在四边形ABCD中，ABBC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M，N（1）求证：ADBCDB；（2）若ADC90，求证：四边形MPND是正方形资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（【思路点拨】1）问通过证明三角形全等来证明角相等；（2）先证明四边形MPND是矩形，再证明一组邻边相等，从而证明四边形MPND是正方形.【答案与解析】证明：(1)BD平分ABC，ABDCBD.又BABC，BDBD，ABDCBD.ADBCDB.(2)PMAD，PNCD，PMDPND90，又ADC90，四边形MPND是矩形.ADBCDB，PMAD，PNCD，PMPN.四边形MPND是正方形.【总结升华】熟记正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形.6、如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AEEF根据正方形的性质推出ABBC，BADHADDCE90，推出HACEF，根据HEB是以B为直角的等腰直角三角形，得到BHBE，H45，HACE，根据CF平分DCE推出HFCE，根据ASA证HAECEF即可得到答案【答案与解析】探究：AEEF证明：BHE为等腰直角三角形,HHEB45，BHBE.又CF平分DCE，四边形ABCD为正方形，资料来源于网络仅供免费交流使用FCE12精品文档用心整理DCE45，HFCE.由正方形ABCD知B90，HAE90DAE90AEB,而AEEF，FEC90AEB，HAEFEC.由正方形ABCD知ABBC，BHABBEBC，HACE,AHEECF（ASA）,AEEF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式1】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为_形此时四边形EFGH为平行四边形，且EH1(1)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是菱形(2)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是矩形(3)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是正方形在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线ACBD，1BD，HGAC，得EHGH，22故四边形EFGH为菱形(2)ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形易得GHBD，即GHEH，故四边形EFGH为矩形(3)ACBD且ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形】【变式2（2015黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E若CBF=20，则AED等于度资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】65.提示：ABE=90-20=70，由正方形的性质知，BAC=45，AEB=180-45-70=65，由正方形的对称性可知，AED=AEB=65.资料来源于网络仅供免费交流使用