运用相似三角形解题的方法.doc

运用相似三角形解题的方一、寻找法例1：如图1，在ABC中，AB=AC，D是ABC的外接圆的上任一点，连结AD、BD求证：分析：要证，可利用相似三角形，怎样找相似三角形呢？比的前项BE和AE是ABE的两条边，比的后项BD和AB是ADB的两条边，所以我们只要证明ABEADB就可以了证明：AB=AC ABE=C， D=C，ABE=D，又BAD=BAEABEADB如果这个题的结论是改成证明，则应该把等式左边比的前项和后项看成一个三角形的两条边，而把等式右边的前项和后项看成另一个三角形的两条边；或者交换比例内项的位置也可以二、构造法有时，题目里面没有现成的相似三角形，就需要添线构造了例2：如图2，AD是ABC的高， AE是ABC的外接圆直径求证：ABACADAE分析：ABACADAE改成比例式就是，根据寻找法需要证明ABEADC，但图形中没有ABE，因此需要连结BE，构造出ABE，然后证明相似就可以了构造法是平面几何中一种十分重要的方法，不仅在相似形中用得着，而且在其它方面应用也非常广泛三、过渡法有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明1、等线段过渡法例3：如图3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E求证：DE2BECE分析：DE2BECE改成比例式为，但线段DE、BE、CE在同一直线上，构造不出相似三角形因EF垂直平分AD，连结AE，则有DEAE，要证的比例式可化为由此只需要证明ABECAE即可2、等比过渡法例4：如图4，在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F求证：分析：显然此题不能找出直接得到这个比例式的两个相似三角形但由已知条件易证，这就转化为证明比例式只须证明AFDDFB即可3、等积过渡法例5：如图5，在ABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BEAG，垂足为E，交CD于点F求证：CD2DFDG分析：CD2DFDG中的线段CD、DF、DG位于同一条直线上，按常规方法难以奏效考虑到CD是RtABC斜边AB上的高，可得CD2ADBD，因此可转化为证明ADBDDFDG这可由ADGFDB证得四、假借法例6：如图6，从圆外一点P作切线PA，从PA的中点B作割线BCD，连结PC、PD，分别交圆于E、F求证：FEPA分析：要证FEPA，当然会想到证明E=BPC，因为D=E，自然也可以想到证明D=BPC问题是，怎么证明这两个角相等从图形上不难看出D是BPD的内角，BPC是BCP的内角，因此，若能证明这两个三角形相似，问题就可以解决了由切割线定理得BA2BCBD，所以BP2BCBD，改成比例式为，又PBC是公共角，所以这两个三角形确实相似接着就不难证明FEPA了利用相似三角形证明垂直，方法与证平行差不多，我们也举一例例7：如图7，BD、CE分别是ABC的高，点O是ABC外接圆的圆心求证：AODE证明：延长AO交O于点F，连结CF，则ACF=90.AEC=ADB=90, BAC=BAC,ADBAEC.ADEABC.ADE=ABC.FFAC=90，F=ABC，ADEFAC=90，AODE.五、分拆法例8：如图8，P是等边三角形ABC的外接圆的上的一点求证：PA2AB2PBPC分析：由已知条件，不难得出ADBABP，从而AB2PAAD，因此要证原式成立，只需要证明PA2PAAD PBPC，因为AD是PA的一部分，因此我们可以把PA分成AD和PD两部分，则PA2PA（ADPD）PAAD PAPD，下面证明PAPDPBPC可以通过证明PACPBD而得到六、转换法例9：如图8，P是等边三角形ABC的外接圆的上的一点，PA交BC于点D求证：分析：可以转换为，要证明这个等式，关键是要把两个比换成后项相同，而前项之和恰好等于后项注意到PDBCDA，PDCBDA，所以，问题就转化为证明，因为ABACBC，上式又可以转化为，这个等式的成立是显而易见的运用相似三角形解题的方法是平面几何中最为有效的方法之一，其关键是寻找相似的三角形简单的图形一眼就能看出来，稍为复杂的图形，还要将条件和结论联系起来，按照上述所列举的方法，综合考虑