信号与系统系统的时域分析课件.ppt

信号与系统系统的时域分析,信号与系统,第二部分 连续时间系统的时域分析,$ 微分方程的建立与经典求解 (2.2-2.3),$ 连续时间LTI系统的响应 (2.5) 零输入响应 零状态响应,$ 连续时间系统的冲激响应 (2.6),$ 卷积积分及其性质 (2.7-2.9),$ 用算子符号表示微分方程 (2.10),$ 起始点的跳变 (2.4),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,重点与难点,1. 系统微分方程的建立与求解,注意走出陷入解题技巧的误区,着重物理概念的理解,处理好复习与提高的关系,2. 初始条件的确定,3. 卷积积分,4. 系统的全响应,经典法: 齐次解+特解,难点,学习中,卷积法: 零输入响应+零状态响应,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,一、微分方程建立的两类约束电路系统,1.来自连接方式的约束:kvl与kcl,与元件的性质无关；,$ 微分方程的建立与经典求解 (2.2-2.3),* 电阻：,2.来自元件伏安关系的约束:与元件的连接无关。,* 电容：,* 电感：,* 耦合电感V-I关系,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,耦合电路中的V-I关系,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例1 对下图所示电路,分别列写出电压v0(t)的微分方程表示式。（P86 2-1）,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,解：,对图中所示电路列写网孔电流方程，得,又,整理得,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,对图中所示的双耦合电路，列写电路微分方程得,整理得,练习 P86 2-1 2-2 2-3,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,二、微分方程的求解（经典法）,& 经典法所求微分方程的全解即系统的完全响应y(t) = 齐次解yh(t) + 特解yp(t),齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定,特征根是不等实根 S1，S2，S3，Sn,特征根是相等实根 S1=S2=S3= =Sn=S,特征根是成对共轭复根 Si=iji，i=n/2,高数知识，自己复习,固有频率 （自然频率）,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,齐次解yh(t)的形式,特征根是不等实根 S1，S2，S3，Sn,特征根是相等实根 S1=S2=S3= =Sn=S,特征根是成对共轭复根 Si=iji，i=n/2,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,常用激励信号对应的特解形式（P51 表2-3）, Ci、Di的求解为yp(t)代入方程, 两边系数匹配求得,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程,，初始条件y(0)=1，,解 1)求齐次方程 的齐次解yh(t),特征方程为,特征根为,齐次解yh(t),2)求非齐次方程 的特解yp(t),由输入f(t)的形式,设特解yp(t)=Ce-t,y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,将特解代入原微分方程,即可解得C=1/3,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,由初始条件y(0)=1, y (0)=2,3)求方程的完全解y (t),解得,全解,通解(自由响应),特解(强迫响应),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,思考：1)若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)， 则系统的完全响应 y(t) =？ 2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y (0)=1, 则系统的完全响应 y(t) = ？,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须重新求解。 若初始条件发生变化，则须重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统 响应的物理概念。,卷积法,信号与系统系统的时域分析,$ 起始点的跳变 0- 0+ (2.4),信号与系统,1.系统的状态：系统在 t=t0 时刻的状态是一组必须知道的最少量数据，利用这组数据和系统模型以及tt0的激励信号，就能够完全确定t0以后任何时刻的响应。,以0-表示激励接入之前的瞬时 以0+表示激励接入之后的瞬时,信号与系统系统的时域分析,信号与系统, 起始状态r(k)(0-)：它决定了yzi在激励接入之前的瞬时t=0- 系统的状态，它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息。, 初始状态rzs(k)(0+)：跳变量，它决定了yzs在激励接入之后的瞬时t=0+系统的状态。, 初始条件r(k)(0+)：它决定了完全响应。,三者之间的关系：r(k)(0+) = rzs(k)(0+) + r(k)(0-),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,2.初始条件的确定,若电容电流有界,若电感电压有界,时不变,时变, 冲激匹配(平衡)法,换路定律,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例2 已知电路如图所示，且iL(0-)=1A，vC(0-)=10V， 求ih(t)。,解得 ih(t)=K1e-2t+K2e-3t t0,解:由电路有,ih(t)=K1e-2t+K2e-3t t0,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,所以 ih(t)=12e-2t+13e-3t t0,5+i(0+) +10=0,iL(0+)=iL(0-)=1A, vC(0+)= vC(0-)=10V,5i(0+)+i(0+)+vC(0+)=0,解得标准初始条件为 i(0+)=1 A 及 i(0+)=-15 A/s,ih(t)=K1e-2t+K2e-3t t0,0+电路方程,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,问题：当系统已经用微分方程表示时，如何由系统 的0-状态求0+状态？,系统的0-状态0+状态是否有跳变？,取决于微分方程右端是否包含(t)及其各阶导数,不含(t)及其各阶导数，0-0+状态无跳变: r(0+) =r(0-),含(t)及其各阶导数，0-0+状态有跳变:,冲激平衡法,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,分析：右端含 ，可以推测 必定含 ， 进而推出 包含 ； 左端： + ，右端： 不平衡 因此 必须包含 和 说明 在t=0时刻有 存在， 所以有,如 系统用微分方程 描述，已知 系统的起始状态r(0-)，求r(0+)。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,冲激平衡法数学方法： 不妨设 两端积分 将式(2)(3)代入式(1)得,(1),(2),(3),解得,所以有,练习 P86 2-5,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,$ 连续时间LTI系统响应的时域求解 (2.5),经典时域分析方法：齐次解+特解,卷积法,& 零输入响应求解,& 零状态响应求解,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,：求解齐次微分方程,：卷积积分,y(t)=yzi(t)+yzs(t)=yzi(t)+f(t)*h(t),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,一、系统的零输入响应,* 数学模型：,系统的零输入响应 是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,* 求解方法：,根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式； 再由初始条件确定待定系数。,类似经典法的齐次解求解方法,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为:,系统的初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，求 系统的零输入响应yzi(t)。,解 零输入响应，即f(t)=0,特征方程为,零输入响应,微分方程变为齐次方程,特征根为,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,零输入响应,由初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，有,解得,练习 已知某线性时不变系统的动态方程式为:,系统的初始状态为y(0-) = 2，y(0-) =-1， 求系统的零输入响应yzi(t)。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,待定系数确定的时间不同：,思考：经典法中齐次解与零输入响应解法一样， 它们有什么区别？,齐次解求出全响应之后再求系数； 零输入响应求出零输入响应后立刻求。,注意 题目中的条件 起始点的变化0- 0+,待定系数确定的条件不同：,齐次解初始条件y(0-) ； 零输入响应起始状态y(0+) 。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,二、系统的零状态响应,系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应，用yzs(t)表示。,* 求解yzs(t)的方法：,直接求解初始状态为零的微分方程；,卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路, 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合；, 求出单位冲激信号(t)作用在系统上的响应 单位冲激响应h(t)；, 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信 号f(t)激励下系统的零状态响应yzs(t)。,回顾：用冲激函数表示连续时间信号,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,* 方法：利用系统的单位冲激响应h(t)以及LTI系 统的时不变性、比例性及积分特性求yzs(t)。,(t)h(t),(t-)h(t-),f()(t-)f()h(t-),f(t) ,这种求解响应的方法称为时域法；也称卷积法。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例3 某LTI系统的动态方程为: 系统的冲激响应h(t) = 2e-3t u(t), f(t) = 3u(t),试求系统的零状态响应yzs(t)。,思考：如何真正求解出yzs(t)？ 卷积的计算 若h(t)未知，又该如何求解h(t)呢 ？,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,与激励模式相同的响应为受（强）迫响应,由系统特征根决定模式的响应为自然（由）响应,随着时间增长而消失的响应是瞬态响应,随时间增长不会消失的响应是稳态响应,系统全响应= 自由响应 + 强迫响应 = 零输入响应 + 零状态响应 = 瞬态响应 + 稳态响应,三、LTI因果系统的全响应分解,如 已知f(t)=u(t)，y(t)=yzi(t)+yzs(t) =(1+3te-t)u(t) = u(t)+3te-tu(t),信号与系统系统的时域分析,y(t)=齐次解 + 特解 yh(t) yp(t),自由响应,强迫响应,强调解的形式有谁决定,零输入响应 (由y(0-), y(0-),决定),零状态响应 (松弛状态),* yzi是自然（由）响应；,* yzs既可是受（强）迫响应，也可能是自然（由）响应。,信号与系统,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例 ,已知,求:自由响应, 强迫响应, 零输入响应, 零状态响应,自由响应,齐次方程,特征方程,输入,强迫响应,则,代入方程,完全响应,得,自由响应,强迫响应,由,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,另一解法,零输入响应,由,得,零状态响应,由,得,完全响应,零输入响应自由响应,零状态响应强迫响应,注意:,一般零输入响应求解容易, 零状态响应求解较难,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,$ 连续时间系统的冲激响应 (2.5),* 连续时间系统的冲激响应定义,* 冲激平衡法求冲激响应,* 连续系统的阶跃响应,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,一、连续时间系统的冲激响应定义,在系统初始状态为零的条件下，冲激信号d(t)激励系统所产生的响应，称为系统的冲激响应，用h(t) 表示。,N 阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,二、冲激平衡法求系统的单位冲激响应,由于t 0+后,方程右端为零,故,* nm 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数，即,将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ki，Aj,* nm 时,齐次解,重根与复数根，齐次解形式与前一样,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例1 某LTI系统的动态方程式为:,试求系统的冲激响应。,解 因为nm，所以有,方程特征根 ，所以,上式代入原方程得,解得,所以系统的冲激响应,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例2 某LTI系统的动态方程式为:,试求系统的冲激响应。,解 因为n=m，所以有,方程特征根 ，所以,上式代入原方程得,解得,所以系统的冲激响应,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,* 冲激平衡法小结, 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式； 由动态方程右边d (t)的最高阶导数与方程左边 h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项。,练习：P88 2-9求冲激响应部分。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,三、连续系统的阶跃响应,例3 某LTI系统的动态方程式为:,试求系统的阶跃响应。（条件同例1）,* 求解方法：, 求解微分方程； 利用冲激响应与阶跃响应的关系,解 由例1知系统的单位冲激响应,所以系统的阶跃响应,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,* 卷积积分的计算,$ 卷积积分的计算及性质 (2.7-2.9),交换律、分配律、结合律、平移特性、展缩特性,* 卷积积分的性质,* 奇异信号的卷积积分,延迟特性、微分特性、积分特性、等效特性,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,一、卷积积分的计算,* 卷积定义（连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分）,LTI系统,LTI系统,LTI系统,LTI系统,f(t),LTI系统,卷积积分定义,单位冲激响应,y(t),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,* 卷积的计算步骤,(2) h(t)h(t- )，包括两部分运算:,(1) f(t)f()，函数图形不变，仅t 。, 折叠h(t)h()h(- )； ,(3) 将折叠移位后的图形h(t- )与f()相乘； f(t)h(t),(4) 求h(t- )与f()相乘后其非零值区的积分（面积）。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,(1) t<0,(2) t0,* 直接按定义求,*图解法,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例2,求卷积,t,f(t), f(),1,0,T,t,h(t), h(),2T,0,2T,h(-),2T,0,-2T,h(t-),2T,t,t-2T,(1) t<0, y(t)=0,h(t-),2T,t,t-2T,h(t-),2T,t,t-2T,2T,t,t-2T,f()h(t-),2T,t,t-2T,f()h(t-),T,0,0,(2) t0, t<T, 即 0<t<T,(3) tT, t-2T<0, 即 T<t<2T,T,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,2T,t,t-2T,2T,t,t-2T,h(t-),h(t-),2T,t,t-2T,2T,t,t-2T,f()h(t-),f()h(t-),T,(4) t-2T0, t-2T<T, 即2T<t<3T,(5) t-2TT, 即t3T, y(t)=0,T,思考:f(t)反褶?,t,f(t),1,0,T,t,h(t),2T,0,2T,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,卷积积分区间确定成对求和规则,(1) 建立f(t), h(t)的范围边界点,(2) 构成它们的成对和(用一个信号的每个值加上 另一个信号的每个值),(3) 按上升次序排列成对和, 并舍去重复值,如 上例中,边界 f(t): (0, T) h(t): (0, 2T),成对和 (0, 2T, T, 3T),排序 (0, T, 2T, 3T),成对和 (-2T, -T, T, 2T, 2T, 3T),又如 信号边界 f(t): (-2T, T, 2T) h(t): (0, T),舍去重复项并排序 (-2T, -T, T, 2T, 3T),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,例3,t,f(t),1,-0.5,0.5,t,h(t),1,-0.5,0.5,t,1,-1,1,y(t)=f(t)h(t),成对和(-1, 0, 1),t,f(t),1,-3,1,t,h(t),1,-1,1,成对和(-4, -2, 0, 2),2,-4,2,t,y(t)=f(t)h(t),-2,结论:两个等宽矩形卷积结果为三角形 两个不等宽矩形卷积结果为梯形,0,练习：P89 2-13(1)(4)、2-14,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,3)结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ),4)平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2),1)交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t),2)分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t)= f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t),5)展缩特性,二、卷积的性质,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,证明：,4)平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2),5)展缩特性,证明：,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,=u(t)*u(t) - u(t-1)*u(t) - u(t)*u(t-2) + u(t-1)*u(t-2) = r(t) r(t -1) - r(t-2) + r(t-3),解,例4 利用平移特性及u(t) * u(t)= r(t) ，计算y(t)=f(t) * h(t)。,y(t) = f(t) * h(t) = u(t) - u(t-1) * u(t) - u(t-2) ,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,4)积分特性,5)等效特性,2)延时特性 f (t) * (t -T) = f (t -T),3)微分特性 f (t) * (t) = f (t),三、奇异信号的卷积,1) f (t) * (t) = f (t),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,练习 计算下列卷积积分。,例5 利用等效特性，计算y(t) = f (t) * h(t)。,四、卷积的应用,(自学为主),P89 2-13(4)、2-14,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,(自学为主),$ 用算子符号表示微分方程 (2.10),作用：将微分方程转换为算子方程，可以简化计算，类似特征方程， P表示微分运算，1/P表示积分运算，如,* 几点说明：,注意：算子P和1/P只是运算符号。,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,算子运算符合一般的运算规律，但,根据电路直接写算子方程，简化运算过程；电路中电感的感抗用LP表示，电容容抗用1/CP，如,算子的乘除顺序不能随意颠倒，即,方程两边不能随意约分，即,信号与系统系统的时域分析,信号与系统,传输（转移）算子定义,经常用到 ，已知H(P)求h(t).,例6 P92 2-24,(1),(2),(3),信号与系统系统的时域分析,信号与系统,总 结,1. 初始条件的确定,2. 系统响应求解微分方程的建立与求解,3. 卷积积分,4. 系统全响应的分解,经典法: 齐次解yh+特解yp,卷积法: 零输入响应yzi +零状态响应yzs,电路分析,单位冲激匹配法,单位匹配法求h(t),5. 算子方程及应用,