南充高中自主招生考试数学试题.doc

南充高中2011年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷（顺庆校区）（考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 第卷（选择.填空题）一、选择题（每小题5分，共计20分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）1、已知，且，则的值为A. B. C. D. 2、若为正数，已知关于的一元二次方程有两个相等的实根，则方程的根的情况是（ ）A、没有实根 B、有两个相等的实根 C、有两个不等的实根 D、根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为A B C D3 4、下图的长方体是由A，B，C，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是 二、填空题（每小题5分，共计60分，请将答案填到答题卷的相应位置处）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得 2分若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题6、已知O的直径AB=20，弦CD交AB于G，AG>BG,CD=16,AECD于E，BFCD于F，则AE-BF为 7、如图，两个反比例函数y 和y 在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PCx轴于点C，交C2于点A，PDy轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为8、若二次方程组 有唯一解，则k的所有可能取值为9、设正ABC的边长为2，M是AB中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别s为和t，则10、在ABC中，AC=2011,BC=2010, 则11、已知为实数且，则=12、已知RtABC的三个顶点A、B、C均在抛物线上，且斜边AB平行于x轴，设斜边上的高为h，则h的取值为13、方程的正根个数为14、已知,若 的值为2011，则 15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2 的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB= 4作PQR使得R=90，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么PQR的周长等于/线封密 姓名_ 初中就读学校_ 考号_第卷（答题卷）一、选择题：(每小题5分，共计20分)题号1234答案二、填空题：(每小题5分，共计60分)5_6_7_ 8_9_10_ 11_12_13_ 14_15_16_ 三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)17.(本小题10分) 能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。18. (本小题12分) 如图是一个长为400米的环形跑道，其中，为跑道对称轴上的两点，且，之间有一条50米的直线通道甲乙两人同时从点出发，甲按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到时沿直线通道跑回点处，假设两人跑步的时间足够长求：（1）如果，那么甲跑了多少路程后，两人首次在点处相遇；（2）如果，那么乙跑了多少路程后，两人首次在点处相遇AB甲乙甲乙19. (本小题12分) 已知：如图，BD为O的直径，点A是劣弧BC的中点， AD交BC于点E，连结AB. （1）求证：； （2）过点D作O的切线，与BC的延长线交于点F， 若AE=2，ED=4，求EF的长20. (本小题12分) 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡的坡角AEF=23，量得树干的倾斜角为BAC=38,大树被折断部分和坡面所成的角ADC=60,AD=4m。（1）求DAC的度数；（2）求这棵大树折点C到坡面AE的距离？（结果精确到个位，参考数据：，）C6038BDE23AF21. (本小题12分) 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（，）。（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.22. (本小题12分) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为60的射线l，在l上取点B，使AB=4k (k为正整数)，并在l下方作ABC =120，BC=2OA ，线段AB，OC的中点分别为D，E（1）当m=4，k=1时，直接写出B，C两点的坐标；（2）若抛物线的顶点恰好为D点，且DE=，求抛物线的解析式及此时cosODE的值； （3）当k=1时，记线段AB，OC的中点分别为D1，E1；当k=3时，记线段AB，OC的中点分别为D3，E3，求直线的解析式及四边形的面积（用含m的代数式表示）南充高中2011年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷（顺庆校区）（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）参考答案一、选择题：(每小题5分，共计20分)题号1234答案BDBA二、填空题：(每小题5分，共计60分)5_17_6_12_7_ k1k2 _ 8_1_9_10_ 11_12_1_13_0_ 14_2或3_15_16_ 三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)17.(本小题10分) 能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。解：不能填。2分理由如下：设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d；则有 6分得 即因为： c d，只能是c = -d 同理可得 因为 c b ,只能c = -b 比较，得b=d ,与已知bd矛盾，所以题设要求的填数法不存在。10分AB甲乙甲乙18. (本小题12分) 如图是一个长为400米的环形跑道，其中，为跑道对称轴上的两点，且，之间有一条50米的直线通道甲乙两人同时从点出发，甲按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到时沿直线通道跑回点处，假设两人跑步的时间足够长求：（1）如果，那么甲跑了多少路程后，两人首次在点处相遇；（2）如果，那么乙跑了多少路程后，两人首次在点处相遇解：（1）设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是因乙跑回到A点处，所以应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，此时，甲跑过的路程为40015=6000（米）故甲跑了6000米后，两人首次在A点处相遇.6分 （2）设乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米时，两人首次在B处相遇，设甲、乙两人的速度分别为，由题意可得，即 所以，即，的最小值为2与4此时，乙跑过的路程为2504+200=1200米故乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇.12分19. (本小题12分) 已知：如图，BD为O的直径，点A是劣弧BC的中点， AD交BC于点E，连结AB. （1）求证：； （2）过点D作O的切线，与BC的延长线交于点F， 若AE=2，ED=4，求EF的长（1）证明：如图4 点A是劣弧BC的中点， ABCADB2分 又 BADEAB， ABEADB4分 6分 （2）解： AE=2，ED=4， （舍负）8分 BD为O的直径， A= 又 DF是O的切线， DFBD. BDF=在RtABD中， ADB= ABC=ADB=.DEF=AEB=， F = DEF是等边三角形 EF=DE=412分20. (本小题12分) 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡的坡角AEF=23，量得树干的倾斜角为BAC=38,大树被折断部分和坡面所成的角ADC=60,AD=4m。（1）求DAC的度数；C6038BDE23AFHG（2）求这棵大树折点C到坡面AE的距离？（结果精确到个位，参考数据：，）解：（1）延长交于点在中，3分又，5分（2）过点作，垂足为6分在中，7分，8分在中，9分，10分（米）即这棵大树折断前高约10米12分21. (本小题12分) 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（，）。（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；(第21题)Q（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.解：（1）设抛物线为. 抛物线经过点（0，3），. 抛物线为.3分 (2) 答：与相交 4分证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.5分 设与相切于点，连接，则. ，. 又，.6分 .7分 抛物线的对称轴为，点到的距离为2. 抛物线的对称轴与相交. 8分(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点。可求出的解析式为.设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 12分22. (本小题12分) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为60的射线l，在l上取点B，使AB=4k (k为正整数)，并在l下方作ABC =120，BC=2OA ，线段AB，OC的中点分别为D，E（1）当m=4，k=1时，直接写出B，C两点的坐标；（2）若抛物线的顶点恰好为D点，且DE=，求抛物线的解析式及此时cosODE的值； （3）当k=1时，记线段AB，OC的中点分别为D1，E1；当k=3时，记线段AB，OC的中点分别为D3，E3，求直线的解析式及四边形的面积（用含m的代数式表示）解：（1）B点的坐标为，1分 C点的坐标为3分 （2）当AB=4k，时，OA=m，与（1）同理可得B点的坐标为，C点的坐标为如图8，过点B作y轴的垂线，垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G，两条垂线的交点为H，作DMFH于点M，ENOG于点N 由三角形中位线的性质可得点D的坐标为，点E的坐标为 由勾股定理得 DE=， m=4 5分 D恰为抛物线的顶点，它的顶点横坐标为 ， 解得k=1 此时抛物线的解析式 7分此时D，E两点的坐标分别为， ， OD=OE=DE 此时ODE为等边三角形，cosODE= cos60=8分（3）E1，E3点的坐标分别为，E3 设直线的解析式为（a0） 则 解得 直线的解析式为 9分 可得直线与y轴正方向的夹角为60. 直线，与y轴正方向的夹角都等于60， D1，D3两点的坐标分别为， 由勾股定理得=4，=4 四边形为平行四边形设直线与y轴的交点为P，作AQ于Q（如图9） 可得点P的坐标为 12分