因式分解(高级篇)十字相乘【优课细讲】.ppt

边城高级中学 张秀洲,十字相乘法分解因式,知识结构,因式分解常用方法,提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 ,一、提公因式法,只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,二、公式法,只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。,常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式） 2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) （立方和公式） 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,三、十字相乘法,前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）,暂且称为p、q型因式分解,一、计算：,(x+p)(x+q)= x+(p+q)x+pq,下列各式是因式分解吗？观察左右两边你有什么发现？,例1：因式分解,或,步骤：,竖分二次项与常数项,交叉相乘，积相加,检验确定，横写因式,十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）,顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。,首尾分解，交叉乘， 求和凑中，因式横。,试一试：,小结：,用十字相乘法把形如,二次三项式分解因式使,（顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱）,x+(p+q)x+pq,x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),练一练：,小结：,用十字相乘法把形如,的二次三项式分解因式,当pq0时，pq分解的因数p、q( ) 当pq<0时， pq分解的因数p、q( ),同号,异号,将下列各式分解因式,x+(p+q)x+pq,x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),选择题： 以下多项式中分解因式为 的多项式是（ ）,C,试将,分解因式,提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。,独立练习：把下列各式分解因式,巩固练习,将下列多项式因式分解 (1)x2+3x-4 (2)x2-13x+42 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18 (6)x4+13x2+36,(2x+3)(x+4) = 2x2+11x+12,2x 1x,3 4,2x4+1x3=11x,观察发现,结果中一次项系数是分解后十字交叉相乘所得的和,(2x+3)(x- 4) = 2x2-5x+12,2x 1x,3 -4,2x（-4）+1x3=-5x,观察发现,结果中一次项系数是分解后十字交叉相乘所得的和,试因式分解6x2+7x+2。 这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。,既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。,(ax+b) (cx+d)=,所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。,ac,ad+bc,bd,= 17,3 x2 + 11 x + 10,6 x2 + 7 x + 2,2 3,1 2,4,+ 3,= 7,6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2),1 3,5 2,2,+ 15,= 11,1 3,2 5,5,+ 6,3x2+11x+10=(x+2)(3x+5),(ax+b) (cx+d) =,ac,ad+bc,bd,= 6,5 x2 6 xy 8 y2,试因式分解5x26xy8y2。 这里仍然可以用十字相乘法。,1 5,2 4,4, 10,5x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y),简记口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中。,十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）,全课总结,1、十字相乘法,（借助十字交叉线分解因式的方法）,2、用十字相乘法把形如x2 + px+q 二次三项式分解因式,3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之间的符号关系,q0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同,当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同,练一练,将下列各式用十字相乘法进行因式分解,（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 15x 18 ( 3 ) 6x2 - 3x 18 ( 4 ) 8x2- 14xy + 6y2,作业,把下列各式分解因式,（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10 x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy 5y2 ( 4 ) 4x2- 18x + 18 ( 5 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab ac) + (bd cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c),还有别的解法吗？,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,四、分组分解法,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab + bd) (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a + d) (b c),四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) = (x+1)(x2x+1)(x2+x+1),立方和公式,回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1x2) = (x+1)(x2+1)2x2 = (x+1)(x2+x+1)(x2x+1),*五、拆项、添项法,怎么结果与刚才不一样呢？,因为它还可以继续因式分解,拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。,五*、拆项添项法,因式分解 x4 + 4,解：原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2+2)2 (2x)2 = (x2+2x+2)(x22x+2),完全平方公式,平方差公式,六、配方法,配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。,因式分解 a2b2+4a+2b+3 。,解：原式 = (a2+4a+4) (b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3),配方法 (拆项添项法)分组分解法,完全平方公式,平方差公式,七*、待定系数法,试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。,通过十字相乘法得到 (2x3y)(x+3y) 设原式等于 (2x3y+a)(x+3y+b) 通过比较两式同类项的系数可得： 解得： ，原式 = (2x3y+4)(x+3y+5),待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。,= 3,= 14,10,+ 4,2 x2 + 3 xy 9 y2 + 14 x 3 y + 20,八、双十字相乘法,双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。,因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。,2 1,3 3,6, 3,4 5,= 3,12, 15,原式 = (2x3y+4)(x+3y+5),人要是行，干一行，行一行， 一行行，行行行， 要不是不行，干一行，不行一行， 一行不行，行行不行。,综合训练(一),48,43,综合训练(二),综合训练(二),2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解后的结果是( )。 A. (yz)(x+y)(xz) B. (yz)(xy)(x+z) C. (y+z)(xy)(x+z) D. (y+z)(x+y)(xz) 3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。,A,综合训练(三),-12,6,x2+x-2=(x+2)(x-1)，2x4-3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x-1)整除，设商是A则2x4-3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x-1)，则x= -2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0当x=-2时，2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0 当x=1时，2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0a=-12，b=6,综合训练(三),0,64,总结训练(一),总结训练(一),8,总结训练(二),总结训练(二),解：x4+199x2+1996x+1997 =（x2+ax+1)(x2+bx+1997) =x4+(a+b)x3+(ab+1998)x2+(1997a+b)x+1997 所以a+b=0，ab+1998=1997，1997a+b=1996 解得a=1 b=-1 所以x4+1997x2+1996x+1997 =(x2+x+1)(x2-x+1997),总结训练(二),解：原式=x4+1997x2+1997x-x+1997=(x4-x)+(1997x2+1997x+1997)=x(x3-1)+1997(x2+x+1)=x(x-1)(x2+x+1)+1997(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2-x+1997),