数学建模论文 助学贷款问题.doc

目录一.摘要22. 问题的重述 2.1背景2 2.2问题23. 问题的分析34. 建模过程4.1基本假设44.2定义符号说明44.3模型建立与求解44.4模型检验与分析65. 模型的评价与改进10六.参考文献12助学贷款问题一.摘要 国家助学贷款是由政府主导、财政贴息、财政和高校共同给予银行一定风险补偿金，银行、教育行政部门与高校共同操作的专门帮助高校贫困家庭学生的银行贷款。本文就D题给出的小杨应当采用哪种还款方式他偿还贷款的金额最少问题进行研究，展开讨论、分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解。对于两种还款方式选择，实际上他还有两种选择，一：小杨经过宽限期再开始还款;二：小杨一毕业第二年就开始还款。因此本文将对两种还款方式分别进行两种讨论，建立出对应的模型，偿还贷款的金额最少时即为最优解，最后进行编程和求解。 关键词：助学贷款 还款方式 还贷金额 最优解2. 问题的重述2.1背景 国家助学贷款是党中央、国务院在社会主义市场经济条件下，利用金融手段完善我国普通高校资助政策体系，加大对普通高校贫困家庭学生资助力度所采取的一项重大措施。国家助学贷款是由政府主导、财政贴息、财政和高校共同给予银行一定风险补偿金，银行、教育行政部门与高校共同操作的专门帮助高校贫困家庭学生的银行贷款。借款学生不需要办理贷款担保或抵押，但需要承诺按期还款，并承担相关法律责任。借款学生通过学校向银行申请贷款，用于弥补在校学习期间学费、住宿费和生活费的不足，毕业后分期偿还。2.2问题小杨是南华大学的一名2011级大一的新生，因为家境的原因决定申请助学贷款，大学期间需要借贷20000元。已知助学贷款的申请是一年之中最少申请1000元，最高不能超过6000元，借款期限最低为6年，最长为14年，可以在大学期间接连申请，在大学就读期间贷款所产生的利息由国家（或地区）支付，每年的12月20日为还款期，从毕业时的6月20号到次年的12月20日为宽限期，宽限期内只需自付利息，不需偿还本金。宽限期结束后次年的12月20日除自付利息外开始等额还本，贷款期限最后一年的12月20日要求全部还清。小杨2015年6月20号大学毕业，想在2020年将钱款全部还清。小杨决定在大学期间每年6月20日申请助学贷款5000元，还款结止日期为2020年12月20日，现在有两种还款方式供选择。1、申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。2、申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。请用数学建模的方法分析，小杨应当采用哪种还款方式他偿还贷款的金额最少？ 附：贷款利率表（调整时间：2011.7.7） 三.问题的分析 由题意可知，目的就是为了建立数学模型，找出偿还贷款的金额最少值这个最优解。这是一个优化问题，这就是说在不同的约束条件下，只要建模合理，答案可以是多种。建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于等额本息还款方式和等额本金还款方式，我们根据货币等值原理，分别建立了与之对应的模型，然后根据题中说给的数据，分别求解出两种方式的还款额，并得到最优解。四.建模过程4.1模型假设4.1.1小杨在大四毕业的时在衡阳找到一份稳定的工作4.1.2贷款利率都按小杨进校时第一笔贷款利率计算4.1.3小杨按时还款4.2定义符号说明Kx每年等额还款额。 P贷款本金。Rx年利率。 Ax宽限期所付利息。Tx选择此种方式最终需还本利总和。 Nx贷款年限。Y月薪负担。B月薪负担率。角标11贷款方式1还款方式1。角标12贷款方式1还款方式2。角标21贷款方式2还款方式1。角标22贷款方式2还款方式2。4.3模型建立与求解小杨有两种贷款方式选择: 1：申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。 2：申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。实际上他还有两种还款时间选择： （1）：小杨经过宽限期再开始还款。 （2）：小杨一毕业第二年就开始还款。等额本息还款法模型的建立 小杨选择申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。根据定义其计算公式可表示为： P(1+R)NK(1+R)N-1K(1+R)N-2K(1+R)N-3K=0模型的讨论.小杨选择过了宽限期才开始还款2015年6月20日小杨毕业，宽限期截止到2016年12月20日，此阶段他只需自付利息，A11=P（R）2+P（R）。算得A11=200000.07052+200000.0705=2250（元）。2017年：P（1+R）K11。2018年：（P（1+R)K11）（1+R）K11。2019年：（P（1+R)K11）（1+R）K11(1+R）K11。2020年：（P（1+R)K11）（1+R）K11(1+R）K11（1+R)K11。 按照小杨原定目标2020年12月20日他应该是还清了最后一笔钱，此时他欠款为零。即（P(1+R)K11)（1+R)K11(1+R)K11(1+R)K11=0 计算得K11=5911.23（元）。所以小杨若选择（申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清）这种方式他将为此支付T11=K114+A11 =5911.234+2250 =25894.92（元）。小杨选择毕业第二年就开始还款 半年宽限期需要支付：A12=200000.07052=705（元）按照计算公式：P(1+R)（5）K12(1+R）（4）K12(1+R)（3）K12(1+R)（2）K12(1+R)1K12=0 解得K12=4884.35（元）他需要一共支付T12=K12+A12=4884.355+705=25126.73（元）。等额本金还款法模型的建立 小杨选择申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。根据定义小杨每年等额因还K=PN（元）模型的讨论小杨选择过了宽限期再还款2015年6月20日小杨毕业,宽限期截止到2016年12月20日，此阶段他只需自付利息，A21=P（R）2+P（R）. 计算得A21=200000.07052+200000.0705=2250（元）2017年12月20日：PR+K21=6410。2018年12月20日：（PK21）R+K21=6057.5。2019年12月20日：（P2K21）R+K21=5705。2020年12月20日：（P3K21）R+K21=5352.5。其中K21=200004=5000（元）所以他为此必须偿还本息为各年总和：T21=PR+K21+(PK21)R+K21+(P2K21)R+K21+(P3K21)R+K21+2250 =25775（元）小杨选择毕业第二年就开始还款宽限期利息A=P（R）2=705（元）K22=200005=4000（元）2016年12月20日：PR+K22=5410。2017年12月20日：（PK22）R+K22=5128（元）。2018年12月20日：（P2K22）R+K22=4846（元）。2019年12月20日：（P3K22）R+K22=4564（元）。2020年12月20日：（P4K22）R+K22=4282（元）。所以他为此必须偿还本息为各年总和：T22=PR+K22+（PK22）R+K22+（P2K22）R+K22+（P3K22）R+K22+（P4K22）R+K22+705 =24935（元） 得到T22<T12<T21<T114.4模型的分析与检验 4.4.1模型分析 建立模型时，我们避轻就重，做出了一系列的假设，当然现实生活中，这些假设肯定是不会同时发生的，这就是我们模型的误差主要来源。 小杨若想在2020年将钱款全部还清且偿还贷款金额最少，应该选择毕业第二年就开始还款，这主要因为宽限期内的本金基数高，需要偿还利息多，所以小杨应该选择尽早还款。根据毕业大学生在衡阳本地就业收入情况，毕业大学生月薪收入在200030000元，将以上计算T值转换成每月负担费用Y。其中论文写作指导、各类文案代写 QQ625880526Y11=K1112 =492.6（元）Y12=K1212 =407（元）Y21：2017年：534（元）2018年：504.8（元）2019年:475.4（元）2020年：446（元）Y22：2016年：450.8（元）2017年:427.3（元）2018年:403.8（元）2019年:380.3（元）2020年:356.8（元） 引入符号B：月薪负担率。 则 B11：16.42%24.63%。B12: 13.57%20.53%。B21：2017年：17.8%26.7% 2018年：16.8%25.24% 2019年：15.85%23.77% 2020年：14.87%22.3%B22：2016年：15.03%22.54% 2017年: 14.24%21.365% 2018年: 13.46%20.19% 2019年: 12.68%19.0% 2020年: 11.9%17.84% 由以上分析可知，虽然小杨选择贷款方式2还款方式2（越早开始偿还当年产生的利息并且等额还本）所支付本金利息最少，但这就意味着他工作一开始就必须承担15.03%22.54%的月工资负担，而且这是建立在小杨一毕业就能找到一份200030000元月薪的工作上，随着高校扩招步伐加快，大学生就业群体的逐年增加，就业压力越来越大，没有工作经验的应届大学生找工作难的问题日益突出，对于小杨而言如果他在毕业前已签得一分好的工作那么贷款方式2还款方式2是最佳选择，若这份工作暂时收入低而后期职位晋升后月薪会有所提高，小杨可以考虑贷款方式2还款方式1，这是因为两者比较 T21-T22=840（元）小杨没有必要为了这840（元）在工作一开始就承担较大的月薪负担，考虑贷款方式1还款方式2，两者比较： T12-T22=191.73（元）而且月薪负担一直保持在13.57%20.53%也是不错的选择这要求小杨在毕业前根据自己实际情况合理选择还款模式，不要盲目认为本利偿还金额最少的就是最好的。4.4.2模型检验 本模型的主要误差为对小杨一毕业就还款问题的解释，因为为方便计算令小杨在过了半年的宽限期再还款，对于这个问题可作如下说明，假若小杨一毕业就开始还款，也就是说在2015年12月20日偿还第一笔钱，对于刚毕业的小杨这是一笔5000元左右的负债，在理想情况下他六月份开始工作，至12月前后不过5个月，按衡阳本地大学生最高月薪3000元计算他最低将面临每月 5000（30005）100%=33.3%的月薪负担。 计算小杨从2015年12月20日偿还贷款，根据公式： P(1+R)NK(1+R)N-1K(1+R)N-2K(1+R)N-3K=0所以有200001.07056K121.07055K121.07054K1.07053K121.07052K121.07051K12=0解得K12=4202.4（元）T12=K126=25214.36（元）计算T 22此时K22=200006=3333.333（元）。2015年：PR2+K22=4038.333（元）。2016年：（PK22）R+K22=4508.333（元）。2017年：（P2K22）R+K22=4273.333（元）。2018年：（P3K22）R+K22=4038.333（元）。2019年：（P4K22）R+K22=3803.333（元）。2020年：（P5K22）R+K22=3568.333（元）。T22=24229用Matlab作图>> C1=25894.92,25126.73,25775,24935;>> C2=25894.92,25214.36,25775,24229;>> N=11,12,21,22;plot(N,C1)hold ongrid on>> plot(N,C2,r*)>> xlabel(选择方案)>> ylabel(本息总额（元）) 可知若从2015年开始还款选择贷款，方案1还款方案2付出反而多出87.63元而选择从2015年开始还款选择贷款，方案2还款方案2可节省706元再虑其B值2015年：22.43%33.65%2016年：12.523%18.7845%2017年：11.87%17.8055%2018年：11.217%16.826%2019年：10.56%15.847%2020年：9.912%14.868% 比较简便计算B22： 2016年：15.03%22.54% 2017年: 14.24%21.365% 2018年: 13.46%20.19% 2019年: 12.68%19.0% 2020年: 11.9%17.84% 这样比较可知从2015年开始还款从本息方面来说的确最好月薪负担逐年递减，但他必须在刚毕业就必须承担非常大的月薪负担率，综上讨论，选择申请国家助学贷款并且在第二年再开始还款是最为稳妥的选择。五.模型评价与改进 在偿还助学贷款时，人们常常会遇到这样一个问题，哪种还款方式偿还贷款的金额最少，在我们数学上把这类问题称为最优化问题，如何解决这类问题，对个人来说具有重要意义。 对于两种还款方式：等额本息还款法每月偿还的利息逐渐减少，偿还的本金逐渐增多，每月还款相等，故借款人可准确掌握每月的还款额，有计划地安排收支，比较方便，易记，但其总还款额比等额本金还款法多。而等额本金还款法每月还款额逐渐递减，利息支出相对较少，但前期还款压力较大。模型最大优点在于对数据考虑充分，具有很高的精确度和可信性。另外我们的模型过程详细，易于理解，整个模型的计算过程大都用数学软件完成，计算结果详细可靠，再者程序编写较为简单，在此基础上, 对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息, 所得结论与客观事实很好地吻合, 从而进一步说明模型是合理的。不过这个模型还是存在一些缺点，模型的建立没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，例如在假设还款能力和不考虑经济波动这些方面有缺点，是建立在一个理想的基础上，所以这个模型得出的结果会与实际情况有一定出入，另外该模型需要面对的一个主要问题是通过该模型的计算能确定哪种还款方式是还贷额少的。但是具体到个人的话还要因人而议，还款人面对各种方案算出的年还贷金额总会提出的问题就是"看起来差不多，我怎么选呢？"其实模型问题的核心是要给贷款者一个合理的评估参数减小不确定性。因此下面针对模型改进适当加入一些不确定性参数，使得模型更加细化提出合理的解决方案： 1、T22是经济最佳方案？谁也不能确定一个毕业生毕业时的具体工资，该模型是建立在一个普片合理的基础上，由精确求解和B值对比，若小杨能承受2015年22.43%33.65%的月薪负担，选择2015年就还款是经济上最划算的，因此小杨在毕业前可根据自身情况合理调整还款方案。 2、有没有其他能在2020年前还款方案？国家在助学贷款及偿还方面有许多政策，比如说考虑到毕业生去西部边远地区基层服务为更大力度鼓励高校毕业生面向基层就业，对到西部和艰苦边远地区基层单位就业达到一定年限的毕业生，由国家代为偿还其学费和助学贷款。 六. 参考文献【1】赵静 但琦 数学建模与数学实验（第3版） 高等教育出版社 2008.1【2】冉启康 张振宇 张立柱 常用数学软件教程 人民邮电出版社 2008.10【3】马正飞 数学计算方法与软件的工程应用 化学工业出版社 2002.12【4】张志辉 王桂荣 陈华 财会月刊 2008年06 国家助学贷款还款模式及其应用61-62页