2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：专项强化练第2讲空间向量与立体几何.docx
第 2 讲空间向量与立体几何1.(2019 苏州调研 ,22)如图 ,在四棱锥 P-ABCD中,BCPB,AB BC,AD BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,PB= 3.(1)求二面角 P-CD-A 的余弦值 ;(2)若点 E 在棱 PA 上,且 BE平面 PCD,求线段 BE 的长 .2.(2019 淮安五校联考 ,24)如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,棱 AB,AD,AP 两两垂直 ,且长度均为1,?=?(0<? 1).(1)若 =1,求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值 ;(2)若二面角 B-PC-D 的大小为 120,求实数 的值 .答案精解精析1.解析(1)在 PAB 中 ,因为 PA=2,PB=3,AB=1,所以 PA2=AB 2+PB2,所以 PB AB.又 BCPB,AB BC,所以建立空间直角坐标系B-xyz, 如图所示 .所以 B(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D(1,3,0),P(0,0,3),?=(1,1,0),?=(0,2,-3).易知平面 ABCD 的一个法向量为n=(0,0,1).设平面 PCD 的法向量为 m=(x,y,z),?+ ?=0,?CD = 0,则? 即2?= 3z.?PC = 0,令 z=2,则 m=(-3,3,2).设二面角 P-CD-A 的平面角为 ,可知 为锐角 ,则 cos =|cos<n,m>|= |? ?|210|?| |?| =3+3+4= 5 ,即二面角 P-CD-A 的余弦值为 10 .5(2)因为点 E 在棱 PA 上 ,所以设 ?=?, 0,1.因为 ?=(-1,0,3),所以 ? ?=(-,0,3),?=?+=(1- ,0,3 ).又因为 BE 平面 PCD,m=(-3,3,2)为平面 PCD 的一个法向量 ,1所以 ?m=0,即3( -1)+23=0,所以 =.3所以 ?=(2 ,0,3 ) ,337?所以 BE=|?|= 3 .2.解析(1)以 ?,?为基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为 =1,所以 ?=?.依题意知 C(1,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),所以 ?=(1,1,-1),?=(1,0,-1),?=(0,1,?-1).设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z),?-?= 0,? PB = 0,则 ?即 ?-?= 0.? PD = 0,取 z=1,得 n=(1,1,1).所以 |cos<? ?|,n>|=| |? |?|1 1+1 1+(-1) 1 1=|33| =3 .所以直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 31.(2)依题意及(1)知C(1,? =(1, ,-1),? ,0),?=(1,0,-1),?=(0,1,-1).1111),设平面 PBC 的法向量为 n =(x,y ,z?1?-z1= 0,PB = 0, x1则即 x1 + y1-z1 = 0,?PC = 0,1取 z1=1,得 n1=(1,0,1).设平面 PCD 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),?y?2PC= 0,x2 += 0,2 -z2则?即 y2 -z2 = 0,?2PD = 0,取 z2=1,得 n2=(1- ,1,1).所以 |cos<n1 2? ?|=|2 -?|112,n >|=|? | |? |2 =|cos 120 |=2122 2+(1-?)解得 =1或 =5,因为 0< 1,所以 =1.
