吉林省辽源市田家炳高级中学第六十六届友好学校2019届高三数学上学期期末联考试题理201901140179.docx

友好学校第六十六届期末联考高三数学（理科）说明：本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4 页。考试时间120 分钟，分值150 分。注意事项 ：1、答题前，考生必须将自己的姓名、考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域。2、选择题必须用2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一、 选择题 （本大题共 12小题，每小题5 分，共 60 分）1.已知集合 Axx24, xR , B1,0,1,2,3，则 A B1（）A.0,1,2B.1,0,1,2C.1,0,2,3D.0,1,2,32.以 x1 为准线的抛物线的标准方程为（）A. y 22xB.y22xC.y24xD.y24x3.记 Sn 为等差数列an的前 n 项和 , 若 S945,a3a812 , 则 a7（）A.10B.9C.8D.74.若两个单位向量a , b 的夹角为 120 ,则 2ab（）A.2B.3C.3D.25.函数 f xcos2x3sin x cos x 2sin 2 x1的最小正周期为（）2A.B.C.2D.421 / 106.已知变量x， y 满足约束条件x3 y3xy1 ，则 zxy 的最大值为（）y0A.0B.1C.2D.37.已知一个棱长为2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积是()A.24B.20C.12D.168.正视图 )下列叙述中正确的是 (正视图俯视图ab侧视图A.若 a,bR ，则“2log 2 alog 2 b ”2”的充要条件是“B. 函数 f x sin 2 x3 cos x3 , x 0,的最大值是 242C. 命题“xR, x20 ”的否定是“x0R, x020 ”D.l 是一条直线，,是两个不同的平面，若l,l则2229. 若双曲线 C : x2y1 a 0,b 0 的一条渐近线被圆x 224 所截得的弦长2yab为 2 ，则 C 的离心率为 ()A. 3B.2C.2D.23310. 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 120 , AB 2, BCCC1 1, 则异面直线AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（）A.3B.15C.10D.3255311.在ABC 中，若 sin AB12cos BC sin(AC )，则ABC 的形状一定是2 / 10（）A. 等边三角形B.不含 60的等腰三角形C. 钝角三角形D.直角三角形12.设函数fxln xax2bx ，若 x1 是函数 fx 的极大值点，则实数a 的取值范围是（）1A.，B.-，1C.1,D.2第 II卷二、填空题（ 本大题共4 小题，每小题5 分 ，共 20 分）13.曲线 yloga x3 3 a 0且 a1 恒过定点 _.14.曲线 fx e3xx3 在点 0, f 0处的切线方程是 _1,215. 从 2 位女生、 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有一位女生入选，则不同的选法共有 _种（用数字填写答案）16. 设函数 f x ln 1 x1则使 f xf 2x 1 成立的 x 的取值范围是x21_.三、解答题 （本大题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.（ 10 分）ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，向量 ma,3b 与n cosA,sin B 平行（ 1）求 A ；（ 2）若 a7 ， b2 ，求ABC 的面积18.（ 12 分）已知数列an 是等比数列，a24 , a32 是 a2 和 a4 的等差中项 ,（ 1）求数列an 的通项公式；（ 2）设 bn 2log 2 an 1，求数列 an bn 的前 n 项和 Tn .19. （12 分）有编号为 1,2,3,n 的 n 个学生 , 入座编号为 1,2,3,n 的 n 个座位 ,每3 / 10个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为x ,已知 x 2 时 , 共有 6 种坐法 .（ 1）求 n 的值；（ 2）求随机变量x 的概率分布列及数学期望E x 20. （ 12 分）如图，在长方体 AC1 中，ADAB2， AA11 ， E 为 D1C1 的中点，（ 1）在所给图中画出平面 ABD 1 与平面 B1EC 的交线 ( 不必说明理由 )（ 2）证明 : BD1 平面 B1 EC（ 3）求平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值21. （ 12 分）已知椭圆x2y2过点 1,31C : a2b21, a b 0, 离心率为, 左右焦点分别22为F1 , F2 , 过点 F1 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点 .（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）当F2 AB 的面积为 122 时,求以 F2 为圆心且与直线l 相切的圆的方程 .722. （ 12 分）已知函数f xa1x2ln x a R2（ 1）当a时，求函数f x在区间1,e 上的最大值和最小值；1（ 2）若 fx 0有解 ,求 a 的取值范围 .4 / 10友好学校第六十六届期末联考高三数学（理科）参考答案二、 选择题题号123456789101112答案ADBCBDCDBCDA二、 填空题13. (4,3)14.3x y10 15.1616.1,13三、 解答题17. （ 10 分）解：（ 1）因为 mn 所以 a sin B3b cosA 0由正弦定理得sin A sin B3sin B cos A 0又 sin B 0从而 tan A3由于 0A所以 A3（ 2）由余弦定理得a2b2c22bc cos A而 a7, b2, A3得 7 4 c22c 即 c22c 3 0因为 c0 所以 c3故 ABC 的面积为 1 bc sin A3 32218. （ 12 分）解：设数列an 的公比为 q (2 ) (5 ) (8 ) (10 )5 / 10因为 a24 所以 a34q, a44q2因为 a32 是 a2 和 a4 的等差中项所以2 a32a2a4 (2 )化简得 q22q0 ，因为 q0 所以 q2所以 ana2q n24 2n22nnN ( 5 )（2）因为 a2n 所以 bn2log 2 an12n1n所以 anbn2n1 2n ( 7)则 Tn123225232n3 2n 12n 1 2n （ 1）2Tn1223 235242n3 2n2n1 2n 1（ 2）由（ 1） - （ 2）得Tn2 2 22232n2n 1 2n 1224 12n12n12n 11262n32n1所以 Tn62n32n 1 ( 12 )19. （ 12 分）解：（ 1）因为当 x2时，有 Cn2种方法所以 Cn 26 即 n n 16, n2n 12 02解得 n4或 n3 （舍去）所以 n4 ( 4 )（2）因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为x由题意可知 x 的可能取值是0， 2， 3,4 ( 5 )所以 P x011A44246 / 10P xC421124A44P xC432133A441113P x 4 143824 (9)所以 x 的概率分布列为x0234P1113 ( 10 )24438所以数学期望11143 (12E x 023324438 )20. （ 12 分）（1）解：连接BC1 交 B1C 于 M ，连接 ME 则直线 ME 即为平面 ABD1 与平面 B1 EC 的交线 (2 )（2）证明： M , E 分别是 BC1 , D1C1 的中点 ME BD1又 BD1平面 B1EC ， ME平面 B1EC BD1 平面 B1 EC ( 6)（3）解：以为 D 坐标原点， DA, DC , DD1 所在直线分别为x 轴 y 轴 z 轴，建立空间直角坐标系因为 ADAB 2 ， AA117 / 10所以D 0,0,0 , A(2,0,0), D1 0,0,1 , B 2,2,0 , B1 2,2,1 ,C 0,2,0,E0,1,1 (8 )所以BA 0, 2,0 , BD12, 2,1 , CB1 2,0,1 , CE0,1,1设平面ABD1 的法向量 m x1 , y1 , z1所以 BAm, BDm 从而有1BA m0即2y1 0不妨令 x1 1BD1 m 02x1 2y1z10得到平面 ABD1 的一个法向量m1,0,2同理可求得平面B1EC 的一个法向量 n1,2,2因为 cos< mn >mn1 45m n3 55所以平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值为5 ( 12 )521. （ 12 分）解：（ 1）因为椭圆x2y2过点 1,3C : a2b21, a b 021911所以4b2a2又因为离心率 e1c1所以a222解1 、2 得 a24,b23所以椭圆 C的方程为x2y2 ( 4 )4138 / 10（2）1 当直线 l 与 x 轴垂直时，可得A1,3, B1,322F2 AB 的面积为 3，不符合题意 ( 5 )2 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 ykx1代入椭圆的方程得34k2x28k 2 x4k2 120显然0 成立，设 A x1, y1, Bx2 , y2则x1x28k2， x14k212 ( 7 )3+4k 2x2 =4k23所以 AB =1 k2xx24x x12 k 21212134k 2用点到直线距离公式可得圆F2 的半径 r2 kk 21所以F2 AB 的面积1 AB r12k 4k2122234k 27化简得 17k 4k2180 解得k1 ( 10)所以 r2 ，圆的方程为x2221y ( 12)22.（ 12 分）解：（ 1）由题可知 f x的定义域为0,， ( 1 )当 a 1时，函数 fx1 x2ln x, f xx10 ( 2 )2x所以函数 f x在区间 1,e上是增函数。f x 在区间 1,e 上的最大值为，最小值为 ( 4 )（ 2）9 / 10当时，显然有解 ( 6)当时，由得当时，当时，故在处取得最大值 ( 9 )若使有解，只需解得结合此时的取值范围为 ( 11 )综上所述，的取值范围为 ( 12 )10 / 10