河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学 第1章 集合与函数概念（1.3 集合的基本运算第1课时）示范教案 新人教A版必修1（通用）.doc

河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第1章 集合与函数概念-3.示范教案（1.3 集合的基本运算第1课时）教学分析课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.三维目标1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.重点难点教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?(1)A=1,3,5,B=2,4,6,C=1,2,3,4,5,6;(2)A=x|x是有理数,B=x|x是无理数,C=x|x是实数.引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.思路3.(1)如图1131甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系？图1-1-3-1观察集合A与B与集合C=1,2,3,4之间的关系.学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.(2)已知集合A=1,2,3,B=2,3,4,写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.已知集合A=x|x>1,B=x|x<0,在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.推进新课新知探究提出问题通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.试用Venn图表示AB=C.请给出集合的并集定义.求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系？()A=2,4,6,8,10,B=3,5,8,12,C=8;()A=x|x是国兴中学2020年9月入学的高一年级女同学,B=x|x是国兴中学2020年9月入学的高一年级男同学,C=x|x是国兴中学2020年9月入学的高一年级同学.类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.讨论结果：集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为AB=C,读作A并B.所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.C=x|xA,或xB.如图1131所示.一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为AB=x|xA,或xB,用Venn图表示,如图1131所示.集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作AB,读作A交B.()AB=C,()AB=C.一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.其含义用符号表示为:AB=x|xA,且xB.用Venn图表示,如图1132所示.图1-1-3-2应用示例思路11.设A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求AB,AB.图1-1-3-3活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如图1133所示.解：AB=4,5,6,83,5,7,8=3,4,5,6,7,8.AB=4,5,6,83,5,7,8=5,8.点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.本题易错解为AB=3,4,5,5,6,7,8,8.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.变式训练1.集合M=1,2,3,N=-1,5,6,7,则MN=_.MN=_.答案：-1,1,2,3,5,6,7 2.集合P=1,2,3,m,M=m2,3,PM=1,2,3,m,则m=_.分析:由题意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,0.因m=1不合题意,故舍去.答案：-1,03.2020河南实验中学月考,理1满足AB=0,2的集合A与B的组数为 ( )A.2 B.5 C.7 D.9分析:AB=0,2,A0,2.则A=或A=0或A=2或A=0,2.当A=时,B=0,2;当A=0时,则集合B=2或0,2;当A=2时,则集合B=0或0,2;当A=0,2时,则集合B=或0或2或0,2,则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.答案：D4.2020辽宁高考,理2设集合A=1,2,则满足AB=1,2,3的集合B的个数是 ( )A.1 B.3 C.4 D.8分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3A,又AB=1,2,3,必有3B,即集合B中至少有一个元素3,其他元素来自集合A中,则集合B的个数等于A=1,2的子集个数,又集合A中含有22=4个元素,则集合A有22=4个子集,所以满足条件的集合B共有4个.答案：C2.设A=x|-1<x<2,B=x|1<x<3,求AB,AB.活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴,将A、B分别表示出来,则阴影部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集.解：将A=x|-1<x<2及B=x|1<x<3在数轴上表示出来.如图1134所示的阴影部分即为所求.图1-1-3-4由图得AB=x|-1<x<2x|1<x<3=x|-1<x<3,AB=x|-1<x<2x|1<x<3=x|1<x<2.点评：本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合,运算时常利用数轴来计算结果.变式训练1.设A=x|2x-4<2,B=x|2x-4>0,求AB,AB.答案：AB=R,AB=x|2<x<3.2.设A=x|2x-4=2,B=x|2x-4=0,求AB,AB.答案：AB=3,2,AB=.3.2020惠州高三第一次调研考试,文1设集合A=x|-1x2,B=x|0x4,则AB等于( )A.0,2 B.1,2 C.0,4 D.1,4分析:在同一条数轴上表示出集合A、B,如图1135所示.由图得AB=0,2.图1-1-3-5答案：A课本P11例6、例7.思路21.A=x|x<5,B=x|x>0,C=x|x10,则AB,BC,ABC分别是什么?活动：学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.解：因A=x|x<5,B=x|x>0,C=x|x10,在数轴上表示,如图1136所示,所以AB=x|0<x<5,BC=x|x>0,ABC=.图1-1-3-6点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,明确集合中的元素;依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.变式训练1.设A=x|x=2n,nN*,B=x|x=2n,nN,求AB,AB.解：对任意mA,则有m=2n=22n-1,nN*,因nN*,故n-1N,有2n-1N,那么mB,即对任意mA有mB,所以AB.而10B但10A,即AB,那么AB=A,AB=B.2.求满足1,2B=1,2,3的集合B的个数.解：满足1,2B=1,2,3的集合B一定含有元素3,B=3;还可含1或2其中一个,有1,3,2,3;还可含1和2,即1,2,3,那么共有4个满足条件的集合B.3.设A=-4,2,a-1,a2,B=9,a-5,1-a,已知AB=9,求a.解：因AB=9,则9A,a-1=9或a2=9,a=10或a=3,当a=10时,a-5=5,1-a=-9;当a=3时,a-1=2不合题意.当a=-3时,a-1=-4不合题意.故a=10,此时A=-4,2,9,100,B=9,5,-9,满足AB=9.4.2020北京高考,文1设集合A=x|2x+1<3,B=x|-3<x<2,则AB等于 ( )A.x|-3<x<1 B.x|1<x<2 C.x|x>-3 D.x|x<1分析:集合A=x|2x+1<3=x|x<1,观察或由数轴得AB=x|-3<x<1.答案：A2.设集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,aR,若AB=B,求a的值.活动：明确集合A、B中的元素,教师和学生共同探讨满足AB=B的集合A、B的关系.集合A是方程x2+4x=0的解组成的集合,可以发现,BA,通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集,通过画Venn图发现集合A、B的关系,从数轴上分析求得a的值.解：由题意得A=-4,0.AB=B,BA.B=或B.当B=时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,则=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.当B时,若集合B仅含有一个元素,则=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时,B=x|x2=0=0A,即a=-1符合题意.若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.则有解得a=1,则a=1符合题意.综上所得,a=1或a-1.变式训练1.已知非空集合A=x|2a+1x3a-5,B=x|3x22,则能使A(AB)成立的所有a值的集合是什么？解：由题意知A(AB),即AB,A非空,利用数轴得解得6a9,即所有a值的集合是a|6a9.2.已知集合A=x|-2x5,集合B=x|m+1x2m-1,且AB=A,试求实数m的取值范围.分析:由AB=A得BA,则有B=或B,因此对集合B分类讨论.解：AB=A,BA.又A=x|-2x5,B=,或B.当B=时,有m+1>2m-1,m<2.当B时,观察图1-1-3-7:图1-1-3-7由数轴可得解得-2m3.综上所述,实数m的取值范围是m<2或-2m3,即m3.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.知能训练课本P11练习1、2、3.【补充练习】1.设a=3,5,6,8,B=4,5,7,8,(1)求AB,AB.(2)用适当的符号(、)填空:AB_A,B_AB,AB_A,AB_B,AB_AB.解：(1)因A、B的公共元素为5、8,故两集合的公共部分为5、8,则AB=3,5,6,84,5,7,8=5,8.又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8,故AB=3,4,5,6,7,8.(2)由文氏图可知ABA,BAB,ABA,ABB,ABAB.2.设A=x|x<5,B=x|x0,求AB.解：因x<5及x0的公共部分为0x<5,故AB=x|x<5x|x0=x|0x<5.3.设A=x|x是锐角三角形,B=x|x是钝角三角形,求AB.解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.所以AB=x|x是锐角三角形x|x是钝角三角形=.4.设A=x|x>-2,B=x|x3,求AB.解：在数轴上将A、B分别表示出来,得AB=x|x>-2.5.设A=x|x是平行四边形,B=x|x是矩形,求AB.解：因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为AB,AB=x|x是平行四边形.6.已知M=1,N=1,2,设A=(x,y)|xM,yN,B=(x,y)|xN,yM,求AB,AB.分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.解：M=1,N=1,2,则A=(1,1),(1,2),B=(1,1),(2,1),故AB=(1,1),AB=(1,1),(1,2),(2,1).7.2020江苏高考,7若A、B、C为三个集合,AB=BC,则一定有( )A.AC B.CA C.AC D.A=分析:思路一:(BC)B,(BC)C,AB=BC,ABB,ABC.ABC.AC.思路二:取满足条件的A=1,B=1,2,C=1,2,3,排除B、D,令A=1,2,B=1,2,C=1,2,则此时也满足条件AB=BC,而此时A=C,排除C.答案：A拓展提升观察：(1)集合A=1,2,B=1,2,3,4时,AB,AB这两个运算结果与集合A,B的关系;(2)当A=时,AB,AB这两个运算结果与集合A,B的关系;(3)当A=B=1,2时,AB,AB这两个运算结果与集合A,B的关系.由(1)(2)(3)你发现了什么结论？活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A,B的关系.(1)(2)(3)中的集合A,B均满足AB,用Venn图表示,如图1138所示,就可以发现AB,AB与集合A,B的关系.图1-1-3-8解：AB=AABAB=B.可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:AB=BA,A(AB),B(AB);AA=A,A=A,ABAB=B;AB=BA;(AB)A,(AB)B;AA=A;A=;ABAB=A.课堂小结本节主要学习了:1.集合的交集和并集.2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.作业1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.3.书面作业:课本P12习题1.1A组6、7、8.设计感想由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.