高等数学下册考研重点题目整理版.pdf

高等数学下册考研重点题目整理版 大纲上涉及的知识点 ， 指定的重点题目必看， 其他的题目简单看 （P 代表页，T 代表题） 为了区分数一，数二，数三的范围，用颜色区分， 根据光的色散，使用红黄蓝，分别代表仅数一，仅数 二，仅数三。红+黄=橙，代表数一+数二，红+蓝=紫， 代表数一+数三，黄+蓝=绿，代表数二+数三，红+黄+ 蓝=黑，代表数一二三都考， 第八章向量代数与空间解析几何（这一章仅数一这一章仅数一 ） 第一节向量及线性运算：P11 例 7 为两类曲面积分转化的知 识点做铺垫。这节理解空间直角坐标系的基本概念，向量的 概念及其表示，向量的模，特别是单位向量，以及方向角概 念，掌握坐标运算。 第二节数量积，向量积，混合积：公式性质必须掌握。P23 习题 1T，9T 熟悉公式。 第三节平面及其方程：P25 例 1，例 2，P26 例 3，P27 例 4， P28 例 6，P29 例 7，习题 1T，2T，3T，5T，9T。 第四节空间直线及其方程：P31 例 1，P33 例 4，P34 例 6， P35 例 7。 P36 习题 3T，6T，8T，10T 可出选择题，12T，14T 记结论， 不需要证明，16T（1）去掉 x=2，y=1 后再画图（墙角） ，为 三重积分，曲面积分做铺垫。 第五节曲面及其方程：P39 例 3，掌握旋转曲面方程求解方 法，例 4 认识两种双曲面类型，P40 例 5 二维平面表示圆弧 线，三维空间表示圆柱面，考生最容易只考虑二维平面，不 考虑三维平面。 P45 习题 5T，8T 认识曲面的长相，9T 二维和三维不能混同。 第六节空间曲线及其方程：P46 例 1 例 2 为第 10 章，第 11 章铺垫，P50 例 4 例 5。 P51 习题 4T，8T 总习题 P51 1T（4） ，2T（1） （2） ，17T，20T，21T。 第九章多元函数微分学 第一节多元函数的基本概念：P61 例 4 放缩夹逼准则，P61 例 5 的上方位置考察特殊路径法说明函数在原点处极限不存 在。 P65 习题 4T，做完后新增题目：已知 f（x-y，x+y）=x-y， 求 f（x，y） ，7T 特殊路径法证明，9T 放缩夹逼。 第二节偏导数：P67 例 1-例 4 简单函数求偏导数，P69 最上 面揭示了函数在点处偏导数存在，但不连续。P69 例 6 二阶 偏导数计算。P70 例 7，例 8 都是二阶偏导数的应用。 P71 习题 1T（1） （6） ，3T，4T，6T（1） （2） 第三节全微分：P73 最下面的例子揭示了偏导数存在，但不 可微，P75 例 1，例 2 全微分公式运用。 P77 习题 1T（1） （2） ，2T，5T 建立四条性质之间的关系。 第四节多元复合函数求导法则： P81 例 1 具体函数链式求导， 例 4 抽象函数链式求导，P84 例 6 全微分形式的不变性。 P85 习题 1T，3T，8T（1） （2） ，9T，10T，11T，12T（1） （3） 第五节隐函数求导： P87 例 1 隐函数存在定理 1 的运用， P88 例 2 可采取方法二：两边同时求导，但切记：公式法求导和 两边同时求导法不能混用！ ！ ！ P91 习题 1T 两种方法：公式法或者两边同时求导法。3T 公 式法，4T，5T，7T 均用公式法或两边同时求导，8T 采取两 边同时求导法可以快速解题。 第六节多元函数微分学的几何应用（仅数一仅数一 ） ：P97 例 4 空间 曲线切线及法平面，P102 例 6 曲面的切平面及法线。 P103 习题 3T，7T，8T，10T 第七节方向导数与梯度（仅数一仅数一 ） ：P105 例 1，P109 例 6。 P111 习题 1T，5T，8T。 第八节多元函数的极值及求法：P113 例 4 无条件极值，P118 例 7，P119 例 8 均为条件极值应用。 P121 习题 1T 极值的定义， 2T 极值无条件极值， 7T 条件极值， 11T 两个条件求极值 12T，13T 闭区域的最值问题。 总习题 P132 1T 建立函数连续，可导，可微，一阶偏导数连 续的关系。2T 仅数一，4T 特殊路径，5T 问题改为判断函数 f（x，y）在（0,0）处是否连续？是否可导？是否可微？， 8T 问法改为判断函数 f（x，y）在（0,0）处是否连续？是 否可导？是否可微？ 9T 全导数， 10T 变换下的偏导数， 11T， 12T，14T 仅数一，17T 条件极值。 第十章重积分 第一节二重积分的概念与性质：P140 习题 5T 比较大小。 第二节二重积分的计算法：P144 例 1 直角坐标计算，两种类 型。 X 型与 Y 型互化， 叫直角坐标之间的交换积分次序， P145 例 2 根据被积函数特点合理使用 X 型或 Y 型，考研题设置关 于一个变量的被积函数的原函数不容易算或积不出来，采用 交换积分次序。 P145 例 3 特别关注 X 型计算积分， 分两块做， P150 例 5，P151 例 6。 P156 习题 1T（1） （4） ，2T（1） （2） （3） ，3T 记结论，4T（1） 直角坐标（2）极坐标，5T 交换积分次序，6T（1） （2） （4） （6） ，8T，9T，10T 二重积分几何意义，11T，12T，13T 都 是直角坐标转化为极坐标的操作， 这 3 个题的每个小题全做， 必会！ ！ 14T （1） ， 15T （2） ， 16T 把区域 D 改为心形线=1-cos （详见同济七版上册 P372） ，其他条件和问题都不变。 第三节三重积分（仅数一仅数一 ） ：P162 例 1 三次积分（可采取先 一后二法） ， P163 例 2 先二后一法， P164 例 3 柱面坐标， P166 例 4 球面坐标。 P166 习题 2T 先一后二或化三次积分，P167 5T 先一后二或 化三次积分，6T 先二后一或球面坐标，8T 先二后一，9T（1） （2）柱面坐标，10T（1） ，11T（1）柱面坐标，12T（1） （4） 。 第四节重积分的应用：P170 例 4 曲面面积求求的表面积（仅仅 数一数一 ） ，P173 例 3 质心（面密度为常量时，均匀薄片的质心 是形心） 。二重积分可以转化成定积分。P175 例 5 平面薄片 的转动惯量。 P177 习题 1T 曲面面积（仅数一仅数一 ）P178 4T（1） （2） （3）都 是求形心，5T 不均匀薄片的质心，6T 建立适当的平面直角 坐标系。7T（仅数一仅数一 ） （1） ，9T（1） （2）平面指定转动惯量 P183 例 3 不采取答案做法，令 x=tanu，再进行区间再现公 式。总习题 P185 （1）逼迫交换积分次序（2）用轮换对称。 2T（1） （仅数一仅数一 ）三重积分的奇偶性结论必背！ ！必考！ ！ （2） 二重积分的奇偶性结论必背！ ！必考！ ！ （3）二重积分求导问 题，3T（2）不仅仅计算，必须学会交换积分次序的操作！ ！ （4）二重积分的奇偶性，轮换对称性，4T（1） （2） ，P186 6T 化为极坐标，7T，9T（2） （3）三重积分（仅数一仅数一 ）11T（仅仅 数一数一 ）P187 13T。 第十一章曲线积分与曲面积分（这一章仅数一这一章仅数一 ） 第一节对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） ：P192 例 1 对 弧长的曲线积分（直角坐标） ，例 2 曲线对 x 轴的转动惯量， P193 例 3 对弧长的曲线积分（参数方程） 。 P193 习题 1T 曲线的转动惯量和质心（特别是线密度恒为常 数时，质心叫曲线的形心） 。3T（1） （2） （4） （5） （7） ，4T 其实求圆弧线的形心。 第二节对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） ：P199 例 1 两 种方法都要掌握。P200 例 2 不同路径的积分值不同，例 3 不 同路径的积分值相同（详见 P209 积分与路径无关的等价条 件） 。 P203 习题 3（1）直接代入（2）化为参数方程，注意起止点 （8） ，P204 4T 不同路径下的积分值是否相等。 第三节格林公式及其应用：P207 例 1 直接使用格林公式，上 方可采用第二类曲线积分求平面图形的面积，例 2 给的解析 是曲线积分方法，这题数一数二数三都能做这个二重积分， 只是合理选择区域类型，P208 例 4 挖洞使用格林公式，P213 例 5 实际考题不这么考， 它可以这样考： 22 xdy+aydx x +y 在右半平面 x0 内是某个函数 f(x,y)的全微分，则 a=_，P214 例 7 求 全微分方程形式的微分方程的操作。 P216 习题 1T（1） （2）格林公式，P217 3T 挖洞，6T（2） ， 7T（3） （4）都是补线格林，8T（4） ，P218 10T（1） ，11T 变 相考查全微分。 第四节对面积的曲面积分：P220 例 1，P221 例 2，都是对面 积的曲面积分。P222 习题 4T，5T，6T（1） （2） （3） ，8T。 第五节对坐标的曲面积分： P223 关于投影面积的 3 条结论要 记，以后做题会用，P228 例 1，P229 例 2，P231 例 3。 P231 习题 3T（1） （2）都是对坐标曲面积分计算方法（3） 两类曲面积分互化， （4）学完第六节高斯公式再来做此题， 4T（1） （2）两类曲面积分的相互转化。 第六节高斯公式 通量与散度： P234 例 1 高斯公式+柱面坐标 计算三重积分。例 2 补面高斯公式，P239 散度公式背过，例 5，考研题可以出填空题。 P239 习题 1T（1）高斯+三重积分化三次积分， （2）高斯+三 重积分球面坐标积分。3T（1） （2）熟练运用散度公式。 第七节斯托克斯公式 环流量与旋度：P243 例 1，例 2 斯托 克斯公式的运用。P247 旋度公式（7-7）和下面行列式表示 的形式背过！ ！例 4 旋度公式的运用。 P248 习题 2T（1） （2） （4） ，3T（1） （2） ，P249 7T 梯度+旋 度公式的运用。 总习题 P249 1T（2）答案抄上，背过！会运用，2T 第一类 曲面积分的奇偶性。3T（1） （2） （3）对弧长的曲线积分， （5） 补线格林， （6）斯托克斯公式，4T（1）第一类曲面积分计 算， （2） （3）补面高斯公式。7T 积分与路径无关的应用，8T 第一类曲面积分求形心（均匀的质心叫形心） 。 第十二章无穷级数（数二不考数二不考 ） 第一节常数项级数的概念和性质： P253 例 1 收敛的等比级数 公式必背！ ！ ！必须这样背，首项/(1-公比） ，首项怎么找， 代入初值，公比怎么找，第 n+1 项比第 n 项，也就是 an+1/an。 习题都不用做，考研不考这些题。 第二节常数项级数审敛法： P260 例 1 P 级数的结论熟练掌握， 并掌握利用反常积分方法证明敛散性。例 2 放缩，P261 例 3 极限审敛法（等价无穷小方法） ，P263 例 4 例 5 比值审敛法， P264 例 4 可用比值审敛法，可用根值审敛法，例 7 例 8 极限 审敛法，P268 例 9 放缩，例 10 根值审敛法。 P271 习题 1T（1） （2） ，2T（2） （3） （4） ，4T（2） （4） ，5T （1） （4） （5） 。 第三节幂级数：P276 例 1 收敛半径和收敛域的求解，并新增 问题，求该幂级数的收敛区间，P277 例 4 缺项幂级数的收敛 半径，也可令 x=t（t0）一样求出原幂级数的收敛半径， 例 5 收敛区间不关于原点对称时的处理，P280 例 6 注意 x=0 时的情况和 x0 时的情况，否则分子分母不能同乘 x， 求 s （0） 时先将级数写成连加和的形式后代入， 这是易错点。 相当重要。 P281 习题 1T（2） （5） （7） （8）求收敛区间，不必讨论端点 处的敛散性，2T（1） （4）先积后导， （2） （3）先导后积。 第四节函数展开成幂级数： P285,286 上面所有幂级数展开公 式必须背过！ ！P286 例 3 幂级数公式+级数的恒等变形（自己 可采取拆项重组，制造同类项，合并同类项即可。 ）例 4，写 完后的幂级数正负规律是：正正负负正正负负如此交替 进行，同样的题目，在辅导书上的答案是这么给的： nn-1 n 2 n=0 -1x- 1 4 sinx=-x+ n2 （） （ ）（） （ ） ！ ， 很多同学看到这儿了， 自 己根本想不到这是啥玩意儿，这种情况可以保留到课本上的 结果，当然，这样的题不会考的。P287 例 5. P289 习题 1T（5） ，5T。 第七节傅里叶级数 （仅数一仅数一 ） ： P311 收敛定理结论必背！ P312 例 1，P313 例 2，P316 例 4，P317 例 5，P318 例 6 正弦级数 使用奇延拓，余弦级数使用偶延拓，这个考点可出选择题。 P321 习题 1T（1） ，2T（2） ，5T，6T。 第八节一般周期函数的傅里叶级数（仅数一仅数一 ） ：P323 例 1。 P327 习题 1T（3） ，2T（2） 。 总习题 P327 1T，3T（1） （2） ，6T（1） （3） （4）8T（1） （4） ， 9T（2） （3） （4） ，10T（2）借助幂级数平台，提示：分子 n+1 拆成 n+1/2+1/2，,再补充题目：求 n n=1 -1 n （ ） ，12T 展成傅里叶 级数， 13T 展成正弦级数和余弦级数 （12T 和 13T 都仅数一） 。