2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案).doc

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1已知点P(4，1)在函数f(x)loga(xb) (b0)的图象上，则ab的最大值是 解：由题意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，从而ab4，当ab2时，ab的最大值是42函数f(x)sin(2x)在x 处的值是 解：2x2，所以f()sin3若不等式|ax1|3的解集为x |2x1，则实数a的值是 解：设函数f(x)|ax1|，则f(2) f(1)3，故a24第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 解：有两类情况：同为白球的概率是，同为红球的概率是，所求的概率是5在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的离心率e，则e的值是 解：若cb，则，得ab，矛盾，因此cb，且有，解得eABCDE（第6题图）A1B1C1D16如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点记四棱锥EABCD的体积为V1，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则的值是 （第6题图）ABCDEOA1B1C1D1解：记四棱锥B1ABCD的体积为V如图，DEDB1，从而V1V又VV2，所以7若实数集合A31x，65y与B5xy，403仅有一个公共元素，则集合AB中所有元素之积的值是 解：因为31x65y5xy4032015xy若xy0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以xy0，从而AB中所有元素之积的值为08设向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x2，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，y7中有2个为a，其余为b则xiyi的可能取值中最小的为 解：因为aabb1，ab0，所以xiyi的最小值为2（第9题图）1220159在33的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知a2012，从而对角线上三个数的和为x2011因此bx2014，c4026，d2013，ex2014（第9题图）ecdab122015x由bexx2011，解得x这9个数的和为3(2011)，所以幻方中其余6个数之和为201810在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x0，y0，xyxy19的点(x，y)形成的区域（其中x是不超过x的最大整数）则区域D中整点的个数为 解：区域D中整点的个数为1231055二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11在等比数列an中，a22，q是公比记Sn为an的前n项和，Tn为数列a的前n项和若S2n2Tn，求q的值解：若q1，则ana22，a4，则S2n4n，Tn4n，S2n2Tn若q1，则an2(1)n，a4，则S2n0，Tn4n，S2n2Tn 5分若q1，则an2qn2，a4q2n4，从而S2n，Tn 15分由S2n2Tn，则1，q2q40，解得q综上，q的值为和 20分ABCDP(第12题图)E12如图，ABC中，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，且BDCEBAC的外角平分线与ADE的外接圆交于A、P两点求证：A、P、B、C四点共圆ABCDP(第12题图)EF证明：如图，连结PD，PE，PC因为四边形APDE是圆内接四边形,所以PADPED，PAFPDE又因为AP是BAC的外角平分线，所以PADPAF，从而PEDPDE，故PDPE 10分又ADPAEP，所以BDPCEP又因为BDCE，所以BDPCEP，从而PBDPCE，即PBAPCA，所以A、P、B、C四点共圆 10分xOyO1l(第13题图)O2P13如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O2都与直线l：ykx及x轴正半轴相切若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l的角平分线上若直线l的斜率ktan，设ttan，则k圆心O1，O2在直线ytx上，可设O1(m，mt)，O2(n，nt)交点P(2，2)在第一象限，m，n，t0 4分所以O1：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以即 8分所以 m，n是方程X2(4+4t)X8=0的两根，mn8由半径的积(mt)(nt)2，得t2，故t 16分所以 k，直线l：yx 20分14将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色（1）当k2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由解：（1）设正十一边形的顶点A1，A2，A3，A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以Ai(i1，2，3，11)为顶角顶点的等腰三角形有5个，这些三角形均不是等边三角形，即当ji时，以Aj为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有51155个 5分当k2时，设其中Am，An染成红色，其余染成蓝色以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个，以Am为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以Am，An为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(510)2327个注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有552728个 10分（2）若11个顶点中k个染红色，其余11k个染蓝色则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有条，两端点染蓝色的有条，两端点染一红一蓝的有k(11k)条并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个，则按顶点颜色计算连线段，3x1x33， 3x2x43， 2x32x43k(11k)， 由得 3(x1x2)x3x4k(k1)(11k)(10k)，用代入得 x1x2 k(k1)(11k)(10k)k(11k)(3k233k110)当k5或6时，(x1x2)min(546556)10 即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k5或6 20分南京清江花苑严老师2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 5 页 共 5 页