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2014高考直通车高考二轮攻略30讲第15讲平面向量的基本性质与运算【课前诊断】1.已知平面向量 a=(1,2), b=(-2, m),且 a/b,则 2a+3b =.解析 由 a = (1,2), b= (- 2, m),且 a / b,得 1 x m = 2x ( 2)? m= 4,从而 b =(2, 4),那么 2a+3b=2(1,2) + 3(2, 4)=(4, 8).答案(一4, - 8)2.已知平面上三点A、B、C 满足 |AB|=3, |BC|=4, |CA|=5,则 AB bc+bc ca+caAB的值等于解析 ,ABF 3, |BC|=4, |CA|=5,|CA|2= |AB|2+|BC|2,故 / B=90.则有 AB BC =0.由BC Ca= |BC|CA|cos(兀一C) = 4X 5X (-4)=- 16,CA aB = |CA|aB|cos(lA)= 5X 3X(-3) = - 9,5则原式=0+(16) + ( 9) = 25.答案 -253 .若|a|=|b|,则a=b或a=b;若AB=DC,则A, B, C, D是一个平行四边形的四个顶点；若a= b, b= c,则a= c;若a / b, b / c,则a / c.其中真命题的序号为 .解析 由|a|= |b|可知向量a, b模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形ABCD中,|aB|=|AD|,但|aB|与|AD|既不相等也不互为相反向量，故此命题错误由Afe=Dt可得|AB|=|DCe.AB/DC,由于A6/Dt可能是 A, B, c, d在同一条直线上，故此命题不正确.正确.= a = b,a, b的长度相等且方向相同；又b=c,，b, c的长度相等且方向相同，a, c的长度相等且方向相同，故 a=c.不正确.当b=0时，all c不一定成立.综上所述，正确命题的序号是.答案 （南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试，11）4 .如图，在等腰三角形 abc中，底边bc=2, aD = DC, Ae=2eB,若BD AC = 一；则 ce -AB=.解析：（解法 1）由已知 AD=DC,则 D 为 AC 中点，bD=|（bc-A6）,ac=BC+a6.bD ac =2即2（BC AB） （bC + AB） = 2,故 AB2BC2=1.又 BC=2,所以 AB = AC=V5, cosA=5:574 = 3,所以CE AB= (AEAC) AB= 1AB - AC AB = _ AC AB+1AB2="5_ 5噂=_ 2 ><55333543.(解法2)取BC中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则 B(-1, 0)、 C(1, 0).设 A(0, m),由 AD=DC,得 D2, 2 , B&= I，2 , AC= (1, - m).由 Bb AC = 一；,得 3m- = - 1,解得 m=2.这样 E ,则 CE= g , AB=(1, 2),所 22223 33 3以CE Ab = - 4.34答案3A、B、5,设 OA=(1, 2), OB=(a, 1), OC=(-b, 0), a>0, b>0, O 为坐标原点，若C三点共线，则2的最小值是 .a b解析 据已知 AB/AC,又AB=（a1,1）,12 2ab 4a 2b-a+b=丁当且仅当b=4a, a=1a b 4AC=(-b-1,2), 2(a-1)-(-b-1)=0, .-2a+b= 1,=4+ b+4a>4+2A/b 4a=8, a b. a bb=1时取等号，1 2.a+b的最小值是8.【例题探究】(2009 江苏)设向量 a=(4cos % sin % b= (sin 氏 4cos 3), c= (cos 3, 4sin 3).(1)若a与b 2c垂直，求tan(a+ 3)的值；(2)求|b+c|的最大值；(3)若 tan atan 3= 16,求证：a / b.(1)解由a与b 2c垂直，得 a (b 2c) = a b 2a c= 0,即 4sin( a+ 份8cos(a+ 3=0, tan( a+ 3 = 2.(2)解|b+c|2=(b+c)2=b2+c2+2bc= sin2时 16cos2 时 cos2计 16sin2 时2(sin但os316sin 3cos 份= 17 30sin 因os 3= 1715sin 2 3,最大值为32,所以|b+c|的最大值为42.(3)证明由 tan otan 3= 16,得 sin osin 3= 16cos ocos &即 4 cos a4cos 3 sin osin 3=。，故 a/ b.(通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三 )在 ABC 中，已知 AB AC 9, sin B cosA sinC , S ABC 6, P 为线段 AB 上的点, 且CP = x |CF+y 唠，则xy的最大值为|CA| ICBI试题分析！由AB- AC = 9得此, cof W = 9 ;又以方=co*得力-c-cosA ;又邑四0 = 6得1_34 be - sin j4 = 6 ?由上述二式可解福5 = 3rc = 5,= - ?sin A =由余弦定理得255/二才十与-2武3算5工;二16避=4,可见人430是直角三角形,，以C为坐标原点,Ck CB分别为L uurCPuurCA X -UUH- |CA|uuuCB-uuu-|CB|x(1,0) y(0,1) (x,y),故P(x,y),而 P 在直线 AB 上，又1AB:3 4 1,所以2 七 1(x答案 30,y 0),根据基本不等式- y3 4解:如图，正 ABC的边长为15uuuAP1 uuu -AB 32uiur -AC 5uuirBQ1 uurAB 52 uuir -AC .5求证：四边形 APQB为梯形；求梯形APQB的面积.uur uu uur uur 1 uuu因 PQ PA AB BQ = 1 AB32 uur -AC5uuuAB1 uuu -AB 52 uur 13 uur -AC = AB ,15uur故PQ HuuuAB ,uur且 |PQ|=13,uur|AB |=15,uur uuu| PQ|w|AB|,于是四边形AAPQB为梯形.设直线边上高的LuuuPQ交AC于点M,则AM2 turn-AC ,故梯形 APQB的高h为正 ABC的AB 55,即h f与15 3技求轴y轴建立平面直角坐标系，则与二(之。).丽=(0,4) , l = (1阳,一=(CU).则1一 一从而，梯形 APQB的面积为-(13 15) 373 42百.冲刺强化练习(15)1 .设向量 a= (cos a, sin a), b = (cos & sin 3),其中 0< a< 华国 若 |2a+b|= |a 2b|,则 3a等于解析 由 |2a+b|=|a 2b| 得 3|a|2- 3|b|2+8a b = 0,而 |a|= |b|=1,故 a b=0,即 cos( a-)一 I 一 _"一一,_兀 II 一兀=0,由于0< a<华兀，故一兀 <”一次0,故 a 片一 2，即 3 a= 2,答案22 . （2012镇江调研）若平面内两个非零向量 3满足|冈=1,且a与3 a的夹角为135,则|o|的取值范围为解析 如图，在 OAB中，设OA= a, OB= &则茹=3-”,由题意得I丽|=1, / OAB = 45。，由正弦定理，得 号Oba =焉=所以=g所/OBA，又0<Z OBA<135,所以 |o|C (0, #.答案 (0,例3 .已知向量 a=(cos10 ； sin10 ), b= (cos70 ； sin70 ),贝U |a-2b|=. 1 解析|a|= |b|= 1, a b= cos10 cos70 + sin10 sin70 = cos(10 70 )= cos60 =-,|a 2b|=a2 4a b+ 4b2 = g答案 ,354 .已知向量 a=(1,2), b=(-2, 4), |c|=乖，若(a+b) c=Q,则 a与 c 的夹角为 .解析 由条件知 同=寸5, |3=2或，a+b = （1, 2）, |a+b|=弧 （a+b） c= |,一 一 5，班又乖cos0= 2其中。为a+b与c的夹角，0= 60 .= a+b= a,，a+b与a方向相反，a与c的夹角为120.答案 1205 . (2009 南京模拟)已知 |OA|=2, |OB|=2，3, OA - Ofe = 0,点 C 在线段 AB 上，且/ AOC = 60,贝UAB - OC 的值是.答案 46 .设两个向量 e1、e2满足|e1|=2, |e2|=1, e1、e2的夹角为60,若向量 2te1 + 7e2与向量e1+ te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .1,斛析 e1 e2= |e11 |e2| cos 60 = 2x 1 x 2= 1,(2te +7e2) (e1 + te2)=2te2+7te2+ (2t2+7)e1 e2 = 8t+7t+ 2t2+7= 2t2+ 15t+ 7.1由已知得 2t2 + 15t+7<0,解得一7<t< 2.当向量2te1+7a与向量e1 + te2反向时，设 2te1 + 7e2= 4e+te2), K0,则:=；? 2t2= 7? t=乎或 1=乎(舍).故t的取值范围为(一7,华)U (一挈一 1).答案(-7，一唱u (一华一27 . (2012启东模拟)若等边三角形 ABC的边长为243,平面内一点M满足cM=1cB + 2cA,63则 mA mB=.解析 建立直角坐标，由题意，设C(0,0), A(2，3, 0), B(43, 3),则M"maMB=理 _1 理 5 - 2.2，22 2答案 28 .已知向量oB=(2,0),向量O)C=(2,2),向量CA=(、/2cos ”，V2sin 4,则向量亦与向量场 的夹角的取值范围是 .答案兀 512, 12解析 由题意，得：OA= OC+CA = (2+y2cos a, 2 + V2sin% 所以点A的轨迹是圆 (x-2)2+(y-2)2 = 2,如图，当A位于使向量OA与圆相切时，向量 OA与向量OB的夹角 分别达到最大、最小值.9 .关于平面向量a, b, c有下列三个命题：若 ab = ac,则 b=c.若 a=(1, k), b=(-2,6), a / b,则 k=3.非零向量 a 和 b满足忸|= |b|=|a b|,则a与a+b的夹角为60.其中真命题的序号为.解析ab=ac? a(b c) = 0, a与bc可以垂直，而不一定有b= c,故为假命题.; all b,，1X6= 2k.，k=3.故为真命题.由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60。，a+b为其对角线上的向量，a与a+ b夹角为30。，故为假命题.答案10 .已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中 a=(1, 2).(1)若|c|=2/5,且 c/ a,求 c 的坐标；5(2)若|b|=j-,且a+ 2b与2a b垂直，求a与b的夹角.解 (1)设 c= (x, y),由 c/ a 和 c|=2，5可得1y2x= 0x= 2x=222”，,或，x2+y2=20y= 4y= 4 .c= (2, 4)或 c= (2, -4).(2) / (a+2b)(2a- b), . (a+2b) (2a b)= 0, 即 2a2+3a b-2b2= 0.，2a|2+3a b-2|b|2=0, -2X5 + 3a b-2X5=0,，ab= 5,42a b . . cos 0= 1, - 0 0 ,可， . 0=兀|a网11 . (2010江苏)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(-1, 2), B(2,3), C(-2, - 1).(1)求以线段AB, AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB tOC) OC=0,求t的值.解 (1)由题设知 AB =(3,5), AC=(-1,1),则 AB+AC=(2,6), AB-AC = (4,4),tl所以 |AB+AC|=2V10, |AB-AC|=4V2.故所求两条对角线长分别为442, 2/0.AD是/ BAC的平分线.(2)由题设知 OC = (-2, 1), AB-tOC=(3+2t,5 + t),于是由(AB tOC) OC=0,得(3+2t,5+t) ( 2, 1)=0,从而 5t=11,所以12 .如图，在 ABC 中，已知 AB=3, AC=6, BC=7(1)求证:DC = 2BD;(2)求 ABDC的值.证明在ABD中，由正弦定理得ABBDsin / ADB sin / BAD在AACD中，由正弦定理得ACDCsin / ADC sin / CAD又AD平分/ BAC,所以/ BAD = /CAD, sin / BAD = sin /CAD,又 sin /ADB = sin(向/ADC )= sin / ADC,BD AB由得3 一一 .DC AC 6, 所以 DC = 2BD.(2)解 因为 DC = 2BD,所以 DC = 2BC.3在MBC 中，因为 cos - "AC：CAC =3：:62 =1.所以 AB DC=AB 孤 2AB DC 2 3 72 12 一 一2 11223|AB|BC|cos( fB)=X 3X7X -21 = - y.2014高考直通车高考二轮攻略30讲第16讲平面向量的简单应用【课前诊断】1. (2012 重庆改编)设 x, y R,向量 a=(x,1), b= (1, y), c= (2, 4),且 a c, b / c, 则 |a+ b|=.解析a= (x,1), b=(1, y), c=(2, 4),由 a_Lc 得 a c= 0,即 2x 4= 0,x= 2.由 b/c,彳导 1X (4) 2y=0, .,.y=- 2. .a=(2,1), b= (1, 2).，a+b=(3, 1),，a+b| = 132+ - 1 2 = q 10.答案 102. (2012江苏)如图，在矩形 ABCD中，AB = #, BC=2,点E为BC的中点，点 F在边CD上，若AB aF =避，则AE bF的值是.解析方法一坐标法.以A为坐标原点，AB, AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), B巾,0), E他，1), F(x,2).故AB=(淄，0), AF = (x,2), AE=(<2, 1), BF=(x-小，2), . AB 靠=5，0) (x,2) =1 2x.一IJ _JI- _I-_又 A Ba F=>2, .-.x= 1.-.B F = (12). . A E B F = (/2, 1) (1-<2, 2)=72- 2+2 =.12方法二 用AB, BC表示Al, BF是关键.设DF = xAB,则 CF = (x 1)AB. 之 zrt- N c -AB AF = AB (AD + DF) = AB (AD + xAB)= xAB2= 2x又ABAFM也，2x=小，.-.x=：522.-.Bf = Bc+cf=Bc+ i22-1 AB.AE bF =(Ab + BE) bc+ 乎1 AB = AB+-1EBC bc+ g1 Ab9-1 Ab2 + 1BC2= 乎-1 X2+1X4=V2.答案 .23. （2012安徽卷改编）在平面直角坐标系中，点O（0,0）, P（6,8）,将向量OP绕点。按逆时针方向旋转3%得向量OQ,则点Q的坐标是 .解析 由题意，得|OP|=10,由三角函数定义，设P点坐标为（10cos 0, 10sin机 则cos0= 5，sin仁5，则Q点的坐标应为10cos。+芋，10sin。+亨.由三角知识得10cos。+ =7也，10sin。+ =一址， .Q（-7，-V2）.答案（7镜，-柩4. （2012天津卷改编）已知 ABC为等边二角形，AB=2.设点P, Q满足AP=虫B, AQ=（1一通,代R,若BQ cP = -2,则入=.解析 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0),C(1 ,、/3),由第=岫，得 p(2 0),由 AQ=(i ?)Ao,得 q(i n 黄(1 用,所以 BQ cP=(一入_L_ L311, W(1心(2 卜 1, p = (计 1)(2 L 1)-9中(1-铲%,解得 Q2.答案2【例题探究】在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且(2a+c) BC bA +cCA CB= 0.(1)求角B的大小；(2)若b= 25，试求AB CB的最小值.解 (1)因为(2a + c)BC BA+cCA CB = 0,所以(2a + c)accos B+ abccos C= 0,即(2a + c)cos B+ bcos C = 0,所以(2sin A+ sin C)cos B + sin BcosC= 0,即 2sin Acos B + sin(B+ C)= 0,因为 sin(B+C)=sin Aw0,所以cos B=-1,所以B=21.(2)因为 b2= a2+c2Zaccos,所以 12=a2+c2+ac>3ac,即 acW4,所以AB CB=accos21 .一> -> ，1 r 、，_=-2ac> 2,当且仅当a= c= 2时等号成立，所以 AB CB的最小值为一2.（2011 天津高考）已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, /ADC=90, AD = 2, BC= 1 , P是腰DC上的动点，则|或+3PB|的最小值为 .解析 解法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面 直角坐标系，设DC=a, DP=x. D(0,0), A(2,0), C(0, a), B(1, a), P(0, x), PA=(2, x), PB=(1, a-x),一 _ .PA+3P B=(5,3a-4x),|PA + 3P B|2 = 25 + (3a 4x)2 > 25,一 _ IPA+ 3P B|的最小值为5.解法二 设DP = xDC(0xv1),PC=(1-x)DC, >> > -1 >PA= DA DP = DA xDC , PB=PC+CB=(1-x)DC +-DA ,5 . PA+ 3PB= 2dA+ (3-4x)DC ,|Pa + 3PB|2= 25DA2+2X-5x(3-4x)DA dC + (3-4x)2 EDC2=25+ (3-4x)2DC2>,ZZ> 一二 一 |PA+ 3P B|的最小值为5.答案 5如图，在 OAB中，已知 P为线段 AB上的一点，OP = x OA + y OB.(1)若BP=PA,求 x, y 的值；(2)若bP=3PA, |OA|=4, |(Ob|=2,且 OA与OB的夹角为 60时，求 OPOB的值.解 (1)因为BP=PA,所以 BO + OP = PO+OA,即 2OP = OB + OA,所以 OP=2oA+2oB,11所以x=2, y=a.(2)因为 BP = 3PA,所以 Bt>+OP=3PO+3OA, 即0P=涵+昇,所以x=3 y=4.3t. - >3 > , 1 ->故OP AB= 4OA+ 4OB (OB - OA)= 1OB Ob-Oa OA + 1OA Ob 4421232c 1 c =4g_X42+2><4><2>5=- 9.冲刺强化练习(16)1. ABC 中，若 pA PB = PB PC=PCPA,则点 P 为ABC 的 心.irr 3 ZrL ztr L L 一解析 由 PA PB= PB PC= PC PA得PB (PA PC)=PB CA=0, PBXCA,同理可证 PCXAB, PAXBC,P 为ABC 的垂心.答案垂心2. (2010江苏南京二模)若平面向量a, b满足|a+b|=1, a+b平行于y轴，a=(2, 贝 U b =.解析 设 b=(x, y). .|a+b|=1, ，(x+2)2+(y1)2= 1.-1),又.a+ b平行于y轴，x=2,代入上式，得y=0或2. b=( 2,0)或 b=(2,2).答案(2,0)或(2,2)3.已知a=(入2九b=(3Z, 2),如果a与b的夹角为锐角，则入的取值范围是.解析 因为 a与b的夹角为锐角， 所以0<a;b<1,即0< j_3，丁 ： <1,解得 -4 1a11b|寸方 *9%+43，、一1 ,、1或0<床三或?>-33.答案 8,一寺 u 0, : U + 3334 .在 ABCD中，已知 AB=2, AD = 1, / DAB = 60,点M 为AB的中点，点 P在BC与5- 2A(0,0)APEdM = 3-CD上运动(包括端点),则AP DM的取值范围是 .解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则M(1,0), B(2,0) , D 2,当，C |,当.设 P(x, y), 1WxW5 则 AP DM =2x坐y.P 在 DC 上时，丫 =乎，则 AP dM =1x 4c -1, 1;，,一， 、-i、，ff f cL _P在BC上时，BC所在直线万程为 y= V3(x-2), AP DM = 3-x, xC 2,“ 1 1x e 2, 1 .综上APdM的取值范围是 一；，i .,1答案 一, 15 .如图，在正方形 ABCD中，已知AB=2, M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任 意一点，则AM AN的最大值是 .解析 由数量积的定义得 AM aN= AM| AN|cos/ NAM,当N点与C点重合时，|AN|cos / NAM最大，解三角形得最大值为 左，所以AM AN的最大值是6.答案 66 . (2010天津滨海新区联考)0是平面上一点，A, B, C是平面上不共线三点，动点 P满足op = oa+ xAb+Ac),上 1时，则 PA(pb+PC)的值为.r1 r 二二:.丁今1 zt-r 二L 1 ->一.“解析 由 0P = 0A+ XAB + AC),仁 2,得 AP = 2(AB+AC),即 P 为 4ABC 中 BC 边的中占I 八、.1.Pb+Pc = 0.-PA (PB+PC) =PA 0 = 0.答案 08.如图已知 A、B分别为 POQ的边OP、OQ上的动点且uuu uuuPOQ 60 , |OA OB| 6兀兀一 一1八一 右 一 1一 I7 . (2010佛山模拟)函数y= tan 1一2的部分图象如图所不，则.一一 .一.兀 兀 .一， ,一解析 由函数y=tan 2 2及图象可得 A(2,0), B(3,1),.(OA+OB) AB = (5,1) (1,1)=6.答案 6uuu uuuuur uur(1)若 OA OB 12,求 |OA|,|OB |;uuu uuu(2)求OA OB的最大值.uur uuu|OA OB| 622OA 2OA OB OB36uuu uurumr2OA OB 12, OAuuu2OB 60,uuuuuuOA OB24(2)uuu -|OA 23 _ uur 广或|OB| 4.3一 一 uuuOA OB |OA|uuu|OA|uuuOB|uuuuumcos POQ|OA| |OB|2OA一. 22OA OB OB 362 OAOAOB2OB 36一 2而OA，2OBOA OBOAOB36当且仅当 OAOB6时取等号Puuu uuu即OA OB的最大值为18.9.已知 ABC的三个内角A, B, C对应的边长分别为 a,b,c,向量m (sin B,1 cosB)与1向量n (2,0)夹角 余弦值为12.(1)求角B的大小；(2)4 ABC外接圆半径为1,求a c范围.uu b B B r解(1) Q m 2sin (cos,sin ), n 2(1,0), 222irm B B4sin cos uuB| m | 2sin 一r|n| 2cosur rm n-ur-|m| |n|B cos2B cos 2(2)Q Bsin AsinCsin Asin(3A)sin A1sin A 2sin cosA3,3八cosA 2cossin A3sin(3A)sin( A)3所以 sinA sinC (3,12又 a c=2RsinA 2RsinC = 2 sinAsinC ,所以a73,2 .10.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点 A, B.(1)求圆Q的面积;(2)求k的取值范围;是否存在常数k,使得向量OA+OB与PQ共线？如果存在，求 请说明理由.k的值；如果不存在,解(1)圆的方程可化为(x-6)2+y2=4,可得圆心为 Q(6,0),半径为2,故圆的面积为47t.(2)设直线B等价于l的方程为y=kx+ 2.直线l与圆(x6)2+y2=4交于两个不同的点A,管与<2,化简得(-8k2-6k)>0,解得%k<0,即k的取值范围为 yk2+14一 一y=kx+ 2(3)设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 OA+OB = (x1+ x2, y1 + y2),由x- 6 2+y2=4得(k2+ 1)x2+ 4(k-3)x+ 36= 0、4 k3 J16 k3 2 144 k2+1 2解此方程得x1,2=、22 k 14 k - 3小 则 X1 + X2= 1 + k2 又 yi + y2 = k(xi + x2)+ 4.而 P(0,2), Q(6,0), PQ=(6, -2).