两角和与差的正切函数.docx
南阳市五中高一数学郭娜2.3两角和与差的正切函数学习目标1 .知识目标：(1)掌握两角和与差的正切公式的推导；(2)掌握公式的正、逆向及变形运用；(3)正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决问题；(4)正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明(5)能将简单的几何问题化归为三角函数问题2 .能力目标：培养学生的数学转换能力及分析问题的能力3 .情感目标：(1)培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题；(2)通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识4 .重点：公式的推导及运用，培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法5 .难点：公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能课时安排1课时教学过程导入新课复习两角和、差的正弦公式，两角和、差的余弦公式如何计算sin75 cos15的值?(问题导入)如何计算tan75的值？思路1利用所学两角和的正弦与余弦公式思路2 怎样直接利用tan30利tan45 来求出tan15呢?公式推导Sin(" T) sin 二 cos : cos： sin : 当 cos( a + 3 )同Qtan( a + 3)= 亡=zcosj ") cos: cos - - sin 二 sin :若cos a cos 3券POpos a石鼠cos 3 W时，分子分母同除以 cos a cos缁tan 二" tan : tan( a + 3+-.1 - tan 二 tan -思考如何推导两角差的正切公式？思路1利用所学两角差的正弦与余弦公式思路2根据角8 3的任意性，在上面的式子中,3用-3代之，则有tan 二，tan(-P)tan(哪)=1 -tan 二 tan(-)tan: -tan :1 tan 二 tan :由此推得两角和与差的正切公式，简记为“T，价Ta +tan(t tan 工二 tan :+ 3 )=刊1 一 tan 工 tan :；5+ )tan c- - tan :tan( -3 )=F.(Ta-B)1 tan 二 tan -我们把公式丁.打裂分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道外3 " 布一定的取值范围，即 嗯+k兀侔Z), 吟+k兀侔Z), a 红k兀 侔Z)，这样才能保证tan( 女3tan a ,tanB街意义.TT思考：如何化简tan( y - 3 >因为tan|的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式 sin()2/COS -tan( g)=2= 来处理.2 J sin -cos(-)公式的逆用与变形应用例 1 求值：(1) tan 10 平 tan 50%>/3tan 10 tan 50；屹tan 15 (2)1 + V3tan 15 1 - tan151 tan15变式训练11.求(1+tan1 )(1+tan2 )(1+tan3 (1+tan44 的值 1.+tan452.计算：tan15 +tan30 +tan15 tan30 :公式的综合应用例 2 已知 tan a =2,tan -1 淇中 0 Voev , < 3< u .32 2求tan(哪);(/& +的值.变式1 若tan( “+ d,tan(-程)=1，求tan( 具)的值. 544411变式 2 已知 tan( a- 3)=2，tan 3= 一 7, 因(0, nt)求 2 a 3的值变式3如图，在平面直角坐标系 xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角 B两点，已知A, B的横坐标分别为 隼0，255-(1)求 tan( a- 3 的值；(2)求计3的值.3,它们的终边分别与单位圆相交于A,课堂总结1.已知A、B、C是斜4ABC的三个内角，求证：(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)tan tan +tan tan +tan tan =1.2222222.设关于x的一元二次方程 mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tan乃tan际tan( a +3取值范围3.求 tan70 + tan50 - J3 tan50 tan70 的值.4 .已知 sin 3 =m，sin(2 求证ptan(八Esin(2A B)5 .化简-2cos(A+B).sin A6 .已知 5sin 3 =sin(2 羽+调:2tan(a + 3 )=3tan a .参考答案：1.解:(1)A、B、C 是斜 4ABC 的内角，.A+B+C=ti ,即 A+B=lC.、, JT-C)=-tanC.由题意可知,A、B、C都不为,因此有tan(A+B)=tan(tan A tanB1 -tanAtanB二-tanC,去分母，移项，整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2) .tan(3%=tan-C).222 2tan tan 22AB1 -tan tan 221 ，一 一4 =-去分母移项，整理可得tan 一2tan tan +tan tan +tan tan =1.2222222 .解:由题设可知 m。且A =(2m-1)2-4m(m+1) > 由解得mC(-oo,0)u(0.8根据韦达定理可得tan ,tanjtan :tan_ m 1一 ,m_ 2m -1m1 -2mm1 -2mtan 工" tan 1 m贝U tan( a + 3 产:=-=2m-1.1 - tan : tan m 11 m m (-oo,0)u (0,1 ,，2m-1W2>1-1=-9，且 2m-1 六1.884tan( a + 的取值范围为(-00-1) u(-1,-.43.解:原式=tan(70 +50 )(1-tan70 tan50 )-m tan50 tan70 =-V3 (1-tan70 tan50 )- U3 tan50 tan70 = - V3 +3tan70 tan50 - V3 tan50 tan70=- V3 .原式的值为-3.4.证明：由 sin 3m sin(2 a+3)=sin ( a + 6aJ = m sin ( a + 3 )+ a=sin( a + 3 )ccss(a a + 3 )sin a=m sin( a + 3 )cos a +cos( oG + 3 )sin a 二(1-m) - sin( a + 3 )cos a=(1+ m ) - cos( a + 3 )sin a1 m=tan( a + 3 )= tan a .1 - m点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2(x+p可化为结论式中的a + 3与”的和,不妨将a +祚为一整体来处理.此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利 完成证明.5.解:原式sin(A B) A cos(A B)sin Asin Asin(A B) cosA - cos(A B) sin Asin Asin(A B) - AsinBsin Asin A点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变形的问题只涉及角.一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是 函数名，再次是代数式的结构特点.6.解：= 3 =( a + 0 )2 a + 3 =( a +105s+n a,( a + 6砌=sin ( a + 3 )+ ,a即 5sin( a + 3 )cos5cos( a + 3 )sin a =sin( a + 3 )cos a +cos( a + 3 )sin a . 2sin( a + 3 )cos a =3cos( a + 3 )s21an<. a + 3 )=3tan a .点评：注意到条件式的角是3和2a +即证式中的角是 a +和a显然不要”的角3和2 a +跑由要保留下来的角a + 3与a来替代.三角条件等式的证明，一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式 变形.三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角.因此，看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式 有：a =( a +-黔2 a =( a +赳+()；2-格=(3 )+造然变形的方式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析.
