2016年秋人教新版八年级上《第13章轴对称》单元测试含答案解析.docx

第13章轴对称（05）、选择题1 .在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A.2 .如图，/ 3=30。，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证/度数为（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 753 .如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（A.形状没有改变，大小没有改变B.形状没有改变，大小有改变C.形状有改变，大小没有改变D.形状有改变，大小有改变4 .正方形的对称轴的条数为（）A. 1B. 2C. 3 D. 45 .正三角形 ABC的边长为3,依次在边 AR BG CA上取点 A1、B1、G,使AA=BB=CC=1,则AB1G的面积是（）6.在 RtMBC中，/ C=90AB=10.若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过 AB的中点D,则AC=()A.5 B.7.观察下列图形，是轴对称图形的是（A.B.C.8.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中,A.B.C.是轴对称图形的为D.9.以下图形中对称轴的数量小于A.B.C.63的是（)10. 下列图案中,轴对称图形是（A.B.)C.D.0H11 .下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )12 .在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 （A 舌 BH c013 .下列图案是轴对称图形的是（）D.A.14 .如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15 .将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD转动这个四边形，使它形状改变,当/B=90时，如图 1,测得 AC=2当Z B=60时，如图 2, AC=（）A.上 B. 2 C.j D. 2二16 . P是/ AOB内一点，分别作点 P关于直线OA OB的对称点P1、P2,连接OP、0氏则下列结论正确的是（）A. OP1LOP2 B. OP=O吊C. OPO吊且 OP=O巳 D. OpwO吊17 .如图，点P是/ AO的卜的一点，点 M N分别是/ AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段 MN,点P关于OB的对称点 R落在MN的延长线上.若 PM=2.5cm, PN=3cm MN=4cm则A. 4.5cmB. 5.5cmC. 6.5cmD. 7 cm18 .已知AD BC, AB AD,点E,点F分别在射线 AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点 G,则（）A. 1+tan/ADB瓯B. 2BC=5CFC. Z AEB-220 =/ DEF D. 4cos/AGB瓯二、填空题19 .由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能 轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图 1,衣架杆OA=OB=18cm若衣架收拢时，/ AOB=60 , 如图2,则此时A, B两点之间的距离是 cm.20 .如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出A. 一个正五边形的对称轴共有 条.B.用科学计算器计算： 返1 + 3tan56 （结果精确到0.01）22 .如图， ABC是等边三角形，高 AR BE相交于点H, BC=4Ts|,在BE上截取BG=2以GE为边 作等边三角形 GEF，则 ABH与4GEF重叠（阴影）部分的面积为 .度.23 .如图，已知 ABC是等边三角形，点 B C、D、E在同一直线上，且CG=CDDF=DE则/ E=24 .如图，直线 all b, 4ABC是等边三角形，点 A在直线a上，边BC在直线b上，把 ABC沿BC方向平移BC的一半彳#到4 A B C（如图）；继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第 100个图形中等边三角形的个数是25.如图，点Bi是面积为1的等边 OBA的两条中线的交点， 以OB为一边，构造等边4 OBAi （点Qn次构造出Bi, Ai按逆时针方向排列），称为第一次构造；点氏是 OBAi的两条中线的交点，再以 OB为一边,构造等边4 OBA2 （点Q E2, A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第的等边 OBAn的边OA与等边 OBA勺边OB第一次重合时，构造停止.则构造出的最后一个三角形26 .已知等边三角形 ABC的边长是2,以BC边上的高AB为边作等边三角形，得到第一个等边三角形ABG,再以等边三角形 ABG的BG边上白高AB为边作等边三角形，得到第二个等边三角形 ABG,再以等边三角形 A3G的边E2Q边上的高A&为边作等边三角形，得到第三个等边AEG；，如此下去，这样得到的第 n个等边三角形 ABCn的面积为 27 .如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B (0,西)，点A在第一象限且 AB BQ点E是线段AO的中点，点M在线段AB上.若点B和点E关于直线OM寸称，则点M的坐标是(,).28 .已知等边三角形 ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 三、解答题(共2小题)29 .如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且DE/ AB,过点E作EF，DE,交BC的延长线于点F.(1)求/ F的度数;(2)若CD=2求DF的长.30 .如图，。为 ABC内部一点，OB=f|，P、R为。分别以直线 AB直线BC为对称轴的对称点.(1)请指出当/ ABC在什么角度时，会使得 PR的长度等于7?并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由.(2)承(1)小题，请判断当/ ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7?并完整说明你判断的理由.第13旗轴对称参考答案与试题解析一、选择题1 .在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.【解答】解：A、是轴对称图形，故 A符合题意；B、不是轴对称图形，故 B不符合题意；C、不是轴对称图形，故 C不符合题意；DK不是轴对称图形，故 D不符合题意.故选：A.【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折 叠后可重合.2 .如图，/ 3=30。，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证/度数为（）A. 30 B. 45 C. 60 D . 75【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质.2=60 ,根据/1、/ 2对称，则能求出/ 1【专题】压轴题.【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则/ 的度数.【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,/ 2+/3=90 , /3=30 ,.,-7 2=60 ,.,-7 1=60 .故选：C.【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想.3 .如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（）A.形状没有改变，大小没有改变B.形状没有改变，大小有改变C.形状有改变，大小没有改变D.形状有改变，大小有改变【考点】轴对称的性质.【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答.【解答】解：二轴对称变换不改变图形的形状与大小，.与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变.故选：A.【点评】本题考虑轴对称的性质，是基础题，熟记轴对称变换不改变图形的形状与大小是解题的关 键.4 .正方形的对称轴的条数为（）A. 1B. 2 C. 3D. 4【考点】轴对称的性质.【分析】根据正方形的对称性解答.【解答】解：正方形有 4条对称轴.故选：D.【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键.5 .正三角形 ABC的边长为3,依次在边 AB BG CA上取点 Ai、Bi、C,使AA=BB=CC=1,则A1B1C的面积是（A.73D_【考点】等边三角形的判定与性质.【专题】压轴题.2【分析】依题意画出图形，过点A作AiD/ BC,交AC于点D,构造出边长为1的小正三角形 AAD;由AC=2, AD=1,得点D为AC中点，因此可求出31.S*A AA1C=2S*A AA1于4；同理求出 SACC1B=S BB1A取后由 SAAiBiC=SAABL SAAA1C1- SACC1BC SZBB1A1 求得结果.【解答】解：依题意画出图形，如下图所示:过点A作AD/ BG交AC于点D,易知 AAD是边长为1的等边三角形.又 AC=AC CC=3 - 1=2, AD=1,点D为AC的中点,SAAA1C=2SAAA1=2X阱咽同理可求得 S>ACC1B=S*A BBIa,：,-S>AA1B1C=S>AABC- SaAA1C1- & CC1BrSA BB1AX32- 3X73234故选B.【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大.本题人口较宽，解题方法多种多样，同学 们可以尝试不同的解题方法.AC=()【考点】等边三角形的判定与性质；含6 .在RtABC中，/C=90 , AB=10,若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过 AB的中点D,则30度角的直角三角形；勾股定理.【专题】计算题；压轴题.【分析】连结CD,直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB利用半径相等得到 CD=CB=DB可判断 CDB为等边三角形，则/ B=60 ,所以/ A=30。，然后卞据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC,再1f算AC.【解答】解：连结 C口如图,/C=90 , D为 AB 的中点,CD=DA=D B而 CD=CBCD=CB=D B .CDB为等边三角形,/ B=60 ,.ZA=30 , BC=|"AB=gx 10=5, AC BC=. 故选C.【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角形；等边三角形的三个内角都等于60。.也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30度的直角三角形三边的关系.7.观察下列图形，是轴对称图形的是（）B JLD【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解.【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；H不是轴对称图形，故本选项错误.故选A.【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折 叠后可重合.8.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解.【解答】解：A、不是轴对称图形，B、不是轴对称图形，C、不是轴对称图形，D是轴对称图形，故选：D.【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形 的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形.9.以下图形中对称轴的数量小于3的是（【考点】轴对称图形.【分析】根据对称轴的概念求解.【解答】解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；H有2条对称轴.故选D.【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线 折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.10 .下列图案中，轴对称图形是（）【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解.【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；Dk是轴对称图形，故此选项正确；故选；D.【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对 称轴.11 .下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解.【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；DK是轴对称图形，故本选项正确.故选D.【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折 叠后可重合.12.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.卜面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是A.B.番如D意【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解.【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；H不是轴对称图形，故本选项错误.故选A.【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折 叠后可重合.13 .下列图案是轴对称图形的是（A.因B至【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解.【解答】解：A、是轴对称图形，B、不是轴对称图形，C、不是轴对称图形，DK不是轴对称图形，故选：A.【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重 合.14 .如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】轴对称的性质.【分析】根据轴对称的性质作出选择.【解答】解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限.【点评】本题考查了轴对称的性质.此题难度不大，采用了 “数形结合”的数学思想.15 .将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD转动这个四边形，使它形状改变,当/B=90时，如图 1,测得 AC=2当Z B=60时，如图 2, AC=()AB. 2 C.上 D. 2二【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质.【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形即可求得.【解答】解：如图1, AB=BC=CD=DA/B=90 ,四边形ABC比正方形,连接 AC,则 AB2+BC2=AC2,AB=BC=；匚如图2, / B=60 ,连接 AC,.ABC为等边三角形,AC=AB=bC=.【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正 方形的边长是关键.16 . P是/ AOB内一点，分别作点 P关于直线OA OB的对称点R、P2,连接OP、OR,则下列结论正确的是()A. OFPXOB B. OP=OEC. OFPXOP2且 OP=OP2 D. ORWOP2【考点】轴对称的性质.【专题】压轴题.【分析】作出图形，根据轴对称的性质求出OP、OR的数量与夹角即可得解.【解答】解：如图，点 P关于直线OA OB的对称点Pi、P2,op=op=op,/ AOPh AOP, / BOPh BOP, / PiOB=Z AOP廿 AOP+/ BOP廿 BOP,=2 (/ AOP吆 BOP ,=2/AOB/AOB度数任意， OP LOP不一定成立.故选：B.【点评】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，作出图形更形象直观.17.如图，点P是/ AOB7卜的一点，点 M N分别是/ AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段 MN,点P关于OB的对称点 R落在MN的延长线上.若 PM=2.5cm, PN=3cm MN=4cm则A. 4.5cmB. 5.5cmC. 6.5cmD. 7 cm【考点】轴对称的性质.【专题】几何图形问题.【分析】利用轴对称图形的性质得出PM=MQPN=NR进而利用 MN=4cm得出NQ的长，即可得出 QR的长.【解答】解：二点 P关于OA的对称点Q恰好落在线段 MN,点P关于OB的对称点R落在MN的延 长线上，PM=M QPN=NRPM=2.5cm, PN=3cm MN=4cmRN=3cm MQ=2.5cm即 NQ=MNMQ=+2.5=1.5 (cm),则线段 QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5 (cni).故选：A.【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ PN=NR!解题关键.18.已知AD/ BC, AB AD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点 G,则()A. 1+tan/ADB由 B. 2BC=5CFC. Z AEB-220 =/ DEF D. 4cos/AGB匹【考点】轴对称的性质；解直角三角形.【专题】几何图形问题；压轴题.【分析】连接CE,设EF与BD相交于点0,根据轴对称性可得 AB=AE并设为1,利用勾股定理列式 求出BE,再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE再求出BC=1,然后对各选项分析判断利用排除法求解.【解答】解：如图，连接 CE,设EF与BD相交于点0,由轴对称性得，AB=AE设为1,则beM汩忸j,点E与点F关于BD对称，DE=BF=BE=J, .AD=1土，. AD/ BC, AB AD, AB=AE四边形ABC比正方形，BC=AB=11+tan / ADB=1=1+口一 1=区，故A正确;CF=BF- BC仍-1,，2BC=2X 1=2,5CF=5（近-1）, .2BO 5CF,故 B 错误;Z AEB-22 =45 +22 =67 ,. BE=BF / EBF=/ AEB=45 ,=67.5，/DEF=/ BFE=67.5 ,故 C错误;由勾股定理得，O=bE! - BC2=（四2J442五）2=4-班24. 0加-S OE=2. / EBG+Z AGB=90 ,/ EBG吆 BEF=90 ,/ AGB=Z BEF,又. / BEF=Z DEF4cos /AGB=2/Z -匹 故 D错误.故选：A.【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为 1可使求解过程更容易理解.二、填空题19.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图 1,衣架杆OA=OB=18cm若衣架收拢时，/ AOB=60 ,如图2,则此时A, B两点之间的距离是18 cm.【考点】等边三角形的判定与性质.【专题】应用题.【分析】根据有一个角是 60。的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.【解答】解：OA=OB /AOB=60 ,.AOB是等边三角形， . AB=OA=OB=18cm故答案为：18【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60。的等腰三角形的等边三角形进行分析.20 .如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品书.【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答.【解答】解：如图，I H O O K这个单词所指的物品是书.故答案为：书.【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形.21.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分.A. 一个正五边形的对称轴共有5 条.B.用科学计算器计算： 返+ 3tan56八 10.02（结果精确到0.01 ）【考点】轴对称的性质；计算器一数的开方；计算器一三角函数.【专题】常规题型；计算题.【分析】A.过正五边形的五个顶点作对边的垂线，可得对称轴.B.先用计算器求出近0、tan56。的值，再计算加减运算.【解答】解：（A如图，正五边形的对称轴共有 5条.故答案为：5.(B) 呵5.5678 , tan56 1.4826 ,贝卜3tan56 5.5678+3 X 1.4826 10.02故答案是：10.02 .【点评】A题考查了轴对称的性质，熟记正五边形的对称性是解题的关键.B题考查了计算器的使用,要注意此题是精确到0.01 .GE为边22.如图， ABC是等边三角形，高 AR BE相交于点H, BC=gjj,在BE上截取BG=2以作等边三角形 GER则ABH与4GEF重叠（阴影）部分的面积为【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理.【专题】压轴题.可得【分析】根据等边三角形的性质，可得AD的长，/ ABG=/ HBD=30 ,根据等边三角形的判定, MEH勺形状，根据直角三角形的判定，可得FIN的形状，根据面积的和差，可得答案.【解答】解：如图所示:由 ABC是等边三角形，高 AR BE相交于点H, BC=,得AD=BE："BC=6 / ABGh HBD=30 .2由直角三角的性质，得/ BHD=90 - Z HBD=60 .由对顶角相等，得/ MHE=BHD=60由 BG=2 彳导 EG=BE- BG=6- 2=4.由GE为边作等边三角形 GEF得FG=EG=4 / EGF=Z GEF=60 , MHE等边三角形;由三角形外角的性质，得/BIG=Z FGE- /IBG=60 -30 =30 ,由/ IBG=/BIG=30 ,得 IG=BG=Z由线段的和差，得IF=FG- IG=4- 2=2,由对顶角相等，得/ FIN=/BIG=30 ,由/FIN+/F=90 ,彳导/ FNI=90 ,由锐角三角函数，得FN=1, IN=f73|.五边形 NIGHI=SA EFG SA EMH- SAFIN=?x42"tx22"xxi=EP|,故答案为：蹩【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判 定，利用图形的割补法是求面积的关键.E= 1523.如图，已知 ABC是等边三角形，点 B、C、D、E在同一直线上，且 CG=CD DF=DE度.【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质.【专题】几何图形问题.【分析】根据等边三角形三个角相等，可知/ ACB=60 ,根据等腰三角形底角相等即可得出/ 度数.【解答】解：. ABC是等边三角形， ./ACB=60 , / ACD=120 , CG=CD ./ CDG=30 , / FDE=150 , DF=DE ./ E=15 .故答案为：15.【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180。以及等腰三角形的性质，难度适中.24 .如图，直线 all b, 4ABC是等边三角形，点 A在直线a上，边BC在直线b上，把 ABC沿BC方向平移BC的一半彳#到4 A B C（如图）；继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第 100个图形中等边三角形的个数是400【考点】等边三角形的判定与性质；平移的性质.【专题】规律型.【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有 2n个,小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数.【解答】解：如图 .ABC是等边三角形,AB=BC=AC. A B,> / AB BB =B，C= A3C,.B OB, CO=AC,.B OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形.又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有 2个，小等边三角形有 2个,第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有 4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有 6个，依次可得第n个图形中大等边三角形有 2n个，小等边三角形有 2n个.故第100个图形中等边三角形的个数是：2X 100+2X 100=400.故答案为：400.【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律.25 .如图，点Bi是面积为1的等边 OBA的两条中线的交点， 以OB为一边，构造等边4 OBAi （点QBi, Ai按逆时针方向排列），称为第一次构造；点 口是 OBAi的两条中线的交点，再以 OB为一边， 构造等边4 OBA2 （点Q E2, A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第 n次构造出 的等边 OBAn的边OA与等边 OBA勺边OB第一次重合时，构造停止.则构造出的最后一个三角形【考点】等边三角形的性质.【专题】压轴题；规律型.【分析】由于点Bi是4OB刚条中线的交点，则点 Bi是AOBA的重心，而 OB蝠等边三角形，所以点B,也是AOBA的内心s / BOB=30 , / AOB=90 ,由于每构造一次三角形，OB边与OB边的夹角增加30 ,所以还需要（360-90） + 30=9,即一共i+9=i0次构造后等边 OBA的边OA与等边OBA勺边OB第一次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，由 OBA与 OBA勺面积比为,求得构造出的最后一个三角形的面积.【解答】方法一: 解：,点Bi是面积为i的等边 OBA的两条中线的交点，.点B是AOBA的重心，也是内心，/ BOB=30 ,.OBA是等边三角形， /AiOB=60 +30 =90 , 每构造一次三角形，OB边与OB边的夹角增加30 , 还需要（360- 90） + 30=9,即一共i+9=i0次构造后等边 ORA的边OA与等边& OBA勺边OB第一次重合，构造出的最后一个三角形为等边OBA。.如图，过点0作B1ML OB于点M,cos / B1OM=cos300&1同理，可得吧）OB2=I3OB,即即Sa OB2A=TZ-SAOB1AT故答案为即构造出的最后一个三角形的面积是方法. /AOA=30 , / AOA=30 , / AOB=60 ,，每构造一次增加 30 ,360 - S0n=10, .OB" AOA1?, Sa obQ1 ,【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有084与4 OBA的面积比为进而总结出规律是解题的关键.定难度.根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边OB0A10及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出26.已知等边三角形 ABC的边长是2,以BC边上的高AB为边作等边三角形，得到第一个等边三角ARG;，如此下形ABG,再以等边三角形 ABG的BiC边上白高A3为边作等边三角形，得到第二个等边三角形 A&C2,再以等边三角形 ABG的边B2G边上的高A2为边作等边三角形，得到第三个等边【考点】等边三角形的性质.【专题】压轴题；规律型.【分析】由AB为边长为2的等边三角形 ABC的高，利用三线合一得到 B为BC的中点，求出BB的长，利用勾股定理求出 AB.的长，进而求出第一个等边三角形AB.G的面积，同理求出第二个等边三角形A3Q的面积，依此类推，得到第 n个等边三角形 ABhG的面积.【解答】解：二等边三角形 ABC的边长为2, ABXBC,BB=1, AB=2,根据勾股定理得：ABi=B3,，第一个等边三角形ABC1的面积为4（四辿出1等边三角形ABC的边长为网,AB2X BiG,明考，AB=西根据勾股定理得：AB=H，第二个等边三角形 ABC2的面积为督 x （春）2阳 用） 依此类推，第n个等边三角形ABG的面积为超（爸）n.故答案为：西（身）， 【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的 关键.27.如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B （0,西），点A在第一象限且 AB BQ点E是线段AO的中点，点M在线段AB上.若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（-1,【考点】轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形.【专题】压轴题.【分析】根据点 B的坐标求出OB的长，再连接 ME根据轴对称的性质可得 OB=OE再求出AO的长 度，然后利用勾股定理列式求出 AB的长，利用/ A的余弦值列式求出 AM的长度，再求出 BM的长， 然后写出点M的坐标即可.【解答】解：二点 B （0,西），OB=ZH,连接ME点B和点E关于直线OM寸称，OB=OE=1，点E是线段AO的中点, .AO=2OE锢根据勾股定理，AB= J加2 比2 =/（273）2 -而"=3，解得AM=2BM=AB AM=3- 2=1 ,.点M的坐标是（1, 西 故答案为：（1,四）.【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质并作 出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.28 .已知等边三角形 ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1, 7 .【考点】等边三角形的性质；平行线之间的距离.【专题】计算题；压轴题.【分析】根据题意画出相应的图形，直线DMf直线NF都与AB的距离为1,直线N*直线ME都与AC的距离为2,当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ P到BC的最大 距离，根据题意得到 NFG MDETB为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值 求出DB与FB的长，以及 CG与CE的长，进而由 DB+BC+CE出DE的长，由 BC- BF- CGt出FG的 长，求出等边三角形 NFG与等边三角形MDE勺高，即可确定出点 P到BC的最小距离和最大距离.【解答】解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1,直线NG与直线ME都与AC的距离为2, 当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当 P与M重合时，MQ P到BC的最大距离,根据题意得到 NFG与MDEIB为等边三角形,FG=BG BF- CG则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1,7.【点评】此题考查了等边三角形的性质,以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键.三、解答题29 .如图，在等边三角形 ABC中，点D, E分别在边 BC, AC上，且 DE AB,过点E作EF，DE,交BC的延长线于点F.(1)求/ F的度数；【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.【专题】几何图形问题.【分析】(1)根据平行线的性质可得/EDC=/ B=60 ,根据三角形内角和定理即可求解;(2)易证 EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.【解答】解：(1) .ABC是等边三角形， DE/ AB, / EDCN B=60 , EH DE,/ DEF=90 , ./ F=90 - / EDC=30 ;. / ACB=60 , / EDC=60 , .EDC是等边三角形.ED=DC=2/ DEF=90 , / F=30 ,DF=2DE=4【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半.30.如图，。为 ABC内部一点，08=机，P、R为。分别以直线 AB直线BC为对称轴的对称点.(1)请指出当/ ABC在什么角度时，会使得 PR的长度等于7?并完整说明PR的长度为何在此时会 等于7的理由.(2)承(1)小题，请判断当/ ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7?并完【考点】轴对称的性质；三角形三边关系.【分析】(1)连接PB RB,根据轴对称的性质可得 PB=OB RB=OB然后判断出点 P、B、R三点共线日PR=7,再根据平角的定义求解；(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答.【解答】解：(1)如图，/ ABC=90时，PR=7.证明如下：连接 PR RRP、R为O分别以直线AR直