高中数学第六章不等式证明六(构造法及其它方法)教学案苏教版.docx

教材：不等式证明六（构造法及其它方法）第十一教时目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。过程:、构造法：1 .构造函数法,115例一、已知x > 0 ,求证：x +- + >-x 12x x1 . 一 1.证：构以函数f (x) =x+ (x >0)则x+22,设2Wa<B，一 -1- 1由 f （二）一 f （：）=:一（：丁）=（：-）C F显然例二、求证:OtP2<o<PCt P > 0, otP - 1 > 0,X）在2,收）上单调递增，左边 > f （2）x2 10y = -2-x 910>一3证：设 t =，x2 9(t _3)则 f(t) =y =一用心爱心专心4用定义法可证：f （ t）在3, +望）上单调递增令:3wt<2 则 f(t1) f (t2)=2/2一口二。）。0t1t22x2 10一y2x2 9- f(3) =33 1102.构造方程法：例三、已知实数 a, b, 不小于2。证：由题设：显然 a,c,满足a +abc = 2 ,求证：a, b, c中至少有一个b, c中必有一个正数，不妨设 a > 0 ,b c :-a,2bc = a22 八即b, c是二次万程X +ax + =0的两个实根。a28 c rr=a 0 0 即：a>2a21 sec 二-tan 二例四、求证： 一 _2 _ 3 (? ； k二 ,k Z)3 sec 二 tan22 .、丁 、几 sec 【-tan .,2证：设 y=2 则：(y 1)tan e + ( y + 1)tan 日 + ( y - 1) = 0sec 【tan 二当y= 1时，命题显然成立当 y 0 1 时，=(y + 1) 2 _ 4( y _ 1) 2 = (3 y - 1)( y - 3) >01八，一_ y _ 3综上所述，原式成立。(此法也称判别式法).构造图形法：例五、已知0 < a < 1 , 0 < b < 1 ,求证：.a2 b2, (a-1)2 b2. a2(b -1)2 (a -1)2 (b -1)2 _2 2证:构造单位正方形， O是正方形内一点O至IJAD AB的距离为a, b,则 |AO + | BO + | CO + | DO 刁 AC + |其中 | AOR Ja2 b2|BO|= . (a-1)2 b2|CO|= . (a -1)2 (b-1)2| DO 尸：a2 (b-1)2又:：、a2 b2, (a -1)2 b2a2 (b 一 1)2. (a -1)2 (b -1)2 _ 2 2作业：证明下列不等式:x2 -x 1 3x2 x 1人 x - x 12令 y =-,则(y -1) x + ( y + 1) x + ( y - 1) = 0x x 1用法，分情况讨论2.已知关于x的不等式(a2-1)x2- (a - 1) x - 1 < 0 (awR ,对任意实数x恒成立,求证：_一 < a <1 o3分a2_ 1 = 0和1*1,讨论 <025>43.若 x > 0, y > 0, x + y = 1 ,则2x + y ；1I =12 14x y 1c左边二一一xy 2 xyy x xy1人+ 令 t = xy,则 0<tM xy,1 _1 f(t) =t + -在(0,上单调递减t 41 ,4.若 0 <a <-(k 之 2,k w N ),且k117J"寸Ia2 <令 f (a) = a - a2,又 0 :二 a :二一 b ：二 a -a2 :二 f (-) =1 - k kk21< 一 ,2k -1一记k 1，1，、八一f (a)在(0, 一 )上单调递增2k -11a) - f ( b) | < | a - b|D 75 .记 f (x)=41 + x2 , a > b > 0 ,则 | f (构造矩形ABCD F在CD上，使| AB = a, | DF = b, | AD = 1,则 | AC | AF < | cf6 .若x,y,z > 0 ,贝UJx2+y2+xy 十 # y2+ z2 + yz a Jz2+x2+ zx作/AOB= NBOG ZCOA= 120 :设 | OA = x, | OB = y, | OC = z