2018-2019学年2-22.2.1直接证明--综合法与分析法教案.docx
2.2.1直接证明-综合法与分析法、教学目标 1、知识目标：(1)结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；(2)通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；2、能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高严谨的态度能力。3、情感、态度与价值观目标：(3)增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。二、教学重点.难点教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点.三、学情分析合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。四、教学方法启发发现法、课堂讨论法。教具：多媒体、黑板、圆规、三角板。五、教学过程教学过程：探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：已知a,b>0,求证谈)+仪/ 4您之4必教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为之次,立> 0 ,所以式bW）之2出。因为-4/3勿已凤0,所以可，+国之2必。因此仪及田）+/+/）之而加。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导 出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件 Pi,为了证明Pi成立，再去寻求Pi成立的充分条件 P2,为了 证明P2成立，再去寻求 P2成立的充分条件 P3,直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。例如：基本不等式2（a>0, b>0）的证明就用了上述方法。要证上a之&2只需证a +1 >只需证a +b - 2 J原二 0只需证（%-质 >0由于03 - ,舟 *u显然成立，因此原不等式成立。一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分 析法。（三）、分析归纳，抽象概括用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论， 则综合法可表示为：（尸nQiT iT（2 n。）综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出 结论的一种证明方法。分析法可表示为：分析法的特点是：执果索因知识应用，深化理解例1、在 ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为 瓦1c，且A,B,C成等差数列,”，友1c成等 比数列,求证 ABE等边三角形.分析：将A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C； A , B , CJ ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C用；a , b, c成等比数列，转化为符号语言就是6 二比：.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系， 进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C .因为A,B,C为4ABC的内角，所以A + B + C .由，得b=3 .由a, b, c成等比数列，有 上二".由余弦定理及，可得h - a2 +，-2accs B -d2 -ac再由，得W 四=函.即0一4三0,因此4二亡.从而A=C.由，得7TA=B=C.所以 ABC为等边三角形.注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.例2、求证力+力42出。分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。证明：因为后+力历口2君都是正数，所以为了证明也+田<2耳只需明（的+历0小产展开得1。+2而 <20 ,只需证历M5,因为21 < 25成立，所以（的+0新尸成立。在本例中，如果我们从“ 2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“ 21<25”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q,；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P .若由P 可以推出Q,成立，就可以证明结论成立.下面来看一个例子.不a 户 H 匕T+Z）例3、已知2 ，且sin 9+ cos 9=2 sin a弘通3日三浦户1- tan3 1- tan3 j8求证：l+tan3a 2a + tan?。分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角因此第一步工作可以从已知条件中消去日。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（，山日+ 3才-2由日3人1,于是，由22X得4&小所2出!1"-1 ,把4zn Of- 2sin.三1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论:统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论转化为2. 3cos a sin 以二一（85口户一爪1?防鼻一口 n - 2 q i2击一 4史uca- 2gm /5 = 1 lt 但切口加加工,再与代比较，发现只要把2. 2cos a Sin T=（ccsa 5sin1 内2中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.证明：因为（曲日+ 3歹-2区打836=1 ,所以将 代入，可得4 sin2 a- 2gin3 #- 1另一方面，要证即证即证1-tan2 _ 1- tan21 + tan2 df2(1+tai?的sin3 a1 sin.2 jSI a- TTmJ 任 _ CQS p+牛 2(1+ gf a; cos Rg/ sin2 CS = (cqsi .一min"即证1-2sin1 cr = 1(1-2sini 即证4sifi2 a- 2sin.2 三 1由于上式与相同，于是问题得证。六、当堂检测g titp : ab >: 十 ；至 2,1、已知"3 ，则（）A. P是q的充分而不必要条件B. P是q的必要而不充分条件C. P是q的充要条件D. P是q的既不充分也不必要条件2、命题：函数/仁）二工一工也工在区间（0, 1）上是增函数 的证明过程”对函数八方二X-MlnH求导得的二T 一人工当xC（0, 1）时，/（X）=-1打工+。，故函数 了）在区间（0, 1）上是增函数：应用了 的证明方法.3、在平面a外，ar=p,p , wccb二尺.求证：p,q,r三点共线 4、求证:设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系， 更深刻地把握事物变化的规律。七、课堂小结1 .知识建构2 .能力提高3 .课堂体验八、课时练与测 九、教学反思
