数列通项公式的十种求法.docx

数列通项公式的十种求法、公式法 例1已知数列an满足an干=2an +3黑2"，a1 二 2 ,求数列a0的通项公式。解：an4=2&十3H两边除以2T得解=an+3,则触一2=3,故数列与是 21 2n 221 2n 22a 23a_3以4=1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得an = l+(n-1)-,21 222n2一 31c所以数列an的通项公式为an =(-n-)2noa a3评注：本题解题的关键是把递推关系式an4 = 2an+3M 2n转化为一翟二,说明数列2n 1 2n 2a是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an- =1 +(n-1)3 ,进而求出数列an的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足an书=an+2n+1,a1=1 ,求数列an的通项公式。解：由 an+ =an +2n+1 得 an由一an =2n+1 则an =(an - an二)(an 1 - anN) I H (a3 - a2) (a2 - a1 a12( n -1) 1 2(n -2) 1 IH (2 2 1) (2 11)1= 2(n -1) (n -2) IH 2 1 (n -1) 1= 2(n _1)n (n -1) 12二(n - 1)(n 1)12 二 n2所以数列an的通项公式为an =n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+ = an +2n+1转化为an+-an =2n + 1,进而求出(an an)+(anan/)+|+(a3 a2)+(a2 a1)+ai ,即得数列an的通项公式。例3 已知数列an满足an卡=an+2父3n十1, ai =3,求数列an的通项公式。解 ： 由 an卡=an+2Mn+ 3 得 1an 平一an =2M3n+1 则an- (an- an 9( anan _2 )I H (a3 -a2 )( a2" ai)ai二(2 3n,1) (2 3nN 1)(2 32 1) (2 31 1) 3n 1 n 221= 2(3333 ) (n -1) 3=23(1-3") (n.1) 3 1 -3=3n -3 n -1 3=3n n -1所以 an =3n n -1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an4=an + 2M 3n+1转化为an中-an =2父3n+1 ,进而求出 an =(an -an)+(an-an/) +| + (a3 a2) +(a2 a1)+ a1,即得数列an的通项公式。亘2，3n 3 3n书，例4 已知数列an满足an书=3an +2M3n+1, a1=3,求数列an的通项公式。解：an.=3an +2 M3n+1 两边除以 3nz 得 al3n3n 13nan，nQn 一(Qn 333n)(晅 An)IH (1-1)3n421213)+(3+产川飞2313n 3n 3nl 3nq32)a 2(n -1)至(1-3 ) 2n 11因此 an = 2in_J2 + 3+1=刍+1_3n31 -332 2 3nntt 2 n 1 n 1则 an n > 33.322评注：本题解题的关键是把递推关系式2口中=34+2><3"+1转化为与=2+工3n 13n 3 3n进而求出寻-步）（景-茨）（养-上）巾（$）a,即得数列a 3333333333的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。三、累乘法例5 已知数列a满足an =2（n+1）5nMan, ai=3,求数列an的通项公式。解：因为 an书=2(n+1)5n xan, & =3,所以 an =0,则包土 = 2(n+1)5n ,故 anananan Aa3 a2 自-可编辑修改-an J an _2a2 引= 2(n -1 1)5"d2(n -2 1)5" | 2(2 1) 522(1 1) 51 3= 2nn(n-1)川 3 2 5g)2，21 3n (n J)=3 2nl 5k n!n（n .1）所以数列an的通项公式为an =3父2n工父5 Mn!.进而求评注：本题解题的关键是把递推关系an由=2（n+1）5nMan转化为刍凶=2"+1）5an出n，如三日| a1,即得数列an的通项公式。 an 4 an 2a2 a1例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列 an满足a1 =1, an =a +2a2 +3a3 +川 +（n 1同工”之2）,求an的通项公式。解：因为 an =a1+2a2+3a3+111+(n-1)an/(n 之 2)所以 an + =a +2a2 +3as +IH +(n -1R.+ nan用式一式得 an i - an =nan.则 an 1. =(n 1)an(n _2)n!a2.故包!二n 1(n _2) an所以 an =-an- 晅 Ill a3-a=n(n -1)川 4 3同= anan/ a2由 an =a1 +2a2 +3a3 +| +(n 1)an(n 之2),取n = 2得22 = a1 +2a2,则 a2 =a1 ,又知n!ai =1,则 a2 =1，代入得 an =1 3 4 5，n = 。n2 n!所以，an的通项公式为an= 一2评注：本题解题的关键是把递推关系式an书=（n+1）an（n至2）转化为 至 =n + 1（n至2）,an进而求出-an-，哒4H，曳 包，从而可得当n22时，an的表达式，最后再求出数列an的 anan工a2通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an书=2an +3 M 5n, a1 =6 ,求数列an的通项公式。解：设 an书+xm5n* =2(an+x><5n)将an+=2an +3父5n代入式，得 2an +3><5n+xx 5付=2an+2<父51,等式两边消去2an ,得3 G + x W41 =余- 51,两边除以5n ,得3 + 5x = 2x则x = 1代入式得an+-5n+=2(an-5n)n "1由 a1一51 =65 =1*0 及式得 an 5n #0 ,则 an41 - n =2,则数列an5n是以an -5a151=1为首项，以2为公比的等比数列，则 an 5n =2n,，故烝=2n,+5n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an邛 =2an +3父5n转化为an平-5岬=2(an -5n),从而可知数列an -5n是等比数列，进而求出数列 % -5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例8已知数列an满足an干=3an +5x2n +4, a1 =1 ,求数列an的通项公式。解：设an书十xM2n*+y =3(an+xm2n+y) 将an4=3an +5 M2n +4代入式，得3an 5 2n 4 x 2nl y -3(an x 2n y)整理得(5 +2x)M2n +4 + y =3xM2n +3y。5 2x = 3x4 y =3yx =5,则iy =2，代入式得an+ +5父2n * +2 =3(an +5m2n +2).1由 ai+5M2 +2 =1+12 =13#0 及式，得 an +5M2n +2。0,则 an J62：- 2=3, an 5 2n 2n1故数列an+5M2 +2是以a+5M2 +2 =1+12 = 13为首项，以3为公比的等比数列,因止匕an+5父2n+2 =13M3n，则an =13父3n一5父2n -2 。评注：本题解题的关键是把递推关系式an4 =3an +5 M2n +4转化为an+5M2n*+2=3(an+5黑2n+2),从而可知数列为+5M 2n+2是等比数列，进而求出数列an +5黑2n +2的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。2例9已知数列an满足an甲=2an +3n+4n十5, a1 =1,求数列an的通项公式。22解：设 an中十x(n+1) +y(n+1) + z = 2(an+xn +yn+z) 2将an+=2an+3n +4n+5代入式，得2222an +3n +4n +5 +x(n +1) + y(n +1) + z = 2(a.+xn + yn + z),则2 22an (3 x)n (2x y 4)n (x y z 5) = 2an 2xn 2yn 2z22等式两边消去 2an，得(3+x)n +(2x + y+4)n+ (x + y+z + 5) =2xn +2yn+2z,3 x=2xx=3II解方程组2x + y+4=2y ,则y =10,代入式，得、x + y+z+5=2z z =1822an+ +3(n+1)2 +10(n +1)+18=2(an +3n2 +10n+18) .-2 一一一 一 一一 2 一 一 一由 a1+3M1 +10父1+18=1+31=32=0 及式，得 an + 3n +10n+18#02则 a1/ 3(n 1-10(n D 18=2,故数列an +3n2 +10n +18为以an 3n2 10n 18_2a1+3父1 +10父1+18 =1+31 =32为首项，以2为公比的等比数列，因此an +3n2 +10n +18=32M2n,，则 an =2n* -3n2 -10n-18o2评注：本题解题的关键是把递推关系式an4=2an+3n +4n+5转化为_2_2_an+ 3(n+1) +10(n+1)+ 18=2(an +3n +10n+18),从而可知数列22an+3n +10n+18是等比数列，进而求出数列an +3n +10n+18的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、对数变换法n 5例10已知数列an满足an+ =2父3父& , 4=7,求数列 an的通项公式。解：因为an盘=2父3nMa；, a = 7 ,所以an >0）, an1 >0。在an4 =2父3nM a5式两边取常用对数得lg an书=5lg an+n lg3+lg 2设 lg an 1 x(n 1) y =5(lg an xn y)将式代入 11K,得 5lg an + n lg 3 +lg 2 + x(n +1) + y =5(lg an + xn + y),两边消去 5lg an并整理，得(lg3 +x)n+x+y+lg2=5xn+5y ,则lg3lg3 x =5xx y lg 2 = 5yx =4,故 4lg3 lg2y 二164代入血,得 lgan 1 Jg3(n 1)幽 型=5(lgan n 屈 史)(2) u41644164-由皿十蛆不监+监二球+监个监+跖,0及” 41644164/日， lg3 lg3 lg2 -得 lgann04164lg an 1则1g3(n 1) .蛆监4164lg3 n Tn/盛164所以数列lg a +里n+鲂+蚂马是以lg7+蚂3+幽+旦2为首项，以5为公比的等 n 41644164lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2、n. t比数列，则 lgan+Wn+上一+> = （lg 7+、一+、一+一）5 ,因此41644164ig an = (lg 7ig 3,ig 3,ig 24161)5nJ3n lg3 lg2464n1二 (lg7 lg 34lg 3111lg 24)5nl -lg34 - lg 316 - lg 2n 11司g(7 34 316 24)5n4 -lg(3 4 316 24)1= lg(7 345n 二=lg(75n -4= lg(7316 24)5nJ -lg(34 316 24)5n 5n F5nl-4B- 3 k 2丁)5n-4n-15n 113 162 4 )5n 1-15n _4n J则 an =75nL><3 x2k。.一 一一n 5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an平=2父3 Man转化为lg.+/（n+-）+lg3+史=5（lgan+幽n + lg3+史），从而可知数列41644164lg an +/n +1g3 + 是等比数列，进而求出数列lg an +旭3 n +匣+蚂2的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。.n解：因为 an=a3（nw2n,所以 an=a；n/13(n)2n2 3n2nl二an/六、迭代法 例11已知数列an满足an+ =a3（n+）2n, A =5,求数列an的通项公式。n( nq3n 1n!2 21o即先将等式an噌=a：（nw2n两边取常用对数得lg an 1 -3(n 1) 2n lg an即9aH1 = 3（n +1）2n ,再由累乘法可推知 lg an, lg an1g an ：lg an 4lg an 4lg a3 lga23! 2IIIlga = lg5lg an 2 lg a2 lg a当=301n!2皿月,从而an = 5232(n/)n2(nZ (n =an _2_a35_2) 2n-32(n A) n 2(n 布口33(n-2)(n .1) n 2(n 9 (n 0 (n 1)=IH3n -2 3i.|-i|(n-2) (n)n 21 2,111 (n) (n (n 父=ain(n U3n -n! 2 2=a1又a- =5 ,所以数列an的通项公式为an =5评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。七、数学归纳法例12已知数列8(n 1)an满足 an 由=an +-22，(2n 1) (2n 3)a1 =,求数列an的通项公式。9解：由 an4 =an +8(?-1)2 及 a1 =8 得n* n (2n+1)2(2n+3)21 9a2=ai8(1 1)-2 -2(2 1 1) (2 1 3)249 9 2525a3-a28(2 1)248 348I ，" i-2-2一 一 一 (2 2 1) (2 2 3)25 25 49 49a4=a38(3 1)"7Z2-"Z2(2 3 1) (2 3 3)二48 士8049 49 8181由此可猜测an(2n 1)2 -1_2(2n 1),往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当 n=1 时,a1(2 1 1)2 -1(2 1 1)28一,所以等式成乂。9(2)假设当n=k时等式成立，即ak工,1时,ak 1 = ak8(k 1)-Z2 _ 2(2k 1) (2k 3)(2k 1)2 -18(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)222(2k 1)2(2k 3)22(2k 3)2 -1(2 k 3)22(k 1) 12 -12(k 1) 12由此可知，当n = k +1时等式也成立。一 一 *.根据(1), (2)可知，等式对任何 n = N都成立。n项，进而猜出数列的通评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法 1例13已知数列an满足an = (1 +4an + j1 + 24an), a1 =1 ,求数列an的通项公式。 16解：令bn，而，则不 =(b； -1)一 121故 an. =24(bn+ 1)，代入 an* =16(1+4an +j1+24an)得1211224(心 一1)：。145 一1)飞 即 4b：1 =(bn 3)2因为 bn =11+24an >0,故 bn+ = J1 +24a书之0贝 U 2bn 书=4 +3,3 - 2+1-2一,一1可化为 b1+-3=-(bn -3), 1 所以bn 3是以b1 3 = 41 +24al 3= Jl+24><1 3 = 2为首项,以为公比的等比数 列，因此 bn3=2(-)2 = (：)n“，则 bn=(-)n+3,即,1+24an =(-)m+3,得2/仆/小 14=3(4)(2)3。评注：本题解题的关键是通过将j + 24an的换元为bn ,使得所给递推关系式转化1 -3 bn书=2bn形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn3的通项公式, 最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法a1 = 4 ,求数列an的通项公式。后力人21x -24斛：令x =,4x 1得 4x2 -20 x 24 0则 x1=2, x2 =3 是函数 f (x)21x-24 3=的4x 1 21a -24例14 已知数列an满足an4=一n,4an 1两个不动点。因为21an -24an i _2 _ 4an 1 an i -3 = 21an 一244an 1-2-321an -24 -2(4an 1) 13an -26 13 an -221an -24-3(4an 1) - 9an -27 - 9 an - 3所以数列an4 -2an132为首项，以13为公比的等比数列，故9an-3nan -2则an =+3。-2 是以一3评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)21x -24224的不动点,即方程x4x 121x-24的由的两4x 1个根x1 =2, x2 = 3,进而可推出an i - 2an i -31n,从而可知数歹U <9 an -3anan-2 一卜为等比数-3列，再求出数列an -2 一 el 一 ，、的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。an -3例15 已知数列一一7a -2an满足an+ =， a1 = 2,求数列an的通项公式。2an 37x -2 一 2_ 3x -1解：令x =，得2x -4x +2=0,则x = 1是函数f (x)=的不动点。2x 34x 7因为 an 1 -1 = 7a- -1 2an 35an -52an 32/小 Jn 1an “(4)(2)3评注：本题解题的关键是通过将+ 24an的换元为bn ,使得所给递推关系式转化13 ,， ，一，bn+=石4+3形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21a. 24例14 已知数列an满足an+ =一n， a1 = 4 ,求数列an的通项公式。4an 121x24 一 o21x24解：令 x =，得 4x 20 x%4 0 ,则 x1 =2, x2 =3是函数 f (x)= 的4x 14x 1两个不动点。因为21an -24 2an1 -24an 1 -21an-24-2(4an1)13an-2613 an-2=。 所以数夕Dan 1 -321an-24 321an-24-3(4an1)9an -279 an- 34an 1a -2a 2 4 -213a-一b是以a=4=2为首项，以13为公比的等比数列，故评注：本题解题的关键是先求出函数个根x1 =2, x2 = 3,进而可推出an -3a1-3 4-3921x -2421x 24f(x)=的不动点，即方程x =的两4x 14x 1aA二2 二 13，曳二2 ,从而可知数列包二2 为等比数 an#3 9 an -3an - 3 J列，再求出数列la"121的通项公式，最后求出数列an的通项公式。an -31 .7a -2例15 已知数列an满足an+ =, a1 = 2 ,求数列an的通项公式。2an 37x-22- 3x -1解：令x =，得2x -4x +2=0,则x = 1是函数f (x)=的不动点。2x 34x 7因为an 1 -17an -22an 3d 5an -5- 1 二2an 3-可编辑修改-Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！