2019年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学(含答案).docx

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合M=x-4<x<2，N=xx2-x-6<0，则MN=Ax-4<x<3Cx-2<x<2Bx-4<x<-2Dx2<x<32设复数z满足z-i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A(x+1)2+y2=1Cx2+(y-1)2=1B(x-1)2+y2=1Dx2+(y+1)2=13已知a=log0.2，b=20.2，c=0.20.3，则2Aa<b<cBa<c<bCc<a<bDb<c<a4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12（5-10.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人2体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A165cmB175cmC185cmD190cm5函数f(x)=sinx+xcosx+x2在-p,p的图像大致为ABCD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是16BA51132C2132D11167已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a-b)b，则a与b的夹角为6B3C2D5A68如图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入2+ABA=2+AA=11ACA=11+2ADA=1+12A9记S为等差数列a的前n项和已知S=0，a=5，则nn45Aa=2n-5nBa=3n-10n2CS=2n2-8nnDS=1nn2-2n10已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF|=2|FB|，|AB|=|BF|，则C的方程为221Ax22+y2=1Bx2y2+=132Cx2y2+=143Dx2y2+=1542,p）单调递增|11关于函数f(x)=sin|x|+|sinx有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（pf(x)在-p,p有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是ABCD12已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，CEF=90，则球O的体积为A86pB46pC26pD6p二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。0)13曲线y=3(x2+x)ex在点(0，处的切线方程为_3214记Sn为等比数列an的前n项和若a1=1，a4=a6，则S5=_15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F，F，过F的直线与16已知双曲线C：x2y2-a2b2121C的两条渐近线分别交于A，B两点若FA=AB，FBFB=0，则C的离心率为112_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17(12分)BCbcABC的内角A，的对边分别为a，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC（1）求A；（2）若2a+b=2c，求sinC18（12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值19（12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若AP=3PB，求|AB|20（12分）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f(x)为f(x)的导数证明：（1）f(x)在区间(-1,p)存在唯一极大值点；2（2）f(x)有且仅有2个零点21（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分”为i时，最终认为甲药比乙药更有效的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)假设a=0.5，b=0.8(i)证明：pi+1-p(i=0,1,2,7)为等比数列；ix=，（1）1(ii)求p，并根据p的值解释这种试验方案的合理性44（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）1-t21+t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点Oy=4t1+t2为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2rcosq+3rsinq+11=0（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值23选修45：不等式选讲（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：11+a2+b2+c2；abc（2）(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3242019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D二、填空题13y=3x141213150.18162三、解答题17解：（1）由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc由余弦定理得cosA=b2+c2-a21=2bc2()因为0<A<180，所以A=60（2）由（1）知B=120-C，由题设及正弦定理得2sinA+sin120-C=2sinC，即6cosC+sinC=2sinC，可得cos(C+60)=-312+2222由于0<C<120，所以sin(C+60)=22，故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+2418解：（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点，2所以MEB1C，且ME=1B1C又因为N为A1D的中点，所以ND=1AD21由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(2,0,0)，A(2,0,4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，AA=(0,0,-4)，AM=(-1,3,-2)，111设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则mAA=0AN=(-1,0,-2)，MN=(0,-3,0)1mAM=011，设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n=(2,0,-1)-x+3y-2z=0，所以可取m=(3,1,0)-4z=0nMN=0，nA1N=0-3q=0，-p-2r=0于是cosm,n=mn2315=|mn|255，所以二面角A-MA1-N的正弦值为1052（1）由题设得F,0，故|AF|+|BF|=x+x+42219解：设直线l:y=3x+t,A(x,y),B(x,y)112231235，由题设可得x+x=129y2=3x从而-12(t-1)3y=x+t12(t-1)由2，可得9x2+12(t-1)x+4t2=0，则x+x=-1257=，得t=-928所以l的方程为y=37x-28（2）由AP=3PB可得y=-3y123y=x+t由2，可得y2-2y+2t=0y2=3x所以y+y=2从而-3y+y=2，故y=-1,y=31222213代入C的方程得x=3,x=112故|AB|=413320解：（1）设g(x)=f(x)，则g(x)=cosx-11+x1，g(x)=-sinx+.(1+x)2当x-1,时，g(x)单调递减，而g(0)>0,g()<0，可得g(x)在-1,有ppp222唯一零点，设为a.时，g(x)<0.则当x(-1,a)时，g(x)>0；当xa,p2所以g(x)在(-1,a)单调递增，在a,单调递减，故g(x)在-1,存在唯一极大值点，即f(x)在-1,存在唯一极大值点.pp22p2（2）f(x)的定义域为(-1,+).（i）当x(-1,0时，由（1）知，f(x)在(-1,0)单调递增，而f(0)=0，所以当x(-1,0)时，f(x)<0，故f(x)在(-1,0)单调递减，又f(0)=0，从（ii）当x0,时，由（1）知，f(x)在(0,a)单调递增，在a,单调递减，而f(0)=0，f<0，所以存在ba,，使得f(b)=0，且当x(0,b)时，f(x)>0；当xb,时，f(x)<0.故f(x)在(0,b)单调递增，在b,单调递减.又f(0)=0，f=1-ln1+>0，所以当x0,时，f(x)>0.从而，f(x)在0,没有零点.而x=0是f(x)在(-1,0的唯一零点.pp22pp22p2p2ppp222p2（iii）当x,p时，f(x)<0，所以f(x)在,p单调递减.而f>0，pp22p2f(p)<0，所以f(x)在,p有唯一零点.p2（iv）当x(p,+)时，ln(x+1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(p,+)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21解：X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-a)b，P(X=0)=ab+(1-a)(1-b)，P(X=1)=a(1-b)，所以X的分布列为（2）（i）由（1）得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p=0.4p+0.5p+0.1p，故0.1(pii-1ii+1i+1p-p=4(p-p).i+1iii-1-p)=0.4(p-piii-1)，即又因为p-p=p0，所以p101i+1比数列（ii）由（i）可得-p(i=0,1,2,i,7)为公比为4，首项为p的等1+(p-p)=p3p=p-p+p-p+88776+p-p+p=(p-p)+(p-p)+100877610148-1.由于p=1，故p=81348-1，所以)=44-1pp4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p)+(p11-p011=2573.p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率4为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p=4此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12570.0039，+(21+t222解：（1）因为-1<1-t21+t21，且xy21-t224t22+=1+t22)=1，所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).y=2sin（2）由（1）可设C的参数方程为l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.x=cosa,a（a为参数，-<a<）.4cosa-+11C上的点到l的距离为.|2cosa+23sina+11|3=77时，4cosa-+11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.当a=-23323解：（1）因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac，又abc=1，故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+ca111=+.abcabc所以111+a2+b2+c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc=1，故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.