偏微分方程数值解法试题与答案.doc

一填空（分）1若步长趋于零时，差分方程的截断误差，则差分方程的解趋近于微分方程的解. 此结论_（错或对）；2一阶Sobolev空间关于内积_是Hilbert空间；3对非线性（变系数）差分格式，常用 _系数法讨论差分格式的_稳定性；4写出在区间上的两个一阶广义导数：_，_；5隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_（错或对）。二（13分）设有椭圆型方程边值问题BDAC 用 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化；（2）用截断误差为的差分法将第三边界条件离散化；（3）整理后的差分方程组为 三（12）给定初值问题 ， 取时间步长，空间步长。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数在处的近似值。 1所选用的差分格式是： 2计算所求近似值：四（12分）试讨论差分方程 逼近微分方程 的截断误差阶。思路一：将r带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。五（12分）对抛物型方程，考虑Du Fort-Frankel格式 试论证该格式是否总满足稳定性的Von-Neumann条件？六 （12分）（1）由Green 第一公式推导Green第二公式： （2） 对双调和方程边值问题 ，选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性泛函和线性泛函： 相应的虚功问题为：极小位能问题为七（12分）设有常微分方程边值问题 将区间作剖分： 1若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条件： 2画出基函数在上的图形： 3将有限元解用基函数的形式表示出来：八（12分）设有常微分方程边值问题 1. 转化为相应的变分问题选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性性泛函和线性泛函： 2. 将二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。参考解答二（1） 即 （2） 或 （3） 或 三 四Box格式，二阶五练习题。总满足。六1在第一公式中 将位置对换，并进一步换 在原公式中换 2取 ,由第二公式有， 虚工问题：求，使 极小位能：求，使 七1 2 八1. 取 作内积 ，分部积分 虚工问题：求，使 极小位能：求，使2. 构造分段线性的结点基函数并补充 则 有限元方程为： + ，（理论解为：，）