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2018 年高中数学学业水平测试知识点【必修一】一、 集合与函数概念并集：由集合A 和集合B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：AB交集：由集合A 和集合B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：AB补集：就是作差。222的子集个数共有 n 个；真子集有 n 1 个；非空子集有 n 1 个；非空的真子有 n 2 个.2,a ,.,a1、集合 a12n= f (x)=( ) x, y = ( )互换，写出y f 1 x 的定义域；函数图象关于 y=x 对称。2、求y3、（1）函数定义域：分母不为 0；开偶次方被开方数 ；指数的真数属于 R、对数的真数4、函数的单调性：如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x ，x ，当 x <x 时，都有 f(x )<（> ）f(x )，的反函数：解出x f 1 y ，-0> 0 .121212那么就说 f(x)在区间 D 上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。5、奇函数：是f (- x) = - f (x)，函数图象关于原点对称（若 = 在其定义域内，则f (0) = 0 ）；x0偶函数：是f (- x) = f (x)，函数图象关于 y 轴对称。6、指数幂的含义及其运算性质：= a (a > 0且a 1)（1）函数y叫做指数函数。x（2）指数函数y = ax(a > 0,a 1)当 0 < a <1为减函数，当 a >1为增函数；a = a(a ) = a(ab) = a b (a > 0,b > 0,r, s Q)； 。ar；sr+srsrsrrr（3）指数函数的图象和性质a >10 < a < 11100-4-2-1(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1（4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数(5) 1;> 0,0 < a <1(5)x;xxx < 0, 0 < a < 1x< 0, a > 1xx7、对数函数的含义及其运算性质：x a（1）函数 = log ( > 0, 1)叫对数函数。yaa（2）对数函数 = log ( > 0, 1) 当x a0 < a <1为减函数，当 a >1为增函数；log 1 = 0 ；底真相同的对数等于 1：log a = 1 ，yaa负数和零没有对数；1 的对数等于 0 ：aa（3）对数的运算性质：如果a > 0 , a 1 , M > 0 , N > 0，那么：Mlog MN = log M + log N ； log= log M - log N； log M = nlog M (n R)。nNaaaaaaaalog b（4）换底公式：log b =(a > 0且a 1,c > 0且c 1,b > 0)clog aac1 (5)对数函数的图象和性质a >12.52.511.5100.5101-1-0.5-0.5-1-1.5-1.5-2-2.5-2.5（3）过定点（1，0），即 x=1 时，y=0（4）在 （0，+）上是增函数 （4）在（0，+）上是减函数(5)x> 1, log x > 0 ；aa0 < x < 1, log x < 00 < x < 1, log x > 0aa8、幂函数：函数y= xa叫做幂函数（只考虑a =1, 2,3,-1, 1的图象）。29、方程的根与函数的零点：如果函数y= f (x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) < 0，那么，函数y【必修二】一、直线 平面 简单的几何体= f (x)在区间 (a, b) 内有零点，即存在c (a,b)，使得 f (c) = 0 这个c就是方程f (x) = 0的根。= a + b + c2 ；正方体的对角线长l = 3a1、长方体的对角线长l 22243pR= 4pR=3； 球的表面积公式：S2、球的体积公式： v23、柱体、锥体、台体的体积公式：1V = S h ( S 为底面积，h 为柱体高)； V = Sh ( S 为底面积，h 为柱体高)3柱体锥体1V = ( S + SS + S ) h ( S , S 分别为上、下底面积，h 为台体高)台体34、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：（1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.（2）空间线线，线面，面面的位置关系：空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a a ，a I a = A ，a a 。/空间平面和平面的位置关系：（1）两个平面平行没有公共点；（2）两个平面相交有一条公共直线。2 5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。符号表示：b a a/a 。图形表示：a /b6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。bbb /a 。图形表示：a b = P a /ab /a7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。符号表示：b/ 。 图形表示：a a ba I b =b8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。a / /b,a I g,b I g/ /符号表示：=b a b= a9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。a, a, I a符号表示： a b a b = P l a l b l ,10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。a, b a b l 符号表示： l11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。a a符号表示：/ 。 a bb a12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示： a a b13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）bl , I = m,l m l .Pl( 0,9014、异面直线所成角的取值范围是直线与平面所成角的取值范围是；q Ha0,90；)0,180二面角的取值范围是； 0,180两个向量所成角的取值范围是二、直线和圆的方程y - yk= tan1、斜率：ka ， (- ,+ ) ；直线上两点P1(x , y ),P (x , y )，则斜率为21kx - x112222、直线的五种方程 ：21- y = k(x - x )P (x , y )，且斜率为k )（1）点斜式 y（2）斜截式 y(直线l 过点11(b 为直线 在 y 轴上的截距).111= kx +bly - yx - x=P (x , y ) P (x , y )x xy y1（3）两点式( (1、； ()、().1y - y x - x1112221222x y121+ =1 a、b 分别为直线的横、纵截距，a、b 0)(4)截距式(a b（5）一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0).3、两条直线的平行、重合和垂直：: y = k x + b l : y = k x + b(1)若l，1l l11222 k = k 且b b ;121212与l 重合时 k = k 且b = bl；12122 l k k = -1l.121 2: A x + B y + C = 0 l : A x + B y + C = 0(2)若l,且A 、A 、B 、B 都不为零,11111A B C2222122| l =A B Cl l A A + B B = 0l；111121212122223 (x - x ) + (y - y )4、两点 P （x ，y ）、P （x ，y ）的距离公式 P P =12211222122121x + xy y+5、两点 P （x ，y ）、P （x ，y ）的中点坐标公式 M（212 ，）211112222Ax + By + C6、点 P（x ，y ）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0 的距离公式 d=0000A2 + B 2C - C7、平行直线 Ax+By+C =0、Ax+By+C =0 的距离公式 d=2211A2 + B 2( )a,b( ) ( )- a + y - b = r8、圆的方程：标准方程 x222 ，圆心，半径为 ；rDE+ E - 4 FD 2 2一般方程 + + = 0，（配方：Dx Ey F）x2y2()()2x + y +=22241+ E- 4F > 0时，表示一个以(-DED22为圆心，半径为的圆；,- )+- 42 FD2E2229、点与圆的位置关系：(x , y )(x - a) + (y - b) = r2 的位置关系有三种：点 P与圆2200= (a - x ) + (b - y )若 d2 ，则200d > r 点 P 在圆外; d = r 点 P 在圆上; d < r 点 P 在圆内.10、直线与圆的位置关系：+ By + C = 0(x - a) + (y - b) = r2 的位置关系有三种:直线 Ax与圆22d > r 相离 D < 0; d = r 相切 D = 0;Aa + Bb + Cd < r 相交 D > 0.其中 d =.A2+ B211、弦长公式：若直线 y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x ，y )，B（x ，y ）两点，则由二次曲线方程1122ax +bx+c=0(a0)2y=kx+m则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：AB = (x - x ) + (y - y )= 1+ k x - x = （1+ k ）（x + x ） - 4x x22222121122121 21121+y - y = (1+ ) (y + y ) - 4y y1+= k=22k212k21212a13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：Z xoy 平面上的点的坐标的特征 A（x，y，0）：竖坐标 z=0xoz 平面上的点的坐标的特征 B（x，0，z）：纵坐标 y=0yoz 平面上的点的坐标的特征 C（0，y，z）：横坐标 x=0Bx 轴上的点的坐标的特征 D（x，0，0）：纵、竖坐标 y=z=0y 轴上的点的坐标的特征 E（0，y，0）：横、竖坐标 x=z=0z 轴上的点的坐标的特征 E（0，0，z）：横、纵坐标 x=y=0YExOAD（x -x ） +（y -y ） +（z -z ）P P =1222X2212121【必修三】算法初步与统计：以下是几个基本的程序框流程和它们的功能图形符号名称终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入输出的信息处理框（执行框）赋值、计算（语句、结果的传送）4 判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N”判断框流程线连接程序框（流程进行的方向）连接点注释框循环框程序做重复运算一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IFTHENELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DOLOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILEWEND”。三三种常用抽样方法：1、简单随机抽样；2系统抽样；3分层抽样。4统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距频率。2、频率分布直方图： 频率=小矩形面积（注意：不是小矩形的高度）频数频率组距计算公式： 频率=频数=样本容量 频率频率=小矩形面积=组距样本容量各组频数之和=样本容量，各组频率之和=13、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。（3）计算公式：1标准差：s =(x - x)1+ (x - x)+L + (x - x) 222n12ns =( x - x ) + ( x - x ) + L + ( x - x ) 2222方差：n12n直线回归方程的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y =b x+ a （此直线必过点（ ， ）。xy6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于 1。五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C表示.随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。由定义可知 0P（A）1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是 0。1、事件间的关系：（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B（或事件B 包含事件A）；（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率的加法公式：（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以 P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)5 3、古典概型：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能m事件A包含的基本事件个数P(A) =性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：4、几何概型：n实验中基本事件的总数（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等事件A构成的区域的长度（面积或体积）P(A) =（3）几何概型的概率公式：实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）【必修四】一、 三角函数180180 = ( ) 57 18l =| | r ；弧长公式： a （ 为a 所对的弧长， 为半径，1、弧度制：（1）、op 弧度，1 弧度oolrp正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。2、三角函数：yrxryxx= x + y（1）、定义： sin a cos atan acot a=r22=y3、特殊角的三角函数值：a0120135150 180 270 360的角度2p33p43p2a02p0的弧度0-1001023-1-22333tana01- 3-1-33sinacosasin a + cos a = 1tana cota = 14、同角三角函数基本关系式：tana =225、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。1、 诱导公式一：2、 诱导公式二：3、诱导公式三：()( )( )sin a + 2kp = sina,sin p +a = -sina,sin -a = -sina,()( )( )cos a + 2kp = cosa,cos p +a = -cosa,cos -a = cosa,( )( )tan a + 2kp = tana.tan p +a = tana.tan -a = - tana.4、诱导公式四：5、诱导公式五：6、诱导公式六：( )sin p -a = sina,pp2sin+a = cosa,sin-a = cosa,( )2cos p -a = -cosa,( )pptan p -a = - tana.cos+a = -sina.cos -a = sina.2 26、两角和与差的正弦、余弦、正切：sin(a + b) = sina cos b + cosa sin b：sin(a - b) = sina cos b - cosa sin bSS(a+b )(a-b )：cos(a + b) = cosa cos b sina sin b：a - =cos( b) cosa cos b sina sin bC-C+(a+b )(a-b )tan a - tan btan a + tan bT(a+b )：T： tan(a b)- =tan( a + b ) =1 - tan tanab(a-b )1+ tan a tan baba b 1- tanatanbaba b 1+ tanatanbtan +tan = tan( + )()tan -tan = tan( - )( )ab7、辅助角公式： sin + cos =x b+ sin +cos axa2bxx2+ b2a + b2 a226 = a + b (sin x cos +j cos sin j)x sin 2a = 2 sina cosa2 tana= a + b sin( j)x +22228、二倍角公式：（1）、S ：C ：2cos 2a = cos a - sin a = 1- 2 sin a = 2 cos a -12222aa2T ： tan 2 =2aa1- tan a2（2）、降次公式：（多用于研究性质）11- cos 2a1121+ cos 2a 1= cos 2a +1sina cosa = sin 2asin a = - cos 2a +cos a =22222222= sina, y =cosa,y =tana,y =cotay 是偶函数，其它三个是寄函数。（指数= cosa9、在 y四个三角函数中只有函数、对数函数是非寄非偶函数）10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；y = Asin(wx +j) + by = Acos(wx +j) + b如：再求解。y = Atan(wx +j) + by = Acot(wx +j) + b11、三角函数的图象与性质：函数y=sinxy=cosxy=tanx图象x | x kp + ,k ZRR2-1,1值域R奇函数2p2p在2 p - ,2 p + () 增kk在2 p p,2 p (k -在 k k + (k Z ) 减2 p,2 p p2k3p在2 p + ,2 p + (k Z ) 减kk2p= 1当p时， y=12maxxmax无p1= -1 当 = (2 +1) , 时， y = -当pxkmin2对称中心 p，pp(kp + ,0)2对称中心， k Z(k Z)对称轴： = p +x k= k k Z)(对称轴：无对称轴： xp2( )= Asin x +w j12函数 y的图象：（1）用“图象变换法”作图y = sin xy = Asin(wx + j)由函数法一：先平移后伸缩的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 y = A sin( x +w j)sin x y = sin( x + )纵坐标变为原来的 A倍=向左 (j>0)或向右 (j<0)yj横坐标不变平移|j|个单位向左y= sin x (j>0)或向右(j<0) y = sin( x + )j1横坐标变为原来的 倍平移|j|个单位w = sin（ +w j）xy，纵坐标不变法二：先伸缩后平移1w横坐标变为原来的 倍y = sin x y= sin x y =wx +sin(w j)向左(j>0)或向右(j<0)纵坐标不变jw平移| |个单位7 y = Asin( x +w j)纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y = Asin(wx + j)> 0 ，x 0，+ )当函数（A>0，w）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡2p=位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T，它叫做振动的周期；单位时w1 2p= =w jx +j间内往复振动的次数 f，它叫做振动的频率；叫做相位， 叫做初相（即当x0 时的相位）。wT二、平面向量1、平面向量的概念：( )1在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量( )2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向uuurABuuurAB( )3向量的大小称为向量的模（或长度），记作( )40模（或长度）为 的向量称为零向量；模为1 的向量称为单位向量rrr( )5-与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作 a ( )6方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么rr+ br)=a +b .rrr rrr(1) 结合律：(a )=()a ;(2)第一分配律：(+)a =a +a;(3)第二分配律：(ar rrr3、向量的数量积的运算律：(1) a b =b a （交换律）;rrrrrrrr(2)（ a ）b = （a b ）= a b =a （b ）;(3)（arrrrrrr） = a +b .llllccc+ b4、平面向量基本定理：r r如果e 、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、 ，使得ra = e + e rr1212r r1122不共线的向量e 、e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底12( ) ( )()5、坐标运算：（1）设 =, y , b = x , y，则 =a bx y,yaxx11221212( ) (= x y = x y) l ,l ,la b = x x + y y，数量积：数与向量的积：a11111212()= x - x , y - y（2）、设 A、B 两点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则AB.（终点减起点）11uuur2uu2ur uuur2121| AB |= AB AB = ( - ) + ( - )6、平面两点间的距离公式：（1）=x x y y22dA,B2121| a | = a a = x + y2 ；2（2）向量a 的模|a |：2 0 a = 0 0 a = 0，a+ (- ) = 0，a（3）、平面向量的数量积：cos， 注意：a b = a bqx x + y ycos =( ) ( )q1 212= x , y ,b = x , y（4）、向量aq的夹角 ，则，x + y x + y222211221122/ b a = b ( R) a/ b x y x y= 0-7、重要结论：（1）、两个向量平行： all，1221 b x x + y y = 0（2）、两个非零向量垂直 a1212= PP（3）、P 分有向线段PP 的：设 P（x，y） ，P （x ，y） ，P （x，y） ，且PP l，1211122212l+ x1+ ll+ yx + xxx =则定比分点坐标公式三、空间向量xy=中点坐标公式12122y + yyy =12122+1 l1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）( )1在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量( )2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向uuurABuuurAB( )3向量的大小称为向量的模（或长度），记作8 ( )4模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1 的向量称为单位向量rrr( )5-与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作 a ( )6方向相同且模相等的向量称为相等向量rrr rll 0ll 0<与 方向相同；当 时，>a a2、实数l 与空间向量a 的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算当时，rr rrrrll 0l0 la 与 a 方向相反；当 = 时， a 为零向量，记为 a 的长度是a 的长度的 l 倍rrlm3、设 ， 为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律( )rrrrrr( ) ( )l m = lm分配律： a + b = a + b ；结合律：a a ll l4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线( )r rrrrrr 0a / bl的充要条件是存在实数 ，使a = bl5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，b b，6、平行于同一个平面的向量称为共面向量uuuruuuruuurABCxyAR = xAB + yAC内的充要条件是存在有序实数对 ， ，使7、向量共面定理：空间一点R 位于平面；ruuurOA =uuur rrrra ，rOOB = b ，则 AOB称为向量 a ，b 的夹角，记作8、已知两个非零向量 a 和b ，在空间任取一点 ，作rrrr a,b 0,p a,b两个向量夹角的取值范围是：rrr