(完整版)抛物线常用性质总结.docx

结论一：若 AB 是抛物线 y2， ，则：=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦），且 A(x,y ) B(x ,y )1122p2xx = ， y y= -p。241 21 2= 2 px( p > 0)结论二：已知直线 AB 是过抛物线 y2焦点 F，求证：112+=AFBFp。结论三：（1）若 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为，则（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。2 PAB =2asin结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 证明结论二：例：已知直线AB 是过抛物线y= 2 px( p > 0) 焦点 F，求证： 11 为定值。2+AFBFpp(x , y ) B(x , y )AF = x +BF = x +证明：设A，由抛物线的定义知：，又22112212p2AF + BF = AB ，所以x +x = AB -p，且由结论一知：x x =。4121 211AF BF+2ABABAB则：=+=AF BF AF BFppppp2p2pp2(x + )(x + )xx + (x +x )+ ( AB - p)+4 222244121 212（常数证明：结论四：已知AB 是抛物线y= 2 px( p > 0) 的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物2线的准线相切。(2)分别过A、B 做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相y切。A证明：(1)设 AB 的中点为Q,过A、Q、B 向准线l 作垂线，垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。M= AF BN = BF， ，P由抛物线定义： AMOx111( AM + BN ) = ( AF + BF ) = ABN= QP，B222以 AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取 MN 中点 P，连结PF、MF、NF，yM= AF AM，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AAFM=MFO。同理，BFN=NFO，1PMFN= （AFM+MFO+BFN+NFO）=90，OxF21NB= NP = FP = MN MP，2PFM=FMPAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，FPAB