高中数学1.2.2同角三角函数的基本关系.docx

4-1.2.2同角三角函数的基本关系高中数学教学目的：知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用教学过程：一、复习引入：1任意角的三角函数定义：aa设角 是一个任意角， 终边上任意一点 P x y ，它与原点的距离为( , )yxyr(r = | x | + | y | = x + y > 0)，那么：sina = ，cos = ，atana= ，2222rrx2当角 分别在不同的象限时，sin 、cos 、tg 的符号分别是怎样的？33背景：如果sin A =，A为第一象限的角，如何求角 A的其它三角函数值；54问题：由于 的三角函数都是由 x、y、r 表示的，则角 的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课：（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：1.sina（1）商数关系：tana =（2）平方关系：sin a + con a = 122cona说明：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin 4a + cos 4a =122等；kp注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tana cota =1(a ,k Z)；2对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：sinacosa = 1-sin asin a =1- cos acosa =222，等。tana2例题分析：一、求值问题1213sin =acosa, tana,cot a，并且 是第二象限角，求 例 1（1）已知a4（2）已知cosa = - ，求sina, tana5125sin a + cos a =1解：（1）22，cos a =1-sin a =1- ( ) = ( )222213135a又 是第二象限角，cosa < 0，即有cosa = -，从而13sinacosa12515tana = -cota = -tana12，第 1 页 共 4 页 43sin a + cos a =1sin a =1- cos a =1- (- ) = ( )2 ，（2）22， 222554cosa = - < 0又，a 在第二或三象限角。53sinacosa=-3a当 在第二象限时，即有sina > 0sinatana =，=，从而；5435sina 3tana =，a当 在第四象限时，即有sina < 0 ，从而sina = -cosa 4总结：1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。tanatana 表示sina,cosa例 2已知为非零实数，用sinasin a + cos a =1 tana =解：22，cosa1(cosa tana) + cos a = cos a(1+ tan a) =1cos a =2222，即有2，1+ tan a2tanaa为非零实数， 为象限角。又11+ tan a2a当 在第一、四象限时，即有cosa > 0 ，从而cosa =，1+ tan a 1+ tan a22tana 1+ tan a2sina = tana cosa =；1+ tan a211+ tan a2a当 在第二、三象限时，即有cosa < 0，从而cosa = -= -，1+ tan a1+ tan a22tana 1+ tan a2sina = tana cosa = -1+ tan a2sina - 4 cosa例 3、已知sina = 2 cosa，求2 sin a + 2sina cosa - cos a5sina + 2 cosa22sin a = 2cosasin a - 4cosatan a = 2解：tan a - 4 - 216= -5 sin a + 2cosa 5 tan a + 2 12强调（指出）技巧：1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cos a ,将分子、分母转tana化为的代数式；2 “化 1 法”sin a + cos a = 1，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为可利用平方关系22tana的分式求值；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；第 2 页 共 4 页 （4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，二、化简1-sin 4402练习 1化简解：原式= 1-sin (360 +80 ) = 1-sin 8022= cos 80 = cos80 21 - cosq1 + cosq1 + cosq1 - cosq3p练习 2化简三、证明恒等式+(p < q <)2cos x1+ sin xcos x=例 4求证：1-sin x证法一：由题义知cos x 0，所以1+ sin x 0,1-sin x 0cos x(1+ sin x)cos x(1+ sin x) 1+ sin x=右边左边=(1-sin x)(1+ sin x)cos2 xcosx原式成立证法二：由题义知cos x 0，所以1+ sin x 0,1-sin x 0，(1- sin x)(1+ sin x) =1- sin x = cos x = cos xcos x又22cos x1+ sin xcos x=1-sin x证法三：由题义知cos x 0，所以1+ sin x 0,1-sin x 0cos x 1+ sin x cos xcos x - (1+ sin x)(1-sin x) cos x -1+ sin x22-= 0，1-sin xcos x(1-sin x)cos x(1-sin x)cos xcos x1+ sin xcos x=1-sin x总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小结：本节课学习了以下内容：1同角三角函数基本关系式及成立的条件；2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；五、课后作业：习案作业第 五 课时参考资料1-2sin 40 cos40化简解：原式= sin 40 + cos 40 - 2sin 40 cos4022= (sin 40 - cos40 )2 =| cos40 -sin 40 |= cos40 -sin 401思考 1已知sin a + cosa =(0 < q < p)tan q 及 sin q - cos q 的值。，求335第 3 页 共 4 页 12psin acosa = - , 0 < q < p, 得： cosq < 0 q( , p)解：1 由2524975(sin a - cosa) = ,得： sin q - cosq =由2联立：251 4sin q + cosq =sin q =435753 tan q = -sinq - cosq =cosq = -5 54391sin q - cos q = ( ) - (- ) =23333551254 - 2mm + 5m - 32、已知sin a =, cosa =, a是第四象限角， tana 的值。求m + 54 - 2mm + 5m - 3m + 5解：sina + cosa = 1(22) + (2) = 12化简，整理得：m(m - 8) = 0m = 0, m = 81243sin a = , cosa = - ， (与a是第四象限角不合）当 m = 0时，当 m = 8时，55125125sin a = - , cosa = ，tan a = -1313第 4 页 共 4 页