排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用 (1)[致远书屋].doc

排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2=8种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由=12种综上得，共8+12=20种 此题中使用了捆绑法和插空法。例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（ ）种站法。A.120B.72 C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即=12。这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即=6，综上，共有6*12=72种例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（ ）种站法。A.120B.72 C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即=24，又因为A、B两人虽然是站在一起了，但还要考虑一个谁在前谁在后的问题，这有两种情况，也就是=2，综上，共有48种。例4：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A. 20B.21 C.23D.24插隔板法：解决这道题只需将8个球分成三组，然后依次将每一个组分别放到一个盒子中即可。8个球分成3个组可以这样，用2个隔板插到这8个球中，这样就分成了3个组。这时我们考虑的问题就转化成了我们在8个球的空隙中放2个隔板有多少种放法的问题。8个球有7个空隙，7个空隙要放2个隔板，就有种放法，即21种.例5：有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？A. 20B.36C.45D.56插隔板法：原理同上，只需用3个隔板放到9颗糖形成的8个空隙中，即可分成4天要吃的。就有=56种。不邻问题插板法解题要点“不邻问题”插板法先排列，再插空“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。例1：若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法?【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法;若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：DCE，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。例2：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种?【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位(原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位)，有种方法;再用另 一个节目去插8个空位，有种方法;用最后一个节目去插9个空位，有种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。例3：一条马路上有编号为1、2、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种?【解析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法(请您想想为什么不是)，因此所有不同的关灯方法有种。【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。计数之插板法总结：插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3)分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，C92=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用:a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？b 添板插板法3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？答案：1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？显然就是 c12 2=662、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=283、-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位,11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空,此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空,则每一组都可能取球为空 c12 2=664、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab显然a+b<=9 ,且a不为0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 。 1代表9个1，-代表10个空位我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 =455、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有=1653行稳致远b