《最值和不等式：复杂,源于简单》.docx

1221 21 4221 2 3，即 x = ，y =， z =最值和不等式：复杂，源于简单若 a，b R +，x、y R，且a +b =1 ，则 ax 2 +by 2 (ax +by) x y 时，取“”号）2（*）（当且仅当此题看似简单，常常被同学们所忽视，但它的条件和结论特征却非常明显，由此联想到带有条件“ x +y =1”的最值和不等式问题，用（*）作“桥”求解，结果十分凑效，充分显示出课本习题（*）的应用价值。下面略举数例予以说明。例 1. 已知 x，y R +，且x +y =1，求 +x4y的最小值。解：由（*）得1 4 1 2 1 2 + =x ( ) +y ( ) (x +y )x y x y x y2=9等号当且仅当1 2=x y，即 x = ，y = 时等号成立。 3 3故 ( + )=9minx y例 2. 已知 x，y，z R +，且 x +y +z =1，求1 4 9+ +x y z的最小值。直接用（*），难解此题，可将（*）推广为：若 a，b，c R+，x，y，z R，且 a +b +c =1，则 ax 2 +by 2 +cz 2 (ax +by +cz)2。（*）（当且仅当 x =y =z 解：由（*）得1 4 9+ +x y z时，取“”号）1 2 3 =x ( ) +y ( ) +z ( )x y z2(x 1 2 3 +y +z )x y z2=3 6等号当且仅当 = =x y z1 1 16 3 2时等号成立。1min2 2222min2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2故 ( +x4 9+ ) =36y z例 3. 已知 x，y R+，且 x +y =1，求1 8+x y的最小值。解：由（*）得1 8 1 1 2 2 + =3 ( ) + ( ) x 2 y 2 3 x 3 y1 1 2 2 3( + )3 x 3 y2=1 1 4( + )3 x y2由例 1 知1 4+x y9所以1 8 1+ 9 =27 x 2 y 2 3等号当且仅当1 2 x = ，y =3 3时等号成立故 (1 8+ ) =27x y例 4. 设 a ， b ， x ， y 皆 为 正 实 数 ， 且 x 2 +y 2 =1 a x +b y + a y +b x a +b， 求 证初看此题，似乎难以入手，但用（*）思考，即可从根号下部分打开突破口。 证明：由（*）得a2x2+b2y2=x2a2+y2b2(x2a +y2b)2即 a 2 x 2 +b 2 y 2 x 2 a +y 2 b同理可得 a2y2+b2x2y2a +x2b两式相加，得a x +b y + a y +b x (x +y )(a +b) =a +b例 5. 已知 a，b R+，且 a +b =1，求证 a2+1 + b2+1 52221 1333321此题与例 4 不同，条件等式和特征不等式左边根号下部分关系不明显，似乎 不能用（ *）解答，但考虑到不等式右边根号下部分和等号成立的条件，可对左 边根号下部分适当变形。证明：由（*）得a21 4 1 1 4 1 1+1 =5 a + ( ) 5( a+ ) = (a +2)5 5 2 5 5 2 52所以 a 2 +1 15(a +2)同理可得 b2+1 15(b +2)两式相加，得 a 2 +1 + b 2 +1 5例 6. 设 p>0，q>0，且 p 3 +q 3 =2。求证： p +q 2此题证法较多，这里用（*）再给出一种独特的证法。 证明：由已知得 p 3 + q 3 =12 2由（*）可得1 1 1 1 1(p +q) = p + q 2 2 p 2 2 q 21 1 1 1 1 ( p + q ) = (p2 p 2 q 42+q2)21 1 (p +q) 4 44。（利用 p 2 +q 2 (p +q)22）所以 (p +q) 即 p +q 238