2020届高三抗疫备考线上考试 理科数学答案.docx

2 2 2n21222 2 2uuur uuur2 2vur()1111x + y +z =0 2 2ur uuur理科数学答案1-12ADBCD CCAAC CD参考答案而 PA 平面 PAD ， AD 平面 PAD ，且 PA AD =A ， 所以 AE 平面 PAD ，又 PD 平面 PAD .所以 AE PD .131 1421215(-1,116 4p（2）由（1）知 AE ， AD ， AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A -xyz ，17（(1)由题意得, 当 n t 时是以公差为 50,首项为 20 的等差数列,如图，设 AB =2 ，AP =a，则 A(0,0,0), B ( 3, -1,0), C ( 3,1,0)，此时 a =20 +50( n -1) =50n -30 ,(1 n t ).n从第 n+1 日开始至 1 月 30 日，每日感染此病毒的新患者人数依次构成一个等差数列，D (0, 2,0), P (0,0, a ), E ( 3,0,0) 3 1 a ， F , , 公差是 -30,首项是 50t-30-30=50t-60,uuur所以 PB =( 3, -1, -a)，且uuurAE =(3,0,0 )为平面PAD 的法向a =50t -60 -30( n -t -1) =-30 n +80t - 30（ t +1 n 30)n50 n -30, n t故 a = , 1 n 30 , n N * .-30 n +80t -30, n t +1(20 +50t -30)t(2)由(1)可知,前 t 日患者共有 S = =25t -5t 人.2又第 t +1 日有 -30(t +1) +80t -30 =50t -60 人,第 30 日有 -30 30 +80t -30 =80t -930 人.故 t +1 日至 30 日共 30 -t 天的时间里共有 (50t -60 +80t -930)(30 -t )S = =-65t +2445t -14850 人2故 1 到 30 日共有 S +S =25t -5t -65t +2445t -14850 =-40t +2440t -14850 人1 210量，设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 q ，由 cos q = ，则4uuur uuur| PB AE | 3 6有 sin q =|cos <PB , AE >|= uuur uuur = =| PB | |AE | 4 +a 2 3 4uuur uuur 3 1 解得 a =2 所以 AE =( 3,0,0) ， AF = , ,1 uuuvmAE =0设平面 AEF 的一法向量为 m = x , y , z ，则 v uuuv ，m AF =0 3 x =0 ur因此 3 1 取 z1 =-1，则 m =(0, 2, -1) 1 1 1故 -40t 2 +2440t -14850 =8670 t 2 -61t +588 =0 即(t -12)(t -49) =0,又1 t 30因为BD AC , BD PA, PA I AC =Auuur，所以 BD 平面 AFC ，故 BD为平面 AFC 的一法故 t =12 .当天新增患病人数为 50 12 -30 =570 人.故 1 月 12 日,该市感染此病毒的新患者人数最多,这一天的新患者人数为 570 人uuur向量又 BD =( - 3,3,0)所以ur uuurm BD 2 3 15cos <m, BD >=ur uuur = =| m | BD 5 12 5.18（1）证明：由四边形 ABCD 为菱形， ABC =60，可得 V ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE BC .又 BC /AD ，因此 AE AD .因为二面角E -AF -C为锐角，所以所求二面角的余弦值为155因为 PA 平面ABCD， AE 平面ABCD，所以 PA AE .19（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C23p 2 (1 -p ) +C33p3答案第 1 页，总 4 页212412121 2 1 21 22) 0,3当 3327的最大值为 -41212所以DOMN22 参考答案一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为C1 p(1 -p ) 2 1 -(1 -p ) 2 3，又ca22a 2 -b 2 = =a 234，解得 a2=4所以 E 的方程为：x 24+y 2 =1f ( p ) =C2 p 2 (1 -p ) +C 3 p 3 +C1 3 3 3p (1 -p )21 -(1 -p )2（2）设M (x, y ),N(x, y1 1 2 2)，因为 a =4 ， b2=1，=3 p 2 (1 -p ) +p 3 +3 p(1 -p) 2 1 -(1 -p ) 2 =-3p 5 +12 p 4 -17 p 3 +9 p 2所以 kOMkb2=- =-ON a 21 y y 1，即 =-x x 41 2，即 x x =-4y y 1 2 1 2（2）设每篇学位论文的评审费为 X 元，则 X 的可能取值为 900，1500（i）当直线 MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为 y =kx +m ,( m 0)，代入椭圆方程并整P ( X =1500) =C p (1 -p ) ， P ( X =900) =1 -C p (1 -p ) ，3 3所以 E ( X ) =900 1 -C p (1 -p ) +1500 C p (1 -p) =900 +1800 p (1 -p)3 32理，得(1+4k2)x2+8kmx +4 m 2 -4 =0.则 x +x =-1 28km 4m 2 -4 ， x x =1 +4 k 1 +4 k 2令g ( p ) = p (1 -p )2 ， p (0,1)D=(8km )2-4 (1+4k2)(4m2-4 )=16(1+4k2-m2g (p) =(1 -p )2-2 p (1 -p) =(3 p -1)( p -1)y y =1 2(kx +m )(kx+m 1 2)=k 2 x x +km1 2(x +x12)+m2=-4k 2 +m 2 1 +4 k 2当 1 p 0, 3 时，g (p) >0，g ( p ) 1 在 上单调递增；所以4m 2 -4 1 +4 k 2=-4-4k 2 +m 1 +4 k 22，整理得1 +4 k2=2 m2，代入， D=16 m2>01 1 p ,1 时，g (p) <0 ，g ( p ) 在 ,1 上单调递减，所以 4 所以实施此方案，最高费用为100 +6000 900 +1800 综上，若以此方案实施，不会超过预算c 320（1）设椭圆的半焦距为 c，则 = a 21 g ( p ) g3 10 =800 （万元）=42716 (1+4k2-m 2 )| MN |= 1 +k 2 (x+x )2-4x x = 1 +k 2 1 +4 k 2| m |O 到直线 MN 的距离 d = ，1 +k 21 1 16 (1+4k2-m 2 ) | m | S = | MN | d= 1 +k 2 2 2 1 +4 k 1 +k 2，=2 1 +4 k 2 -m 1 +4 k 22|m |过椭圆左焦点F1且与 x 轴垂直的直线方程为x=-c，与椭圆方程联立解得 y =b 2a，=2 2m 2 -m 2 2 m 2|m |=| m |m 2|m |=1 ，即 VOMN 的面积为定值 1所以 | PQ |=2b 1 2b 2 3 ，所以 c = a 2 a 2把代入，解得 b2=1（ii）当直线1 程为 y = x21MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为 且点 M 在第一象限，此时 OM 的方2 2 1 2 ，代入椭圆方程，解得 M 2, ，此时VOMN 的面积为 2 2 =12 2 2. y - ,0 ， , p2 2 参考答案综上可知， VOMN 的面积为定值 1（ii）12ap2-1 0 ，即 0 <a 2p2f ( x)在 0, p 上有 1 个零点，21解：f ( -x) = f ( x )f ( x)为偶函数，只需先研究x 0,p又f ( x )为偶函数，所以f ( x )在-p,p上有 2 个零点f ( x) =x sin x +cos xf(x) =sin x +x cos x -sin x =x cos x综上所述，当0 <a 2p2时，f (x)在-p,p上有 2 个零点，当a >2p2时，f (x)在-p,p上当 px 0, 2 ， f (x) 0 ，当p x , p ， f (x ) 0 2 ，无零点.所以f ( x )在 px 0, 2 p 单调递增，在 x , p ，单调递减2 22（1）由由 cos2 a+sin 2a =1 得x 23+y 2 =1，此为 C 的普通方程，所以根据偶函数图像关于 轴对称，直线l : rcos q+rsin q=m经过点M 4 2,p4，则p p4 2(cos +sin ) =m =84 4，得f ( x )在x -p,- p2 p 单调递增，在 x - ,0 单调递减， 2 直线 l 的直角坐标方程为x +y =8 ，即 x +y -8 =0.故f (x)单调递减区间为： p p ；单调递增区间为：p p -p,- ， 0,2 2 （2）设 N ( 3 cosa,sina)，a0,2p)，则 d =3 cosa+sin2a-8=2sin(p a+ ) -832，（2） f (x) =x cos x +ax =x (cos x +a ) a 1 时， f (x) =x (cos x +a ) 0 在 x 0,p恒成立 f ( x ) 在 x 0,p单调递增当sin(a+p3) =1 ，即 a=p6时，dmin=3 2，此时N点坐标为3 1( , )2 2又f (0) =1，所以f ( x )在x -p,p上无零点23（1）当 x 2 时，f ( x ) =x +1 -( x -2) =3 1恒成立， x 2，0 <a <1时，$x (0, p) 0，使得x (cosx +a )=0 0 0，即cos x =-a0.当-1x <2时，f ( x ) =x +1 +x -2 =2 x -1 1，解得1 x <2，又 cos x 在 (0, p) 单调递减，所以x (0,x )，f0(x) >0 ， x (x,0p)，f(x) <0当 x <-1时，f ( x) =-(x +1) +x -2 =-31不成立，无解，所以 x (0,x )，f ( x ) 单调递增，01又 f (0) =1 ， f (p) = ap2 -12x (x,0p)，f ( x)单调递减，综上，原不等式的解集为1, +)1 1（2）由（1） m =3 ， + =3a +2b 2a +b，（i）12ap2-1 >0，即2p2<a <1时f ( x)在 0, p 上无零点，a +b =1 1 1 1 a +2b 2a +b (a +2b) +(2 a +b)( + ) = (2 + + )9 a +2b 2a +b 9 2a +b a +2b又f ( x )为偶函数，所以f ( x )在-p,p上无零点答案第 3 页，总 4 页参考答案1 a +2b 2a +b (2 +2 9 2 a +b a +2b)=49，当且仅当a +2b 2a +b 2 = ，即 a =b =2a +b a +2b 9时等号成立，a +b4 的最小值是 9