mjt-沪教版高一第一学期期中数学复习知识点 集合+不等式.docx

沪教版高一第一学期 数学 期中考试复习资料第一章 集合与命题1.1 集合及其子集1.集合中元素的性质：确定性 互异性 无序性2.数集的表示：自然数集 N、正整数集 N+ 为正，下标-表示为负）、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R （上标+表示3.注意（1） A 空集是任何集合的子集；（2） 子集传递性：AB，BC，则 AC；（3） 空集是任何非空集合的真子集；（4） 连接元素与集合的符号有： 和；（5） 连接集合与集合的符号有：、（符号下半部分是）、=、.例如，A，.4.若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，A 的非空子集有（2n1）个，A 的非空真子集有 （2n2）个1.2 集合的运算1.交集与并集：注意：“且”、“或”的描述.交集：AB=x|xA 且 xB；并集：AB=x|xA 或 xB. 2.补集：（1）相对于全集而言的，全集根据题意判断（2）摩根定理：Cu（AB）=CuACuB；Cu（AB）=CuACuB. 3.借助文氏图解题：4.注意：AB=，存在 A=或 B=的情况，不能忽视；同样当 AB 时，也要记得 A=的情形；进行列举法的集合计算时还需检验集合的互异性. 5.计算后需检验，区间的两个端点注意能否取等号。6.看清题意，题目中问到取值范围则用不等式、集合（区间）表示都可以，当题目中提示写 解集时，切记要写成集合（区间）的形式.1.3 命题与充要条件1.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”.2. 若原命题是“若 p 则 q”，则逆命题为“若 q 则 p”；否命题为“若 p 则 q ” ；逆否命题为“若q则 p ”。做题时可以画出集合间推出关系的箭头，清晰明了.3.（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命 题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”； （3 ）要注意区别 “否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题 的否定仅对命题的结论否定.4. 对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ A B B A ”判断其真 假，这也是反证法的理论依据。5. 充要条件的题目，第一步关键是分清条件和结论（题目上划好），看看从条件能否推出结1111f（x ）f（x ）论，从结论能否推出条件.从集合角度解释，若 A B ，则 A 是 B 的充分条件；若 B A ，则 A 是 B 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件。第二章 不等式2.1 解不等式总体思路：高次化低次、分式化整式、无理化有理（初中学的一次不等式及一次不等式组在 不详细讲了）1、简单的高次不等式这里讲的简单高次不等式一般是能够因式分解的（1）步骤：、把未知数统一化到不等号一边且不等号另一边为 02、 对代数式进行因式分解3、 标根穿线4、 在数轴上找到对应范围得出解集（2）注意：、因式分解的常用方法：a、 分组分解法；b、 添项拆项法（不建议使用）；c、 公式法 常用公式：平方和差、立方和差、完全平方；d、 因式定理：内容：对于一个整式 f（x），若有 x=x 使得 f（x ）=0，则原整式 f（x）必定 有一个因式（x-x ）第四种方法一般建议尝试范围是-5,5的整数、标根穿线a、 表根时注意能否取等b、 穿线注意奇穿偶不穿2、分式不等式（1）步骤：、移项通分，化为 0 的形式、分别对 f（x）、g（x）进行因式分解g（x ）、标根穿线，得出解集（2）注意1、 移项通分后分子分母中未知数次数最高的一项系数必须为正2、 因为 0 与 f（x）g（x）0 等价，因此因式分解完了可以直接标根穿线 g（x ）3、 若不等号是或，则表根时注意分母不为零3、无理不等式一般题目中出现的是二次根式原不等式等价于不等式组：（1）被开方数大于等于 0（2）把根号都去掉后的不等式 注意：若不等号两边一边是根式一边是整式，先讨论整式的正负例 1：解不等式：x2 1x + 222 2x2 1 0解：原不等式等价于不等式组：x + 2 0x2 1x + 2（后面过程省略） 例 2：解不等式：x2 1x + 2解：x2 10-1x1（1） 若x + 20 即 x-2 时 不等式恒成立（2） 若x + 2 0则x2 1（x + 2）2（后面过程略）4、绝对值不等式方法：（1）、零点分段（2）、两边平方例、|x+1|-|x-4|0解法一：（1）若 x-1则（-x-1）-（4-x）0（2）若-1x4则（x+1）-（4-x）0（3）若 x4则（x+1）-（x-4）0（解不等式的过程略）解法二：原不等式等价于|x+1|x-4|则（x + 1） （x 4）（后面过程略）2.2 含参数的不等式1、含参数的一次不等式解题方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 ax >b 的形式；若a >0,则x >ba；若 a <0 ,则 x <ba；若a =0,则当b <0时，x R；当b 0时，x 。2、含参数的二次不等式解题：注意数形结合，有利分析.设a >0,x , x1 2是方程ax 2 +bx +c =0的两实根，且x <x1 2，则其解集如下表：ax2+bx +c >0ax2+bx +c 0ax2+bx +c <0 ax2+bx +c 0D>0x | x <x 或 x | x x1 1x >x x x 2 2或x | x <x <x 1 2x | x x x 1 23121D=0D<0bx | x - 2 aRRRffbx | x =- 2 af作出大致函数图像：设一元二次方程 ax x x。1 22+bx +c =0 （ a >0 ）的两实根为 x ， x ，且1 2（1）方程两根都大于k（k <x x12） D0 (x -k ) +( x -k ) >0 1 2( x -k ) (x -k ) >01 2a >0D=b 2 -4 ac 0 b- >k2af ( k ) >0；（2）方程两根都小于k（x x <k 1 2） D0 (x -k ) +( x -k ) <0 1 2( x -k ) (x -k ) >01 2a >0D=b 2 -4 ac 0 b- <k2af ( k ) >0；（3）方程一根小于 k ,一根大于 k ( x <k <x12) D>0 a >0 ( x -k ) (x -k ) <0 f ( k ) <0 1 2；（4）方程一根小于k1,一根大于k2(x <k <k <x 1 1 22)a >0f ( k ) <01f ( k ) <02（5）方程两根在区间 a >0(k,k12)内（k <x x <k ） 1 1 2 2D=b -4 ac 0 bk <- <k 2 af (k ) >0f ( k ) >02（6）方程两根分别在区间(k,k12)和(k,k34)内（k <x <k <k <x <k 1 1 2 3 24）43+2=a >0f ( k ) >0 1f (k ) <02f ( k ) <0 3f (k ) >04（7）方程在区间 (k,k1 2)有且仅有一根（不含等根）（k <x （或 x ） <k ） 1 1 2 2a >0f ( k ) f ( k ) <0 1 2注意：含参数的二次不等式的二次项系数、是否有实根都需要讨论.根据解集求原不等式， 可以利用韦达定理.3、含参数的无理不等式解题方法：左右分别平方，转换成二次不等式.核心思想是无理变有理.例：关于 x 的不等式，x>ax+ 的解集是（4，m），求 a、m 的值.22.3 不等式证明1、方法：（1）、作差比较（2）、 作商比较（3）、 基本不等式2、基本不等式：(a b)2 0（1）、重要不等式：a2 +b2 2ab（2）、基本不等式:a2 + b 2 a + b ab 2 2(a,bR )(iff a=b 时等号成立)21 1+a b3、柯西不等式(a2 + b2 )(x 2 + y 2)(ax + by)（iffaabb时等号成立）第三章 函数的基本性质1、函数五要素：对应法则、自变量、应变量、定义域（D）、值域（A） 2、函数定义：在 D 上的自变量 x，每一个 x 只对应一个应变量 y3、判断函数是否一致：对应法则、自变量、应变量完全相同51x12x+ 1)-( x24411x1 21 21124、函数的性质;（1） 奇偶性：对于函数 y=f（x），任取一个 xD，若使 f（x）= f （-x），则 y=f（x）为偶函 数；若-f（x）= f（-x），则 y=f（x）为奇函数（2） 单调性（增减性）：注意写出单调区间关于单调性的证明，老师没有细讲，这里罗列一下证明方法例：求证：函数 f（x）= x42+ 1在0，+）上是减函数证明：设任意x, x1 20，+）且x1 2则：f（x ）- f（x ）=(1 1122+ 1)=-4=-4(x 2 x 2 )1 2(x x )(x + x 1 2 1 2) x x x x1 2 x 0 , x 0，+）1 2+ x 0 -4(x x )(x + x 1 2 1 2)0即 f（x ） f（x ） f（x）在0，+）上是减函数6