人教版数学九年级(下册)28.2 解直角三角形及其应用-教案.docx

解直角三角形【教学目标】理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角 互余及锐角三角函数解直角三角形。【教学重点】运用直角三角形的边角关系解直角三角形。【教学难点】灵活运用锐角三角函数解直角三角形。【教学过程】一、情境导入，初步认识。如图（1）所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的 夹角为 A，过 B 点向垂直中心线引垂线，垂足为 C。如图（2），在 Rt ABC 中，C=90， BC=5.2m，AB=54.5m，你能根据上述条件求出图（2）中A 的度数（即塔身中心线与垂直中 心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流。二、思考探究，获取新知。在上述问题中，我们已知直角三角形的一条直角边和斜边，利用锐角三角函数可求出它的 锐角的度数，事实上，我们还可以借助直角三角形中两锐角互余，求出另一个锐角度数，也可2 2 2以利用勾股定理得到另一条直角边。一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三 形。思考。1 直角三角形中，除直角外的 5 个元素之间有哪些关系？2 知道 5 个元素中的几个，就可以求出其余元素？3 如图，在 RtABC 中，C=90，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，那么除 直角 C 外的 5 个元素之间有如下关系：（1） 三边之间的关系：a +b =c（2） 两锐角之间的关系：A+B=90； （3）边角之间的关系：sss A =ttt A = A的斜边 a A的邻边 b = ,cos A = =斜边 c 斜边 c, A的对边 a=斜边 b, B的斜边 b B 的邻边 asin B = = ,cos B = =斜边 c 斜边 c B 的对边 btan B = =B的邻边 a通过它们之间的关系，可以发现，知道其中的 2 个元素（至少有一条是边），就可以求出 其他所有元素。三、典例精析，掌握新知。1如图，在 RtABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a = 2, b = 6 ， 解这个直角三角形。a 2 1（分析）由 a = 2， b = 6 首先联想到勾股定理可得 c =2 2， 再利用 sin B = = = ，c 2 2 2知A=30，从而B=60这是一例除直角外的两个已知元素都是边的情形，在求它的锐角 度数时，有时必须借助计算器才行。2如图，在 RtABC 中，C=90，B=40，且 b=20，解这个直角三角形。（结果 保留一位小数）（分析）本例是已知一条边和一个锐角，求这个直角三角形的另两边长和另一个锐角。首20 20 AC先可轻松得到A=50，再利用 sin B = , tan B = 可求出 a，c 的值，也可由 cos A = ，c a AB20则 cos50 = 求 c 的值，再利用勾股定理，或利用锐角的正切函数求出 a 的值。c ，注意：由于 40，50均不是特殊角，它的三角函数值可利用计算器获得。四、运用新知，深化理解。1RtABC 中，C=90，根据下列条件解直角三角形。（1） a=30，b=20；（2） B=62，c=16。2已知ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且 AD=2， AC =2 2 ，AB=1。如图（1），求BAC 度数； 如图（2），试求BAC 的度数。五、师生互动，课堂小结。1 常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流。2 解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必须有一个已知边，为什么？