沪科版八年级数学下册19.1 多边形内角和.docx

多边形内角和1多边形及正多边形(1)多边形的定义在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边 形在定义中应注意：若干条；首尾顺次相接，二者缺一不可一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样 的多边形叫做凸多边形(2)多边形的 有关概念多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同边：组成多边形的线段叫做多边形的边顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角如图 1 所示图 1多边形通常以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形 三角形、四边形都 属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形多边形的表示方法与三角形、四边形类似， 可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图 1， 可表示为五边形 ABCDE，也可表示为五边形 EDCBA.(3)正多边形多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形如图 2 中的多边形分别为：正三角形、正四边形(即正方形)、正五边形、正六边形、正八边形图 2正多边形必须具备 “各边相等、各角也相等 ”这两个条件，缺一不可如各 角相等的四边形是长方形，不是正方形；各边相等的四边形是菱形，也不是正方形 只有 各角相等，各边也相等的四边形才是正方形正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形(4)多边形的对角线的条数根据多边形的对角线的定义，从四边形的一个顶点可以引一条对角线；从五边形的一个 顶点可以引两条对角线，那么从 n 边形的一个顶点可以引出(n3)条对角线n 边形共有 nn(n3)个顶点，共有 n(n3)条对角线，但每条对角线都算两遍，所以 n 边形共有 条对角线22多边形的内角和(1)n 边形的内角和公式n 边形的内角和等于(n2)180(n 为不小于 3 的整数)由多边形内角和定理可知，多边形的内角和一定是 180的倍数，在解有关题 目时，要注意应用(2)推导方法多边形的内角和公式的推导方法有很多，但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决 的，即利用多边形对角线或对角线的一部分，可以把多边形分割成若干个小三角形，再通过 三角形的内角和推导出多边形的内角和这种转化是化归思想的体现，也是解决多边形问题 的基本思想下面提供三种常见的方法：方法一：如图所示，以多边形的某一个顶点为端点，与其他顶点相连接构成多边形的 对角线，把多边形分割成(n2)个小三角形n 边形的内角和恰好等于(n2)个三角形的内 角和( n2)180.方法二：如图所示，在 n 边形中，取某边上一点(非顶点)为端点，与其他顶点相连， 把多边形分割成(n1)个小三角形n 边形的内角和等于(n1)个三角形的内角和减去点 P 处的一个平角，即(n1)180180(n2)180.方法三：如图所示，在n 边形的内部任取一点，与多边形的各顶点相连，把多边形分 割成 n 个小三角形n 边形的内角和等于 n 个三角形的内角和 n180减去以 O 为公共顶点的 n 个角之和 360，即 n180360(n2)180.(3)内角和定理的作用1 已知边数，求内角和；2 已知内角和，求边数【例】一个多边形共有 27 条对角线，则这个多边形是几边形？该多边形的内角和为多 少度？3多边形的外角、外角和(1)多边形的外角以及外角和的定义多边形中在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做这个多边形的外角 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和 一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n 边形有 n 个外角 (2)多边形外角和性质内容：多边形的外角和都等于 360.多边形的外角和与边数 n 无关推导过程：多边形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，n 边形的外角和加内角和等于 n180.又内角和为(n2)180，外角和为 n180(n2)180360.(3)外角和定理的作用1 已知各相等外角度数，求多边形边数；2 已知多边形边数，求各相等外角的度数(4)多边形中锐角、钝角的个数多边形中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角(如长方形)；多边形外角中最多有三个 钝角，最少没有钝角【例】若一个多边形的内角和与外角和之和是 1 800，则此多边形是( )A八边形 B十边形C十二边形 D十四边形4利用多边形内角和公式或外角和求多边形的角或边多边形内角和公式(n2)180与边数 n 有关系 ，当已知多边形的边数 n，就可以求得多 边形的内角和同理，当多边形的内角和已知时，多边形的边数也是确定的根据 n 边形的一个内角与和它相邻的外角互为补角，我们可以得到多边形外角和都为 360.利用多边形的外角和为 360，常常能使问题的解决变得更为简单【例】一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36，求这个正多边形的边数(1)多边形的外角和等于 360，与边数无关，故常把多边形内角和的问题转化为外角和问题来处理(2) 多边形的一个内角与相邻外角互补(3) 多边形的外角的个 数等于多边形的边数的 2 倍,5多边形的内角与外角的关系(1)对于 n 边形的内角和为(n2)180，在学习中要明确以下几点应用：已知边数 n，可求得其内角和如：十二边形的内角和为(122)1801 800.2 边数每增加 1，内角和就增加 180，如：九十七边形内角和比九十五边形的内角和大 360.3 如果已知 n 边形的内角和，那么可以求出它的边数 n.如：已知一个多边形的内角和等 于 1 080 ，求它的边数 n.首先我们可以运用公式列出方程(n2)18 01 080 ，解这个方 程，得 n8.(2)对于多边形的外角和为 360，应明确两点：1 多边形的外角和与边数 n 无关2 将多边形内角问题转化为外角问题，常常有化难为易的效果(3) 多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以 n 边形内角和加外角和等于 n180，外角和等于 n180(n2)180360，多边形的外角和是定值，与边数无关,【例 1】一个多 边形除去一个内角后，其余各内角的和为 2 030，求这个多边形的边数 和这个被去掉的内角的度数【例 2】已知：四边形的四个外角度数比为 1234，求各外角的度数6多边形的内角和与外角和在方程中的应用很多数学问题是通过用方程来解决的，即将已知条件与所求问题用方程联系起来在几 何计算问题中，如果依据题设和相关的几何图形 的性质列出方程(或方程组)求解，往往可使 计算更加简便(1) 根据多边形的内角和求边数根据边数求多边形的内角和主要依据是多边形的内角 和公式，有时需要列方程解决问题应注意掌握公式和方程思想的应用(2) 解决正多边形问题注意借助多边形的外角解决问题(3) 当问题中涉及内角和外角的关系时，一般通过内角和外角的关系构造方程解决 【例 1】一个多边形的对角线条数比边数多 3，试求该多边形的边数与内角和【例 2】已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比其相邻的外角大 60， 求这个多边形的边数