新人教版八年级数学下册专题复习：《二次根式》的巩固与提升分专题例谈.docx

1 12015 222322()( )220152015() 2015222222222222 232222222 2二次根式的巩固与提升分专题例谈例 1. x、y 均为实数且满足 1 -3x - 3x -1 =6 -y ，求 x-1y 的值？赵化中学郑宗平1 - 3x 0分析：根据式子有 ，从中可求得 x 的值，进一步求得 y 的值，使问题得以解决.3x - 1 0在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正 确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，略解：根据题意可知：1-3x 0 3x -1 01 1解得： x = ；把 x = 代入 1 -3x - 3x -1 =6 -y 有： 3 3而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数 学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究.1 11 -3 - 3 -1 =6 -y ，解得： y =6 所以 x 3 3-1-1y = 6 =3 6 =18 . 3 一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”.例 2.已知： a2+ a +b +1 +1 =2a ，求 ab 的值？2 例 1. -aA. -a a3化简的结果为 （ ）B. a -a C. -a -a D. a a分析：根据式子整理为 a +b +1 +a 质可求得 a、b 的值.2-2a +1 =0 ，则 a +b +1 +(a-1)=0，利用非负数的性分析：根据二次根式的定义， -a3隐含有 a 0 的条件.这是因为根据二次根式的定义可知略解：将题中等式整理为 a -b +1 +a -2a +1 =0 ，进一步可得a -b +1 +(a-1)=0-a3 0 ，所以 a 0 ；则 -a = -a a = -a a =-a -a ，故选 C.1例 2.把 a -1 中的根号外面的因式“移入”根号内为 .1 -a1 1分析： a -1 隐含有 >0 的条件，所以 1 -a >0 ，可得 a <1 ，所以 a -1 <0 ；所以1 -a 1 -a又 a + b + 1 0 ， (a-1)0 1 1 ab = 1 -2 = 2 2 (a-1)2=0 a +b +1 =0 (-1)=-1.a -1 =0 a +b +1 =0解得：a =1b =-2a -1 =-(1-a)=-(1-a)，则 (a-1)11 -a=-(1-a)11 -a=-(1-a)11 -a=- 1 -a ；例 3.计算 9 -2a + (a+2)- 1 -2a +a 2 + -3a 2 的值？分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住故应填- 1 - a.从被开方数是非负数这一特点切入可以破题，恰好式子中有 -3a 的 -3a 0 ，可求得 a = 0 .点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是略解：根据式子中的 -3a 有 -3a 0 ，可得 a 0 ；又 a 0 a =0非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，再结合 a2= a 进行“移进”和“移出”的原式= 9 -2 0 +(0+2)-(1-0)+3 0 = 9 + 2 + 1 + 0 =3 +2 +1 +0 =6 .变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其追踪练习： 1.把下列各式化简：1. - ；. -8x x；. a -a +1a1 1；. - ；. - -2 . (x-1)3 a它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上 面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例 3 这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就 可以隐藏在其中的 a 的值挖出来，从而使问题得以解决.2.把根号外的因式“移入”根号内：追踪练习：. x -1x；. a -a2+1a；. (x-1)1 1 ；. -5a - .x -1 a1.已知 y =x -4 + 4 -x +1 x +2，求 x +y 的值？二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性 即 a (a 0 )有 a 0 , a 0 巧解题2.已知 a -4 + b -9 =0 ,化简并求a +ab a -ab+b a -b的值？122220152a= 3 -5 + 3( )2 ( )22222+ ( )2 ( )2+a - ba + b a - b a + b a - ba +b a - ba + b a - bb a - b222222222子分别有 3 - 3 =3 -1 ， 2 =5 -3 = 5 - 3 = 5 + 3 5 - 3 .3 -3 = 3222 原式=223.若 m -6m +9 和 3m -2n +1 互为相反数，试求 xy 的值？ 4.计算 5a -1 + a +8 - -a +2a -1 - a 的值？5.已知 2014 -a + a -2015 =a ，试求 a -2014 的值？略解：原式=(3)2-3 5 -3-3 -1 5 - 33 (3-1)(5+ 3 )(5-3)三、逆用( )2= a (a 0 )即 a =(a)2(a 0 )巧化简.= -3 -1( )5 - 3 b a ab a -b例 1.化简： + ab +b ab -a a + b a + b分析：根据题中式子可知 a 0 , b 0 ， a = a , b = b b ) (a- b ),L等，即逆用 ( a )= a (a 0 )可以巧化简. a -b =(a)2-(b)2=( a += 3 - 5 - 3=- 5点评：逆用 ( a )= a (a 0 )即 a = ( a )(a 0 )来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例 2 的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方 法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用a = ( a )(a 0 )进行略解：原式=(b)2 (a)2 ab + b ab - a (b)2 (a)2 b (a+ b ) a (b- a )( )2()2a + bab a + b( )( )a + bab a + b巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1 2 21.计算： + - .3 -2 5 - 3 7 + 5x +2 xy +y 1 x -y +12.化简： + .x + y x - y x - y= -( )( )b a + a + b b - a ab( )( ) ( )( ) b a + a + b ab b - a ab( ) a (a+ b )-ab abab -b -a - ababa +babx +y 2xy3.已知： y = x -8 + 8 -x +18 ，化简并求 - 的值？x +y x y -y x四、利用二次根式的 a = a 计算或化简.1 1 1例 1.若 0 <m <1 ，化简： m + -2 1 + .m 2 m 1 +m1 1分析：本题关键是含二次根号的部分化简.不难发现 m + -2 的 m + -2 可以借助因式m m 1 分解的方法化成 m - ，从而使含二次根号部分用 a = a 来可将根号化去. m 略解： 0 <m <13 - 3 2例 2.计算： -3 -1 5 - 3分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用a = ( a )(a 0 )可以进行巧算，更简捷.分( )2 ( ) ( )2()2( )( )1 1 1 1 1 -m m + -2 = m - = m - = -m =m 2 m m m m1 -m 2 1 1 (1+m)(1-m)m 1 1 -m 1 + = = .m m 1 +m m m +1 1 +m 1 +m例 2.若 a、b、c 为 ABC 的三边.请化简(a+b+c)2+(a-b-c)+ (b-a+c)- (c-b-a)22()2 () 220152015( )2 ( )23 - 2 =( )22-102 ( )2分析：本题的式子是形如 a2构建的，所以根据二次根式的性质确定 a2中的 a 的部分的正负五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简.情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定. 略解： a、b、c 为 ABC 的三边例.计算：1. (7+4 )2015(7-4)2015； 2.1 -2 + 3； 3. 2 +3 + 5)(2 +3 - 5 . a >0, b >0 , c >0 ； a -b <c ； b +c >a ； c -b <a . a +b +c >0 , a -b -c <0 , b +c -a >0 , c -b -a <0 原式= a +b +c + a -b -c + b -a +c - c -b -a= a +b +c -a +b +c +b -a +c +c -b -a= -2a +2b +4c分析：本例的 3 道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1 小题逆 用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2 小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后 里利用完全平方公式计算；3 小题抓住两个括号里的“项”相同和互为相反数的特征，利用平 方差公式可以进行简便运算.略解：例 3.计算： 5 -2 6分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部1.原式 =(15 +4)(15 -4)2=(15 )2-4 2 =(15-16 ) =(-1)=-1； 分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的 技巧，可以使问题得以解决.也就是 5 -2 6 =3 -2 6 +2 = 3 -2 6 + 2 ，此时被开方数 可以化成 (3- 2 )2的形式，用 a 2 = a 来可将外层根号化去.2. 原式 =3. 原式 =(1-2 )+3=(1-2)2+23 (1-2 )+(3)2=L=6-22 +2 3 -2 6 ；(2+ 3 )+5(2+3)-5=(2+3 )2-(5)2=2+26+3-5 =2 6 . 略解： 5 -2 6 = 3 -2 6 +2 =( )23 - 2点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过点评：二次根式的 a2= a 也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 二次根式一章“几乎所有”涉及公式的结构特征；其二.要有整体的思想.22计算或化简的部分都要用到 a= a 的这个二次根式的性质. 运用 a= a 抓住这几个环节:转化为 a ；最后根据绝对值的代数意义 即 2首先想办法把被开方数写成 a 2的形式；其次将 aa(a0 )a = 来化简.-a a 0追踪练习：1.计算：. (-5)2+(-23)-(1-2)-(-22)+(2+1)；追踪练习：1.计算：. (18 -2 5 )(32+20 )；.-15 - 3 ；. 35 - 52 5. (3-2 )2015(3+2)2016；. (1-2 + 3 )(1+2-3). 2. .计算： (2+ 3 - 5 )2-(2-3+ 5 )2.2；. 1 - 2 + 3)2；.2 -2 - 3 +2 2 .六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分2. 实数 m、n 如图所示：n-10m1例.已知 a 是 1 -5 2 的整数部分， b 是 6 +5 的小数部分， c 是 6 的小数部分，求 abc 的值？ 分析：由 1.40 < 2 <1.41, 2 < 6 <3 可得： -6 <1 -5 2 <-5, 7 < 6 +5 <8 , 2 < 6 <3 .由此请化简m2+ n2+(m+n)2+(n+1)2-(m-1)2.根据题中的条件可以分别确定题中 a、b、c 的值.略解： 1.40 < 2 <1.41, 2 < 6 <33. 若a2 -2a +1 1 -a=1 ，请化简 4 -4a +a2+a ？ -6 <1 -5 2 <-5, 7 < 6 +5 <8 , 2 < 6 <3 a =-5, b = 6 +5 -7 = 6 -2 , c = 6 -232 ( )2( )2222 2( )-122. 已知： a =7 + 5 , b = 7 - 5 ，求：. a的值；. + 的值.2 2 22 222222 xy = 5 -2 65 +2 6 =25 -24 =1, x +y = 5 -2 6 + 5 +2 6 =1022 abc =(-5)(6-2)(6-2)=(-5)(6)-262+22=(-5)(6-46+4)=206-50 点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围， 然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意 其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面 b、c 的值的确定： b = 6 +5 -7 = 6 -2 , c = 6 -2 ，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是 一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因.追踪练习：1.若 x、y 分别是 8 - 11 的整数部分与小数部分，求 2xy -y 2 的值？ ab =L =1, a +b =L = 2 + 3 + 2 - 3 =4 +4 3 +3 +4 -4 3 +3 =14ab +(a+b) 1 +196 196 = =-ab -(a+b) 1 -196 195点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的 值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想， “两头凑”，也就比较容易求 出式子的值.追踪练习：2.已知 a、b 分别为 6 - 13 的整数部分与小数部分，求 2a -b 的值？ 3. 5 + 7 的小数部分是 a ， 5 - 7 的小数部分是 b ，求 ab +5b 的值？44.已知 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，求 a +b 的值？5 -15.已知 x 是 6 - 5 的小数部分， y 是 5 +2 的小数部分， z 是 3 -2 x z -y z 的值？的整数部分，求1.若 x =2 - 10 ，求 x -4x -6 的值？1 ( ) 1 ( ) 2 -ab +b 2 a b 2 2 b a1 13.已知： x -y = , y -z = ，求 x +y +z -xy -xz -yz 的值？2 + 3 2 - 3八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若 m 表 示 10 的整数部分， n 表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是(10 +m )n元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得 支配权吗？例.比较 19 - 17 和 17 - 15 的大小.分析：本题直接比较两个式子值的大小比较困难，因为 19 - 17 和 17 - 15 的值都是正数， 若我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.七、整体代换巧变求值.略解：设 m =119 - 17, n =117 - 15，则例 1. 已知 x =5 -2 6 , y =5 +2 6 ，求 3x +5xy +3y 的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从3x +5xy +3y 变 形即 3x 2 +6xy +3y 2 -xy =3 (x+y)-xy ，从已知整体求出 xy 和 x +y 的值，整体代入过程便变1 19 + 17m = =19 - 17 2 19 + 17 > 17 + 15 m >n, n =1 17 + 15=17 - 15 2得简捷了.略解： x =5 -2 6 , y =5 +2 6( )( ) ( )( )1 1 <m n 19 - 17 < 17 - 15点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的原式 =3x2+6xy +3y2-xy =3(x +y)2-xy =3 102-1 =300 -1 =299大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用例 2.已知 a =2 + 32 - 3, b =2 - 32 + 3，求代数式ab +(a+b) ab -(a+b)的值.“倒数法”， 通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的 大小.分析：从要求值的式子特征来看，是以 ab 和 a +b 为架构的；恰巧 a、b 互为倒数，所以我们可追踪练习：以先整体求出 ab 和 a +b 的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.1.比较大小： -5 2( )-4 3（填“ >”或“ <”或 “ =”）略解： a =2 + 32 - 3, b =2 - 32 + 32.比较大小： 48 - 13( )2 3 （填“ >”或“ <”或 “ =”）41( )2x + 3y = 71 ( )( ) 1 1 1 13 +18( )( )( )21 - 5 =A 23. 比较 15 - 13 和 13 - 11 的大小.4. 设 abcd0 且， x = ab + cd，y = ac + bd ，z = ad + bc 试比较 x、y、z 的大小关系九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例 1.解 x > 2x +1分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为 1 的时候要特别注意系数的正负情况， 同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由 x > 2x +1 得 x - 2x >1 1 - 2 x >1 1 - 2 <0 x = x =-1- 21 - 2例 2.解方程组：6x +2y = 5的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积.略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：108 + 32 - 3 + 18 = 108 + 32 - 3 - 18 = 6 3 + 4 2 - 3 - 3 2 2 2 2 2 2= 3 3 + 2 2 - 3 - 3 2 = 2 3 - 2此矩形的面积为：2 3 - 2 = 3 2 3 - 3 2 + 18 2 3 - 18 2 = 6 - 6 + 6 6 - 6 = 5 6 故矩形另一边长为 2 3 - 2 cm ，而矩形的面积为 5 6 cm 2例 2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为 1， ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，小 刚通过观察探究得出如下结论：F.ABC 的形状是等腰三角形； ABC 的周长是 2 10 + 2 ； B分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程 组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.ABC 的面积是 5；.点 C 到 AB 边的距离是4510 ；C略解： 3 得： 6 x +3y = 21. -得： y = 21 - 5将 y = 21 - 5 代入得: 2x + 3 30 -2 14解得： x =2( )7.直线 EF 是线段 BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .E解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为 1，再根据勾股定理可计算 出 ABC 的三边长分别为 10 , 10 , 2 2 ，故正确，错误； ABC 的面积由间接计算得1 1 1 1到：3 3 - 3 1 - 2 2 =4 ，故错误；利用三角形的等积法： AB h=4 ，即 10 h=4 ， 2 2 2 2 30 -2 14x =原方程组的解是y = 21 - 5点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分 母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组） 要注意的是系数化为 1 时系数的正负性.4解得 h = 10 ，故正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知 EF 是线段 BC 的垂直平分线， 5正确.故选.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考 试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起 考察，是数形结合等思想方法较好体现. 这类题型还很容易与函数及其图象结合在一起.D追踪练习：追踪练习：1.若 2x > 3x +1 ，请化简：(x -5)2-(3x+12)2- x ；11.如图在四边形 ABCD 中， AB BC , DC BC , AE = CD = 6，BC =3 24求四边形 ABCD 的周长和面积？AB C2. 解方程组：2x + 3y =1 3x + 2y =12.如图一块长方形场地 ABCD 的长 AB 与宽 AD 之比为 2 : 1 ，DEAC 于点 E，BFAC 于点 F，连结 BE、DF；现计划在四边形 DEBF 区域内A DFE十、几何计算中的二次根式运算或化简例 1.若一个矩形的的周长为 (108 + 32 )cm，一边长为(3 +18 )cm，求另一边长和此矩形（阴影部分）种植花草，求四边形 DEBF 与长方形 ABCD 的面积之比. 3.已知边长为 1 的正方形 OABC 在直角坐标系中， B、CBByAC的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知两点在第二象限内， OA 与 x 轴的夹角为 60，求出点 B 点坐标.COx5