因式分解讲义 适合 基础的 .docx

2因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、 提公因式法如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。2、 运用公式法把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：；平 方 差 公 式 a 2 2 ab +b 2 =(ab)a 2 -b2 =(a+b)(a-b)；完 全 平 方 公 式3、 分组分解法适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、 凑、拆、分”等技巧。4、 十字相乘法 x 2 +( a +b ) x +ab =( x +a )( x +b )【课前回顾】1下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A） 2(a-b)=2a-2b （C） x 2 -2 x +1 =x (x-2)+1（B） m 2 -1 =(m+1)(m-1) （D） a (a-b)(b+1)=(a2-ab)(b+1)2把多项式8a2b316a2b2c224a3bc3分解因式，应提的公因式是 ( )，（A）8a2bc （B） 2a2b2 c3 （C）4abc （D） 24a3b3c3 3下列因式分解中，正确的是（ ）（A） 3m 2 -6 m =m (3m-6)（B） a 2 b +ab +a =a (ab+b)（C） -x 2 +2 xy -y 2 =-(x-y)2（D） x 2 +y 2 =(x+y)24下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）（A） a 2 +4（B） a 2 -2（C） -a 2 +4（D） -a 2 -45下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是 ( )（A）4x21 （B）4x2 4x1 （C）x2xyy2Dx2x126若 4 x2-mx +9是完全平方式，则 m 的值是（ ）（A）3 （B）4 （C）12 （D）12 经典例题讲解：提公因式法：1提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律例： x2y -xy2p ( x -y ) -q ( y -x )x( a +b ) -y ( a +b )变式练习：1多项式 6a3b2 3a2 b221a2b3分解因式时，应提取的公因式是 ( )A.3a2b B.3ab2C.3a3b2D.3a2b22如果-3x2y +mx2=-3x2(n-2)，那么（ ）Am=6 ，n=y B m=-6 ， n=y C m=6，n=-y D m=-6，n=-y3 m 2 (a-2)+m(2-a)，分解因式等于（ ）A (a-2)(m2-m)B m (a-2)(m-1)C m (a-2)(m+1)D以上答案都不能4下面各式中，分解因式正确的是 ( )A.12xyz9x2.y2=3xyz(43xy) B.3a2y3ay + 6y=3y(a2a+2)C.x2+xyxz=x(x2+yz) D.a2b + 5ab b=b(a2+ 5a)5若 a+b=7,ab=10,则 a2b +ab2 的值应是（ ）A7 B 10 C 70 D 17 6.因式分解16x38x24x 2 x2y(xy) + 2xy(y x)3.a(x+m)-ab(m+x)4. (x-2)+(1-x)(2-x)运用公式法： 把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：平方差： a 2 -b 2 =(a +b)(a -b)完全平方： a 2 2ab +b 2 =(a b)2立方和： a3+b3=(a +b)(a2-ab +b2)立方差： a3-b3=(a -b)(a2+ab +b2)例 1. 把下列各式分解因式：（1）x24y2（2） - a32+3b2（3） (2 x -y )2-( x +2 y )2(4)-x2+4 x -413 m例 2（1）已知a +b =2，利用分解因式，求代数式 a221+ab + b22 的值（2）已知 a 2 +b 2 -4 a -6b +13 =0 ，求 a +b 。 变式练习：1下列各式中不能运用平方差公式的是（ ）A -a2+b2B -x2-y2C -z2+49 x2y2D16 m4-25 n2p22分解因式 a4-4(b-c)2,其中一个因式是（ ）A a2-2b +cB a2-2b -2cC a2+2b -2cD a2+2b +2c3 -1 -x 2 +2 x 分解因式后的结果是（ ）A不能分解 B (x-1)2C (-x+1)2D -(x-1)24下列代数式中是完全平方式的是（ ） x 2 -4 x -4 -x 2 +4 x +4 9 x 2 +3 x +1 a2b2+ab +14 x2+4 xy +2 y2 9 x2+16 y2-24 xyA B C D5k12xy2+9x2 是一个完全平方式，那么 k 的值为（ ）A2 B 4 C 2y2D 4y46若 x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则 m 的值等于（ ）A5 B 7 C 1 D7 或1 7.因式分解1 x4-12 x2-12 x +361 2 2 +1 - m9 34 16( a -b )2+24( a -b ) +9十字相乘法：对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 +( a +b ) x +ab =( x +a )( x +b ) 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”例 1 把下列各式分解因式：（1） x 2 -2 x -15 ； （2） x 2 -5 xy +6 y 2 例 2把下列各式分解因式：（1） 2 x2-5 x -3 ； （2） 3 x2+8 x -3 对应练习：1 如果 x2-px +q =( x +a )( x +b )，那么 p 等于 ( )AabB abC abD (ab)2如果 x 2 +( a +b ) x +5b =x 2 -x -30，则 b 为 ( )A5 B 6 C 5 D 63多项式 x2-3 x +a可分解为(x5)(xb)，则 a，b 的值分别为 ( )A10 和2 B 10 和 2 C 10 和 2 D 10 和24 不能用十字相乘法分解的是( )Ax2+x -2B3 x2-10 x2+3 xC4 x2+x +2D5 x2-6 xy -8 y25 分 解 结 果 等 于 (x y 4)(2x 2y 5) 的 多 项 式 是 ( )A 2( x +y )2-13( x +y ) +20B (2 x +2 y)2-13( x +y ) +20C 2( x +y ) 2 +13( x +y ) +20D 2( x +y ) 2 -9( x +y ) +206 m 2 -5 m -6 =7.因式分解(ma)(mb) a_，b_(1)a27a+6(2) 3a2-8a +4(3) 5 x2+7 x -6(4) 6 y2-11 y -10(5) 5a2b2+23ab -10(6) 3a2b2-17 abxy +10 x2y2(7) x2-7 xy +12 y2(8) x4+7 x2-18(9) 4m 2 +8mn +3n2(10) 5 x 5 -15 x 3 y -20 xy2分组分解法：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a2-b2+a -b 没有公因式，又不能直接利用分式法分解例 1分解因式（1） 2 x -ax -2 y +ay（2） x4-4 x3+x2-16（3） 4 x 2 -4 xy +y 2 -a 2（4） 7 a 2 -3b +ab -21a例 2分组后能直接运用公式的因式分解。（1） m21+mn -9 + n42（2） x2-x -4 y2+2 y对应练习：1 2ax +4bx -ay -2by = = 。（ ） + （ ） = +2 2 a2x2+6b2x2+a2y2+3b2y2=（ ） + （ ） = += 。3 x 2 -a 2 -2 ab -b 2 =（ ）（ ）= 。4.（1） x -7 +7 x -x2（2） x2+3 y +2 xy +3 x +y2（3） ab +a -b -1 自检自测：一、填空题：（4） x 2 -y 2 +ax +ay1、 9 x 3 y 2 +12 x 2 y 2 -6 xy 2、分解因式3 中各项的公因式是_。2 x2-4 x =_ ；4 x2_。-9 =x 2 -4 x +4 =；(x+y)2-14(x+y)+49=_。3、若 x2+ax +b =( x +3)( x -4), 则a =, b =。二、选择题：1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（ ）A、 x2-9 +6 x =( x +3)( x -3) +6 xB、 (x+5)(x-2)=x2+3 x -10C、 x2-8 x +16 =(x-4)2D 、 (x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A 、 -m2+4B 、 -x2-y2C 、 x2y2-1D 、(m-a)2-(m+a)23、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）A、a2-2 ab +4b2B、4 m2-m +14C、9 -6 y +y2D、x2-2 xy -y24、把多项式 p2(a-1)+p(1-a)分解因式的结果是（ ）A、(a-1)(p2+p)B、(a-1)(p2-p)C、p(a-1)(p-1)D、p (a-1)(p+1)5、若 9 x2-kxy +4 y2 是一个完全平方式，则 k的值为（ ）A、6 B、6 C、12 D、 126、 -(2x-y)(2x+y)是下列哪个多项式分解的结果（ ）2A、4 x 2 -y 2B、4 x 2 +y 2C、-4 x 2 -y 2D、-4 x 2 +y 27、若 a +b =-3, ab =1, 则a2+b2=（ ）A、11 B、11 C、7 D、7 三、把下列各式分解因式(1)2x 2-4x（2）8a3b 2 -12ab 3 c +6 a 3 b 2c(3) a29b2(4)-8ax 2 +16axy -8ay2（5）( a2+1)2-4 a2（6）m2+2 n -mn -2 m（7）x +6x- 27（8）9+6(a+b)+（ab）2