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小升初数学试卷：数论之带余除法 一、求被除数类1. 同余加余，同差减差例 1.某数被 7 除余 6，被 5 除余 3，被 3 除余 3，求此数最小 是多少？解：因为“被 5 除余 3，被 3 除余 3”中余数相同，即都是 3(同 余)，所以要先求满足 5 和 3 的最小数，5、3=15， 15+3=18 ，187=24 不余 6，(不对)152=30(30+3)7=45 不余 6(不对)(153+3)7=66( 对)所以满足条件的最小数是 48。例 2.某数被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 5，这个数最小 是多少？解：因为“被 3 除余 2，被 5 除余 4”中都差 1 就可整除，即同 差，所以要先满足 5 和 3 的最小数，5 、3=15， 15-1=14 ，147=20 不余 5(不对)(156-1)7=125所以满足条件的最小数是 89。例 3.一个四位数，它被 131 除余 112，被 132 除余 98，求这第1页/共6页个四位数？解：除数相差 132-131=1 ，余数相差 112-98=14，说明这个四 位数中有 14 个 131 还余 112。所以 13114+112=1946。 二、求除数类1.若 ac=r；bc=r.则 c (a-b)。例 1.一个数去除 551 ，745，1133 这 3 个数，余数都相同。 问这个数最大可能是几？解：745-551=194 ，1133-745=388。(194，388)=194，所以这 个数最大是 194。2.若 ac=r1 ；bc=r2 ， r1+ r2=d.则 c (a+b-d) 。 例 2.有一个整数，用它分别去除 157，234 和 324 ，得到的三 个余数之和是 100。求这个整数？解：157+324+234-100=615 ，615=3541 。1003=331， 即最小的除数应大于 34，小于 157 。所以满足条件的有 41、 123 两个，经过验算可知正确答案为 41。三、求余数类例 1.已知整数 n 除以 42 余 12，求 n 除余 21 的余数？ 解：由已知条件可知，n=42 的倍数+12=21 的 2 倍的倍数+12。 所以，n 除以 21 的余数为 12。例 2.有一个整数，除 1200 ，1314，1048 所得的余数都相同 且大于 5。问：这个相同的余数是多少？解：因为第2页/共6页1314-1200=114=338 ，1200-1048=152=438 。某自然数应当是这两个差的公约数，即 38。又因为 120038=31(余 22)131438=34(余 22)。所以，这个相同的余数是 22。例 3.求 19901990 除以 3 所得的余数？解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。 因为，1990 被 3 除余 1，即 19901990119901，所以 19901990 除以 3 所得的余数为 1。例 4.有一个 77 位数，它的各位数字都是 1，这个数除以 7 ， 余数是多少？解：根据被 7 整除的特征知，111111 能被 7 整除。77 6=12(余 5)，111117=1587( 余 2)。所以，这个数除以 7 的余数是 2 。例 5.1，1，2，3，5，8，13，90 个数排成一列，从第 三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这 90 个数的和除以 5 的余数是多少？解：这一列数被 5 除的余数依次为 1，1，2，3，0，3，3，1， 4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，。第3页/共6页余数从头起 20 个数一个周期循环出现，而且这 20 个数的和 40 又恰为 5 的倍数。9020=4(余 10)这列数中前 10 个数的余数和为 1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18185=3(余 3)所以，这 90 个数的和除以 5 的余数为 3。练习题：1. 一个三位数被 37 除余 17，被 36 除余 3，那么这个三位数 是多少？2. 已知整数 n 除以 3 余 2，求 n 除以 12 的余数？3. 某数除以 13 余 5，除以 17 余 8，除以 21 余 4，求此数最 小是多少？要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确 模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注 意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师 的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有 致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是 让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听， 用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记， 边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，第4页/共6页听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故 事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼 儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记 忆，又发展了思维，为说打下了基础。4. 号码分别为 101， 126，173，193 的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人 比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数。那么，打球 盘数最多的运动员打了多少盘？5. 求 21000 除以 13 的余数是多少？单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“ 先死后活 ”吧。让 学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话 空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短 ,并要求运用积累的 成语、名言警句等 ,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读 或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能 力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等 ,达到“一石 多鸟”的效果。6. 当 n 是 1 到 1992 之间的一个自然数时，把 它的各位数字相加，如果它的和不是一个一位数，那么把它 的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从 1 到 9 的 一位数为止(例如：468189)。问在 1 到 1992 这 1992 个 自然数经过上述方法处理后所得的 1992 个一位数中，3 多还 是 4 多？多几个？7. 由 2019 个 2 组成的数除以 13 ，所得的余数是几？其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技第5页/共6页巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识 ,怎么会向高层 次进军? 尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的 写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的 ,必须从基 础知识抓起,每天挤一点时间让学生“ 死记”名篇佳句、名言警 句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样 ,就会在有限的时 间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少 成多,从而收到水滴石穿 ,绳锯木断的功效。第6页/共6页
