2019届高考数学文科二轮分类名师精编突破训练：第二篇考点一考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用W.docx

最新 料推荐 考查角度 2三角恒等变换与解三角形的综合应用分类透析一三角恒等变换及应用例 1 在 ABC中, AC=6,cos B= , C= .(1) 求 AB的长 ;(2) 求 cos - 的值 .分析 (1) 先利用同角三角函数关系式求出sinB, 再用正弦定理求 AB的长 .(2) 先利用 A+B+C= 和两角和公式求出 cos A, 再求出 sin A, 最后用两角差公式求解 .解析 (1) 因为 cos B= ,0 <B<, 所以 sinB=-=-= .由正弦定理知=, 所以 AB=5.(2) 在 ABC中, A+B+C=, 所以 A=- ( B+C).所以 cos A=-cos( B+C)=- cos=-cos cos +sin Bsin .B又 cos B= ,sin B= ,所以 cos A=- + =- .因为 0<A<, 所以 sinA=-=,-故 cos-=cos Acos +sinAsin=-+ =.方法技巧 解三角形时通常要利用三角恒等变换公式来处理 :(1) 结合三角形内角定理变换出 A=- ( B+C), 然后利用诱导公式处理 ;(2) 已知三角形其中两个角的三角函数值 , 求第三个角的三角函数值时 , 利用同角三角函数的基本关系和正弦、 余弦公式求解 ;(3) 已知三角形内角间的倍角关系时 , 通常可利用倍角公式来处理 .分类透析二利用正弦定理、余弦定理解三角形1最新 料推荐 例 2 在如图所示的 ABC中, 已知点 D在 BC的边上 , 且 ADAC,sin BAC= , AB=3 , BD= .(1) 求 AD的长 ;(2) 求 cos C.分析 (1) 由余弦定理求得关于 AD的一元二次方程 , 进而求出 AD 的长 .(2) 先由 cosBAD求得 sin BAD,再根据正弦定理求出 sin ADB,最后利用 ADB=+C的关系求出 cos C.解析 (1)因为 ADAC, 所以 sin BAC=sin+ BAD=cosBAD,所以 cosBAD= .在 ABD中, 由余弦定理可知 ,2222BD=AB+AD- 2ABADcos BAD,即 AD- 8AD+15=0,解得 AD=5 或 AD=3. 由于 AB>AD,所以 AD=3.(2) 在 ABD中, 由正弦定理可知=.又由 cosBAD=, 可知 sin BAD=,所以 sin ADB= .因为 ADB= DAC+C= +C, 所以 cos C= .方法技巧 解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未知元素 , 由已知条件合理选用正弦定理、 余弦定理 , 注意角的范围与三角函数符号之间的联系 .分类透析三三角恒等变换与解三角形的综合应用例 3 在 ABC中, 角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 且满足- = , D是 AC边上的一点 .(1)求 cos B 的值 ;(2)若 AB=2, AD=2DC, BD=, 求 ABC的面积 .分析 (1) 先化简已知等式 , 再根据角的范围求出cos B.(2) 设 AD=2DC=2x, 利用 CDB=- ADB和余弦定理建立方程组求出 a, 再由 cos B 求出 sin B, 代入 S= acsin B 中, 进而求出 ABC的面积 .2最新 料推荐 解析 (1) 由-=, 得 3ccos B-acos B=bcos A,3 ccos B=acosB+bcos A.由正弦定理得 3sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin( A+B) =sinC.因为 sinC0, 所以 cos B= .(2) 设 BC=a,AD=2DC=2x,222则在 ABC中, 由余弦定理得 AC=AB+BC- 2AB BCcos ABC, 即 9x2=4+a2- . 在 ABD中, 由余弦定理得 cos ADB=-;在 BDC中, 由余弦定理得 cos CDB=-.因为 cosCDB=cos-ADB,所以 3x2-a 2=-6.由 , 解得 a=3.又因为 sin ABC=- = ,所以 ABC的面积为 AB BCsin ABC=2.方法技巧 (1) 一般地 , 如果条件为含有角的余弦或边的代数式 , 要灵活运用正弦、余弦定理实现边角转化 ;(2) 三角形的面积公式涉及边、角 , 常和正弦、余弦定理结合起来运用 .1. (2018 年江苏卷 ,16 改编 ) 已知 coscos-=- , ,.(1) 求 sin 2 的值 ;(2) 求 tan-的值 .解析 (1) coscos-=cos+ sin+= sin=- ,3最新 料推荐 sin=- ., 2+ ,2+=, 解得 2= . sin 2=sin= .(2) 由(1)知 sin 2=, cos 2 =- .-tan -=-=-=-2 =2 .2. (2018 年全国 卷, 理 17 改编 ) 如图所示 , 在平面四边形ABCD中 , AD=1, CD=2, AC= .(1) 求 cos CAD的值 ;(2) 若 cos BAD=- ,sin CBA= , 求 BC的长 .解析 (1) 在 ADC中, 由余弦定理 ,得 cosCAD=-=- = .(2) 设 BAC=, 则 =BAD-CAD. cosCAD= ,sin CAD= -=.又 cosBAD=- ,sin BAD=-=. sin =sin BAD-CAD)=sin BADcos CADcos-BADsin CAD=- -=.在 ABC中, 由正弦定理 , 得=,故 BC=3.4最新 料推荐 3. (2017 年全国 卷, 理 17 改编 ) 在 ABC中, 角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 且 bcos A=(2 c-a )cos B.(1) 求角 B 的大小 ;(2) 若 ABC的面积为 3 , b= , 求 ABC的周长 .解析 (1) bcos A=(2 c-a )cosB,由正弦定理 , 得 sinBcos A=(2sinC-sinA cosB. sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos B, sin( A+B) =2sin Ccos B.又 A+B+C=,sin( A+B) =sin C. sin C0, cos B= .又 B 0, , B= .(2) 由(1)知 B= , 又 b=,22222b=a +c - 2accos B, 即 13=a +c -ac.又 S ABC= acsin B=3 , ac=12. 联立 解得 a+c=7.ABC的周长为 7+.1. (2018 年长郡中学 ) 已知在 ABC中, 角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且 asin B-bcos A=0.(1) 求角 A 的大小 .(2) 若 a=2 , b=2, 求 ABC的面积 .解析 (1) 在 ABC中, 由正弦定理得 sin Asin B-sin Bcos A=0, 即 sin B(sin A-cos A) =0. 又 B为三角形的内角 ,sin B0,所以 sinA-cos A=0, 即sin-=0.又 A 0, , 所以 A= .(2) 在 ABC中, 由余弦定理得 a2=b2+c2- 2bccos A,将 a=2, b=2,cosA= 代入 , 得 20=4+c2- 4c, 即c2- 2c- 16=0,解得 c=-2( 舍去 ) 或 c=4.所以 SABC= bcsinA= 24=4.5最新 料推荐 2. (2018 年河南郑州高三质检一 ) 在 ABC中, 角 A, B, C的对边分别为a, b, c, 且 2ccos B=2a+b.(1) 求角 C;(2) 若 ABC的面积 S= c, 求 ab 的最小值 .解析 (1) 由正弦定理得 2sinCcos B=2sinA+sinB,即 2sin Ccos B=2sin( B+C)+sin B, 2sin Bcos C+sin B=0.B为三角形的内角 , sin B0, cos C=- .又 C为三角形的内角 , C= .(2) S= absinC= c, c= ab.22222又 c =a +b - 2abcos C=a+b +ab, =a2+b2+ab3ab.ab12.故 ab 的最小值为 12.3. (2018 届江西省重点中学协作体联考) 已知 a, b, c 分别为 ABC三个内角 A, B, C的对边 ,2 acosB+b=2c,=4.(1) 求 S ABC;(2) 若 D是 BC的中点 , AD=, 求 a.解析 (1) 2acos B+b=2c, A+B+C=,2sin Acos B+sin B=2sin C=2sin(A+B) =2sinAcos B+2cos AsinB,整理得 sin B=2sin BcosA, 又 sinB0, cosA= .A 0, , A= .=4, bccos A=4, 解得 bc=8,SABC= bcsinA= 8 =2 .(2) = (+ ), = (+2+),即 7= ( c2+24+b2), 化简得 b2+c2=20.又 bc=8,222a=b +c - 2bccos A=20- 28 =12.6最新 料推荐 a=2.4. (2018 届襄阳调研 ) 在 ABC中, 内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c, 已知 asin B=bcos A,cos B= .(1) 求 cos C的值 ;(2) 若 a=15, D为 AB边上的点 , 且 2AD=BD,求 CD的长 .解析 (1) 由 asinB=bcos A 得 sinAsinB=sinBcos A.A,B, C是 ABC的内角 , sinB0,cosA0, tan A=1, 故 A= .由 cos B= , 得 sinB=-= . cos C=cos - ( A+B) =- cos( A+B)=- coscos B+sinsinB= .(2) 由 cos C= , 得 sinC=-=.由正弦定理得=, 解得 c=21,BD=c=14.222在 BDC中, CD=BC+BD- 2BC BDcosB=152+142- 21514 =169, 解得 CD=13.7