中考数学专项训练： 平行四边形(含解析).docx

一、选择题6. （2019遂宁）如图， ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O，OEBD 交 AD 于点 E，连接 BE，若 ABCD 的周长 为 28，则ABE 的周长为 ( )A.28B. 24C. 21 D. 14【答案】D【解析】因为平行四边形的对角线互相平分，OEBD，所以 OE 垂直平分 BD，所以 BE=DE,从 ABE 的周长等于 AB+AD，即 ABCD 的周长的一半，所以ABE 的周长为 14，故选 D.二、填空题14（2019武汉）如图， ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点，AEEFCD，ADF90 ，BCD 63，则ADE 的大小为_【答案】21【解析】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，15ADF90 ，AEEF，DE12AFAE，1252AECD，DEAE，DECD，343 1222，422BCD63，5463，即 3263，221，即ADE21故答案为 21.1.（2019达州）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点 BEO 的周长 是 8，则BCD 的周长为_ .【答案】161 1【解析】O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，点 E 是 AB 的中点，可得 OE= AD，BE= AB ，2 2BO=12BD，可得BEO 的周长是BAD 周长的一半，而BCD 的周长 BAD 周长相等， BCD 的周长为 16.10 （2019烟台）如图，面积为 24 ABCD 中，对角线 BD 平分 ABC 长线于点 E， DE =6 ，则 sin DCE 的值为（ ），过点 D 作 DE BD 交 BC 的延A24 4 3 12B C D25 5 4 25ADFBC ME【答案】A第 10 题答图【解析】连接 AC，交 BD 于点 F，过点 D 作DM CE，垂足为 M，因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 F 是 BD 的中点，AD/BC，所以DBC =ADB，因为 BD 是 ABC 的平分线，所以ABD =DBC，所以 ABD =ADB，所以 AB =AD，所以ABCD 是菱形，所以AC BD，又因为 DE BD ，所以 AC/DE，因为 AC/DE，F 是 BD 的中点， 所以 C 是 BE 的中点，所以 CF =12DE =3，因为四边形 ABCD 是菱形，所以AC =2 FC =6， S菱形 ABCD=AC BD2，所以BD =2 S菱形ABCDAC=2 246=8，所以 BF =12BD =4，在 BFD 中，由勾股定理得BC = BF 2 +CF 2 =5，因为四边形 ABCD 是菱形，所以DC =BC =5，因为S菱形ABCD=BC DM所以DM =S菱形ABCDBC=245，在 DCM 中，sin DCE =DM 24= DC 257 （2019威海） 如图，E ABCD 的边 AD 延长线上一点，连接 BE，CE，BD，BE 交 CD 于点 F.添加以下条 件，不能判定四边形 BCED 为平行四边形的是（ ）EDFCABAABDDCEB. DFCFB. AEBBCDC. AECCBD【答案】C【解析】根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 ， 得 AD BC ， AB CD ， 所 以 DE BC ， 所 以 ABD CDB ， 若 添加 ABDDCE，可得CDBDCE，从 而 可 得 BD CE ， 所 以 四 边 形 BCED 为 平 行 四 边 形 ， 故 A 正 确 ； 根 据 平 行 线 的 性 质 ，得 DEF CBF ，若 添加 DFCF，由于EFDBFC， DEFCBF，从而 EF BF ， 根 据 “ 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ”， 得 四 边 形 BCED 为 平 行 四 边 形 ， 故 B 正 确 ； 根 据 平 行 线 的 性 质 ， 得 AEB CBF ， 若 添加AEBBCD，易得 CBF BCD ， 求 得 CF BF ， 同 理 ， EF DF ，不 能 判 定 四 边 形 BCED 为 平 行 四 边 形 ，故 C 错 误 ；根 据 平 行 线 的 性 质 ，得 DEC BCE 180 ， 若 添加AECCBD，则得 BCE CBD 180 ， 所 以 BD EC ， 于 是 得 四 边 形 BCED 为 平 行 四 边 形 ， 故 D 正 确 故 选 C.三、解答题20（ 2019淮安）已知：如图， ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点.求证：BE=DF.【解题过程】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC.点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点，DEBF，DE=BF，四边形 BFDE 是平行四边形，BE=DF.1.（2019重庆 A 卷）如图， ABCD 中，点 E 在边 BC 上，连结 AE，EMAE，垂足为 E，交 CD 于点 M， AFBC，垂足为 F，BHAE，垂足为 H，交 AF 于点 N，点 P 是 AD 上一点，连接 CP（1）若 DP2AP4，CP 17 ，CD5，求ACD 的面积；（2）若 AEBN，ANCE，求证：AD 2CM2CEACD解：（1）如图 1，过点 C 作 CQAD 于点 Q DP2AP4，AP2，AD6设 PQx，则 DQ4x，根据勾股定理，得 CP2PQ2CD2DQ2，即 17x252(4x)2，解得 x1，从而 CQ52-324，故 1 1ADCQ 6412 2 2A P QDA P DNHMNHMB F E C 第 25 题答图 1（2）如答图 2，连接 NEB F E第 25 题答图 2CEMAE，AFBC，BGAE，AEBFBNAEBEAFAEBMEC90 EAFNBFMECBFN =AFE 在BFN 和AFE 中， FBN =FAE，BN =AEBFNAFE（AAS）BFAF，NFEFABC45，ENF45，FCAFBF ANEBCD135，ADBC2AFNAE =CEM 在ANE 和ECM 中， ANE =ECM，ANEECM（ASA） CMNEAN =EC又NF2 2NE CM，2 2AF22CMCEAD 2CM2CE2.（2019衢州）如图，在44的方格子中，ABC的三个顶点都在格点上. （1）在图1中面出线段CD，使CDCB，其中D是格点.（2）在图 2 中面出平行四边形 ABEC，其中 E 是格点.图 1图 2解：线段CD就是所求作的图形 ABEC就是所求作的图形.3.（2019金华）如图，在 76 的方格中 ABC 的顶点均在格点上.试按要求画出线段 EF（E，F 均为格点）， 各画出一条即可.AAACCCBBB图1：EF平分BC图2：EFAC（第 20 题图）图3：EF 垂直平分AB解：如图，AAEAEECFCFCB F B 图1：EF 平分BC图2：EFACB图3：EF垂直平分AB22（2019 浙江省温州市，22，10 分）（本题满分 10 分）如图，在ABC 中，BAC=90，点 E 在 BC 边上，且 CA=CE，过 A，C，E 三点的O 交 AB 于另一点 F，作直 径 AD，连结 DE 并延长交 AB 于点 G，连结 CD，CF（1）求证：四边形 DCFG 是平行四边形；3（2）当 BE=4，CD= AB 时，求O 的直径长8AAFFGOGOB ECBEC第22题图D第22题图D【解题过程】（1）连接 AE. BAC=90，CF 是O 的直径. AC=EC，CFAE.AD 为O 的直径，AED=90，即 GDAE，CFDG. AD 为O 的直径，ACD=90，ACD+BAC=180，ABCD，四边形 DCFG 为平行四边形； 3（2）由 CD= AB，可设 CD=3x,AB=8x，CD=FG=3x.8 AOF=COD，AF=CD=3x，BG=8x-3x-3x=2x. GECF，BGE CDE BE BG 2= =EG GF 3.又 BE=4，AC=CE=6，BC=6+4=10，AB= 102 -62 =8=8x，x=1.在 ACF 中，AF=3，AC=6，CF= 32 +62 =3 5 ，即O 的直径长为 3 5 .22（ 2019 江西省，22，9 分）在图 1，2，3 中，已知： ABCD ，ABC=120，点 E 为线段 BC 上的动点， 连接 AE，以 AE 为边向上作菱形 AEFG，且EAG=120 .(1)如图 1，当点 E 与点 B 重合时，CEF=;(2)如图 2，连接 AF.1 填空：FAD EAB(填>”，"<”，“=”)；2 求证：点 F 在ABC 的平分线上；(3)如图 3，连接 EG，DG，并延长 DG 交 BA 的延长线于点 H，当四边形 AEGH 是平行四边形时，求 【解题过程】解：（1）当点 E 与点 B 重合时，四边形 AEFG 是菱形，ABE=AEF=180-EAG=180-120=60，ABC=120，CEF=ABC-ABE=120-60=60.答案：60；（2）ABCD 中ABC=120，BAD=180-ABC=180-120=60.1 1菱形 AEFG 中EAG=120，EAF=EAG= 120=60.2 2FAD=EAB.答案：=如图所示，连接 BE，以 BE 为边向下作等 BEP，BCAB的值.则 BE=PE，BEP=AEF=P=60，AE=FE， BEFPEA，EBF=P=60，又ABC=120，EBF=12ABC，点 F 在ABC 的平分线上.（3）四边形 AEGH 是平行四边形，四边形 AEFG 是菱形，GH=AE=AG=DF=FE.EAG=120，H=HAG=AGE=FGE=AEG=FEG=BAE=DAE=ADE=AEB=30. DF=FG=GH=AE，AB=BE.AEGH，ABEHAD，BC AD DH 3 AE = = = =3AB BE AE AE.一、选择题11(2019海南) 如图,在 ABCD 中,将ADC 沿 AC 折叠后,点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处,若B 60,AB3,则ADE 的周长为( )A.12 B.15 C.18 D.21第 11 题图【答案】C【解析】折叠后点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处,ACDE,ECCDAB3,ED6,B60, D60,AD2CD6,AE6,ADE 的周长AE+AD+ED18,故选 C.【知识点】折叠,三角函数,平行四边形三、解答题19.（2019广安）如图，点E 是 Y ABCD 的 CD 边的中点，AE 、BC 的延长线交于点 F ，CF =3 ，CE =2 ，求Y ABCD 的周长【思路分析】先证明 DADE DFCE ，得到 AD =CF =3 ， DE =CE =2 ，从而可求平行四边形的面积 【解题过程】解：Q 四边形 ABCD 是平行四边形， AD / / BC ，DAE =F ， D =ECF 又 ED =EC ，DADE DFCE( AAS ) AD =CF =3 ， DE =CE =2 DC =4 平行四边形 ABCD 的周长为 2( AD +DC ) =14 【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质19.（2019荆门）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB5，BC3，AC213（1） 求平行四边形 ABCD 的面积；（2） 求证：BDBC55 552 22 25 555，DFCE=2 22222 2 2a【思路分析】（1）作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，设 BEx，由勾股定理列出关于 x 的方程，解方程求出平 行四边形的高，进而即可求出其面积；9 9 16 12（2）利用全等三角形的判定与性质得出 AFBE= ，BF5 = ，DFCE= ，从而求出 BD 的长， BCD 中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直【解题过程】解：（1）作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，如图：设 BEx，CEh在 RtCEB 中：x +h 9在 RtCEA 中：（5+x） +h 529 12联立解得：x= ，h=平行四边形 ABCD 的面积ABh12； （2）作 DFAB，垂足为 FDFACEB90平行四边形 ABCDADBC，ADBCDAFCBE又DFACEB90，ADBC ADFBCE（AAS）9 9 AFBE= ，BF5 =16 125 512在 RtDFB 中：BD DF +BF （516） +（5）16BD4BC3，DC5CD DB +BCBDBC【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质21（2019 福建）在 ABC 中，ABC=90，ACB30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转一定的角度 得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E.(1) 若点 E 恰好落在边 AC 上，如图 1，求ADE 的大小；(1) 若 =60，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BFDE 是平行四边形.a22cos DAEDC =AB AD =CB DC / / AB，得出【思路分析】(1)根据旋转后图形的形状大小不变，得ADC 为等腰三角形，利用等腰三角形性质求底角度数， 再利用直角三角形两个锐角互余，即可求出ADE 的大小；(2)根据 F 是 AC 中点，利用直角三角形斜边中 线等于斜边一半，可得 DEABBF，再利用等腰三角形三线合一证明 BFCE，从而得出 BFDE，即可 得出四边形 BFDE 是平行四边形.【解题过程】解：（1）根据旋转性质得：DCE=ACB30，DEC=ABC90，CACD，ADC=180-DCEDAC 75，EDC=90ACD=60，ADE=ADCEDC=15； （2）延长 BF 交 CE 于点 G.1在 ABC 中，ACB30，点 F 是边 AC 中点，BF=FC= AC，FBC=ACB=30，由旋转性质 AB=DE，DEC=ABC=90，BCE=ACD=60，DE=BF，BGE=GBCECB=90，DEC=BGE=90，BFDE，四边形 BFDE 是平行四边形.【知识点】图形的旋转；直角三角形性质；等边三角形性质与判定；平行四边形判定24. （2019 扬州）如图，在平行四边形 ABCD 中， AE 平分 DAB ，已知 CE =6 ， BE =8 ， DE =10 （1）求证：BEC =90；（2）求 【思路分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，推出DEA =EAB，再根据角平分线性质得出DAE =DEA，推出AD =DE =10 AB =CD =16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；Q ABCD， ，（2）解：DOEC（2）由平行线得出ABE =BEC =90，由勾股定理求出AE = AB2+BE2=8 5 ，得出 cos DAE =cos EAB，即可得出结果【解题过程】解：（1）证明： 四边形 是平行四边形， DC =AB = AD =BC DC / / AB，DEA =EAB，Q AE平分DAB，DAE =EAB，DAE =DEA AD =DE =10， BC =10 AB =CD =DE +CE =16，Q CE 2 +BE 2 =6 2 +82 =100 =BC2，DBCE是直角三角形，Q AB / / CD ，BEC =90；ABE =BEC =90， AE = AB 2 +BE 2 = 16 2 +82 =8 5， cos DAE =cos EAB =AB 16 2 5= =AE 8 5 5【知识点】解直角三角形；平行四边形的性质；勾股定理的逆定理22. （2019连云港）如图，在DABC 中， AB =AC 将 DABC 沿着 BC 方向平移得到 DDEF ，其中点 E 在边 上， DE 与 AC 相交于点 O （1）求证： 为等腰三角形；BC（2）连接AE、 DC 、 AD，当点E在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由【思路分析】（1）根据等腰三角形的性质得出B =ACB，根据平移得出AB / / DE ，求出 B =DEC，再求AECD AECDQ AB =AC出ACB =DEC即可；（2）求出四边形 是平行四边形，再求出四边形 是矩形即可【解题过程】解：（1）证明：，B =ACB，Q DABC平移得到DDEF， AB / / DE，B =DEC，ACB =DEC， OE =OC，即 DOEC 为等腰三角形；（2）解：当 E 为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形，理由是：Q AB =AC ， E 为 BC 的中点， AE BC ， BE =EC ，Q DABC平移得到 DDEF ， BE / / AD， BE =AD ， AD / / EC ， AD =EC ，四边形 AECD 是平行四边形，Q AE BC，四边形 AECD 是矩形【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定；平行四边形的判定；平移的性质7. （2019广州）如图， ABCD 中，AB2，AD4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）22 21 12 21 22AEHHG B四边形 EFGH 是平行四边形CACBD DABO 的面积是EFO 的面积的 2 倍【答案】B【解析】E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，在 ABCD 中，AB2，AD4，1 1 1 EH= AD2，HG= =AB1，EHHG，故选项 A 错误；E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，EH= = = ，四边形 EFGH 是平行四边形，故选项 B 正确； 由题目中的条件，无法判断 AC 和 BD 是否垂直，故选项 C 错误；点 E、F 分别为 OA 和 OB 的中点，EF= ，EFAB，OEFOAB，= ( ) =1，4即ABO 的面积是EFO 的面积的 4 倍，故选项 D 错误， 故选 B【知识点】平行四边形的判定与性质； 相似三角形的判定与性质一、选择题17. （2019 台湾）如图，将一张面积为 14 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边 形纸片根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？( )A215B425C247D487【答案】D【解析】解：如图，设 DADE ， DBDF ， DCEG ，平行四边形 DEGF 的面积分别为 S ， S ， S 和 S ，1 2 3过点 D 作 DH / / EC ，则由 DFGE 为平行四边形，易得四边形 DHCE 也为平行四边形，从而 DDFH DEGC ， SDDFH=S ，3Q DE / / BC ，DADEDABC ， DE =3 ， BC =7 ，SS1DABC=949，2222Q SDABC=14 ， S =194914 ， SDBDH1: S =( 4) :3 =2:3 ， 2 SDBDH=23S ，2 9S +S =14 - 14 ， 3 4948 S = 7故选：D【知识点】平行四边形的性质；三角形的面积8（2019永州） 如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且点 O 是 BD 的中点，若 AB=AD=5，BD=8，ABD CDB，则四边形 ABCD 的面积为A40 B24 C20 D15【答案】B【解析】ABDCDB，ABCD，O 是 BD 的中点，BO=DO，又AOBCOD，AOBCOD， AB=CD，又 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形AB=AD，四边形 ABCD 是菱形ACBD在ABO 中，BO=1 1BD=4，AO= AB -BO = 5 -4 =3， AC=2AO=6，四边形 ABCD 的面积为 2 2ACBD=1268=24故选 B8. （2019泸州）四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为 平行四边形的是（ ）AADBCCADBC，ABDC 【答案】BBOAOC，OBOD DACBD【解析】OAOC，OBOD，四边形 ABCD 是平行四边形；故选：B 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定二、填空题16.（2019 梧州）如图， Y ABCD 中， ADC =119， BE DC 于点 E ， DF BC 于点 F ， BE 与 DF 交于点 H ，则 BHF =度【答案】61【解析】解：Q 四边形 ABCD 是平行四边形， AD / / BC ， DC / / AB ，Q ADC =119，DF BC ，ADF =90，则 EDH =29，Q BE DC ，DEH =90，DHE =BHF =90-29=61故答案为：61【知识点】平行四边形的性质6. （2019云南）在平行四边形 ABCD 中，A30，AD4 3 ，BD4，则平行四边形 ABCD 的面积等于.【答案】16 3或8 3【解析】本题考查了解直角三角形，涉及 30 度直角三角形及勾股定理，对图形进行分类是解决本题的关键， 过 D 作 DEAB 于 E，在 ADE 中，A30，AD4，DE AD2，AEAD6，在 BDE 中，BD4，BE 2， 如图 1，AB8，平行四边形 ABCD 的面积ABDE82 如图 2，AB4，平行四边形 ABCD 的面积ABDE42168，故答案为：16或 83（2019龙东地区）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 _，使四边形 ABCD 是平行四边形DCAB【答案】答案不唯一，ADBC 或 AB=CD 或A+B=180等. 【解析】根据平行四边形的判定方法填上一个合适的条件即可. 【知识点】平行四边形的判定方法三、解答题17（2019张家界）如图，平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE=AB，连接 DE，分别交BC，AC 交于点 F，G（1） 求证：BF=CF;（2） 若 BC=6,DG=4,求 FG 的长解析：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质（1）由平行四边形 的性质证BEFCDF，得证；（2）由平行线得到ADGCFG，根据相似三角形的性质得到成比例线段求 解.答案：解：（1）平行四边形 ABCD，AECD,AB=CD,EBF=DCF,BEF=CDF,AB=BE, BE=CD,BEFCDF,BF=CF；（2）ADBC,ADGCFG,CF FG 3 FG= ,即 =AD DG 6 4,FG=2.21. （2019本溪）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADCD，B=45，延长 CD 到点 E，使 DE=DA，四边ABCE形连接 AE.（1） 求证：AE=BC；（2） 若 AB=3，CD=1，求四边形 ABCE 的面积.（1）证明：ADCD，ABCD，ADE=DAB=90.AD=DE，E=DAE=45，EAB=135.B=45，B+EAB=180，AEBC，四边形 ABCE 是平行四边形，AE=BC.（2）解：由（1）知 AB=CE，CD=1，AB=3，DE=2.AD=DE，AD=2，S =32=6.【知识点】平行四边形的判定与性质；面积计算.21（ 2019雅安）如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 经过 O，分别 交 AB、CD 于点 E、F， EF 的延长线交 CB 的延长线于 M（1） 求证：OE=OF；（2） 若 AD=4，AB=6，BM=1，求 BE 的长D FOCAE BM（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，ABCD，BC=AD，1=2，3=4， AOE COF（ASA），OE=OF；（2）解：过点 O 作 ONBC 交 AB 于 N，易证NABC，OA=OC，ON=1 1BC=2，BN= AB=3， 2 2ONBC，EMBE，ON NE ON +BM NE +BE= ， = ，BM=1，BE=1 BM BE BM BEA1D F4O3N E B2CM【知识点】平行四边形；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质26（2019永州）(本小题 12 分)(1)如图 261，在平行四边形 ABCD 中，A=30，AB=6，AD=8，将平行四边 形 ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽(保留分割线的痕 迹)解：矩形的长为 8，宽为 3(2)若将一边长为 1 的正方形按如图 2621 所示剪开，恰好能拼成如图 2622 所示的矩形，则 m 的值 是多少？解：由两个图形的面积相等，有 m(m1)=1，解得 m=-1 + 5 -1 - 5或 m= (舍去) 2 2所以 m 的值是-1 + 52(3)四边形 ABCD 是一个长为 7，宽为 5 的矩形(面积为 35)，若把它按如图 2631 所示的方式剪开，分成 四部分，重新拼成如图 2632 所示的图形，得到一个长为 9，宽为 4 的矩形(面积为 36)问：重新拼 成的图形的面积为什么会增加？请说明理由解：如图，tanAFG=AG 4 3 1 FH 3 1 3= = ，tanFCH= = ， 因为 ，所以AFGFCH ，因此点 A ，F，C FG 2 2 HC 7 2 7三点不在同一直线上，即原图形不能拼成新图形19 （2019郴州）如图， ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，连 接 AC，DF求证：四边形ACDF 是平行四边形解析：本题考查了平行四边形、平行线的判定，全等三角形的性质， 是得到 AFCD，且 AFCD答案：证明：ABCD 是平行四边形，ABCD，即 AFCD，AFEDCE点 E 是边 AD 的中点，EFEC，又AEFDEC，AEFDEC， AFDC四边形ACDF 是平行四边形