2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第9章第5节第1课时椭圆及其性质.docx

第五节椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率 ).3.理解数形结合思想 .4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义(1)平面内到两个定点F1， F2 的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的集合叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合 P M|MF 1|MF 2|2a ，|F1F2| 2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.当 2a>|F1F2|时， M 点的轨迹为椭圆；当 2a |F1F2|时， M 点的轨迹为线段F1F2；当 2a<|F1F2|时， M 点的轨迹不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2 y2y2x2a2b2 1(a>b>0)a2 b21(a>b>0)图形范围axabxbbybaya性对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点A (a,0)，A (a,0)，A (0， a)， A (0，a)，质1212顶点B1(0， b)，B2(0， b)B1(b,0)，B2(b,0)离心率cea，且 e (0,1)a，b，c 的关系c2 a2b2 常用结论 1点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系22点， 0在椭圆内00(1)P(x0?x2y2 1.y )ab002y2x0(2)点 P(x ，y )在椭圆上 ?02 2 1.ab22(3)点 P(x00x0y0，y )在椭圆外 ?a2b2 1.2焦点三角形如图，椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的 PF1F2 叫做焦点三角形 设 r1|PF1 |，x2y2r2 |PF2|，F1PF2，PF1F2 的面积为 S，则在椭圆 a2 b21(ab0)中：(1)当 r 1 r2 时，即点 P 的位置为短轴端点时，最大；2(2)S b tanc|y0 |，当 |y0| b 时，即点 P 的位置为短轴端点时， S 取最大值，最2大值为 bc.(3)a c |PF1 |ac.(4)|PF1 | aex0，|PF2|aex0.3椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a2b2c2.4已知过焦点 F1 的弦 AB，则ABF2 的周长为 4a.5椭圆中点弦的斜率公式x2y2若 M(x0，y0)是椭圆 a2 b21(ab0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点，则有 kABkOMb2202，即 kABb x. 2aa y06弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|1k2 |x1x2| 1k2 x1x2 24x1x211 2 11221 2为直线的斜率 21 21k|yy |k yy4y y (k)一、思考辨析 (正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两个定点F 1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成 PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距 ) ()(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ()(4)关于 x，y 的方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆 ()答案 (1)(2)(3)(4)二、教材改编1若 F1(3,0)，F2 (3,0)，点 P 到 F1，F2 距离之和为10，则 P 点的轨迹方程是 ()x2y2x2y2A. 2516 1B.1009 1y2x2x2y2y2x2C.2516 1D.2516 1 或25161A 设点 P 的坐标为 (x，y)，因为 |PF1|PF2|10>|F1F2| 6，所以点 P 的轨迹是12为焦点的椭圆， 其中 a 5，c3，b224，故点 P 的轨迹方程为x2以 F ，Fa c25y2 1.故选 A.162设椭圆的两个焦点分别为F1， F2，过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F12 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()PFA.2B2122C2 2D 21Dx2y221 2b2 法一：设椭圆方程为 a2b21(ab0)，依题意，显然有 |PF |F F |，则 a2c，即a2c221.故选 D.a2c，即 e2 2e 10，又 0<e<1，解得 e法二：因为F1PF2 为等腰直角三角形，所以 |PF2| |F1F2|2c，|PF1|22c.因为 |PF1| 2a，所以 2c1 故选|PF2c2c2a，所以 e 22a211.D.3若方程 x2 y2 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 _5kk 35k0，(3,4)(4,5)由已知得k30，5kk3.解得 3k5 且 k4.已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为 1，则椭圆的标准方程为 _42x2y2x2y243 1 设椭圆的标准方程为2 2 1(a>b>0)因为椭圆的一个焦点为abc1，1c 1a2c2，x2F(1,0)，离心率 e 2，所以a2，解得2故椭圆的标准方程为4b 3，a2 b2c2，y2 3 1.第 1 课时椭圆及其性质考点 1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F 是圆内一定点， M是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P 的轨迹是 ()A 椭圆B双曲线C抛物线D圆1，22y2的两个焦点， A 为椭圆上一点，且 AF12，则x 1(2)FF是椭圆97F45AF1F2 的面积为 ()A 7B747D75C22(1)A (2)C(1) 由题意可知， CD 是线段 MF 的垂直平分线，|MP| |PF|，|PF|PO| |PM|PO| |MO|(定值 )又|MO|FO|，点 P 的轨迹是以 F， O 为焦点的椭圆，故选 A.(2)由题意得 a3，b 7，c 2，|F1F2|22，|AF1| |AF2| 6.|AF2|2|AF1 |2 |F1F2|22|AF1| |F1F2|cos 45 |AF1|2 4|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1 |2 4|AF1|8.7，|AF1|21727SAF1F2 22 2 222.本例 (1)应用线段中垂线的性质实现了“ |PF|PO|” 向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得AF1F2的面积教师备选例题 x2y2设 F1，F2 分别是椭圆 2516 1 的左、右焦点， P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为 (6,4)，则 |PM|PF1|的最小值为 _5 由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得 |PF1| 2a|PF2|.|PM|PF1| |PM| (2a |PF2|) |PM| |PF2 | 2a|MF 2 |2a，当且仅当 M，P， F2 三点共线时取得等号，又 |MF 2| 63 2 4 0 25,2a10，|PM| |PF1| 5 10 5，即 |PM|PF1|的最小值为 5.x2y2已知 F1， F2 是椭圆 C：a2b21(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1PF2，若 PF1F2 的面积为 9，则 b_.3 设|PF 1| r1，|PF2|r2， r 1r 2 2a，则222所以 2rr(r r222222，所以 SPF F12121212r 1r 2 4c ，122r 1r 2 b 9，所以 b3.考点 2椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2 的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a |F1F2|.1.在 ABC 中， A( 4,0)，B(4,0)， ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是 ()x2y2y2x2A 259 1(y0)B259 1(y0)x2y2y2x2C169 1(y0)D169 1(y0)A 由|AC| |BC|188 108 知，顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆 (A，x2y2B， C 不共线 )设其方程为 a2b21(ab0)，则 a5，c 4，从而 b 3.由 A，B，C 不共线知 y 0.x2y2故顶点 C 的轨迹方程是 25 9 1(y0) 2已知两圆 C1：(x4)2y2 169，C2：(x 4)2 y2 9，动圆在圆 C1 内部且和圆C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ()x2y2x2y2A 6448 1B4864 1x2y2x2y2C4864 1D6448 1D 设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2| (13r) (3r)16，又|C1C2|816，动圆圆心 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且2a16,2c8，则 a 8， c 4，b2，故所求的轨迹方程为 x2y21.486448利用定义法求轨迹方程时， 注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x 或 y 进行限制待定系数法利用待定系数法要先定形(焦点位置 )，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b 的方程组如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0， n 0， mn)的形式1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3，5， ( 3， 5)，则椭圆方程为 _22y2 x21设椭圆方程为 mx2 ny2 1(m，n0，m n)1063252112m 2n1，由解得 m 6， n 10.3m5n1，y2x2椭圆方程为 10 6 1.y2x22过点 (3，5)，且与椭圆 25 9 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为_y2 x21 法一：椭圆 y2 x21 的焦点为 (0， 4)，(0,4)，即 c 4.204259由椭圆的定义知，2a30 2 42 02 42，535解得 a2 5.由 c2 a2 b2 可得 b24，所求椭圆的标准方程为 y2 x21.204y2x2法二： 所求椭圆与椭圆25 9 1 的焦点相同，其焦点在 y 轴上，且 c2 25 9 16.y2x2设它的标准方程为a2b21(ab0)c216，且 c2a2b2，故 a2b2 16.又点 (3，5)在所求椭圆上，3 2 a2 b2 1，5253则a2b21.由得 b24，a2 20，y2x2所求椭圆的标准方程为 20 4 1.23设 F1，F2 分别是椭圆 E： x2by2 1(0 b 1)的左、右焦点，过点F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若 |AF1| 3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为 _2 3 2x 2y 1 不妨设点 A 在第一象限，如图所示AF2x 轴，A(c，b2)(其中 c2 2,0 b1，c0)1b又|AF|3|F B|，115cb2由AF1 3F1B得 B 3 ， 3 ，y225c2b4代入 x2b21 得 9 9b2 1.又 c2 1b2，b223.2 3 2故椭圆 E 的方程为 x 2y 1.(1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2ny21(m 0，2b2n0，m n)；(2)椭圆的通径 (过焦点且与长轴垂直的弦)长为 a .考点 3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析x2y2(1)已知椭圆 m210 m1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于 ()A 8B7C6D5x2y2(2)已知椭圆C：a2b21(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为 _2222x y 1(1) 因为椭圆xy的长轴在x轴上，所以(1)A (2) 98m 210m1m 2>0，10m>0，解得 6<m<10.因为焦距为 4，所以 c2m 2 10m4，解得 mm 2>10 m， 8.(2)椭圆长轴长为 6，即 2a6，得 a 3，两焦点恰好将长轴三等分，12c 3 2a2，得 c 1，因此， b2a2c2918，x2y2所以此椭圆的标准方程为9 8 1.求离心率的值 (或范围 )求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a，c 的值；二是由已知条件得出关于a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率x2y2(1)(2018 全国卷 )已知 F1，F2 是椭圆 C：a2b2 1(a b 0)的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为3的直线上， PF1F2 为等腰三角形，6F1 2 ，则的离心率为()F P120C21A 3B 211C3D43(2)椭圆 C 的两个焦点分别是 F1，F2，若 C 上的点 P 满足 |PF1|2|F1F2|，则椭圆 C的离心率 e 的取值范围是 _11(1) 由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设 |F1F2|2c，(1)D(2) 4，2PF1F2 为等腰三角形，且 F1F2P 120，|PF2|F1F2| 2c.|OF2|c，点 P 坐标为 (c2ccos 60 ，2csin 60 )，即点 P(2c，3c)点P 在过点 A，且斜率为3的直线上，3c 3，解得 c1，e1，故选 D.62c a6a44因为椭圆上的点13 12132c3c.由 ac|PF1 (2)CP 满足 |PF | 2|FF |，所以 |PF |2| ac，解得1 c1114a2. 所以椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是4，2 .本例 (2)在求解时运用了隐含条件“ac|PF1| a c”特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y 的范围，离心率的范围等不等关系1.(2019 昌平二模 )嫦娥四号月球探测器于2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为 100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里已知月球的直径为3 476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为()13A. 25B.4013C.8D.51B 如图， F 为月球的球心，月球半径为：23 4761 738，依题意， |AF|1001 7381 838，|BF| 4001 7382 138.2a 1 8382 138，即 a1 988，ac2 138, c2 138 1 988150，c1503故椭圆的离心率为： ea 1 98840，选 B.22已知12x2y2 1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使2F ， F是椭圆 ab得 PF1 PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是 ()5B2A.5， 12 ， 1C.， 5D.0， 2052B F1，F2 是椭圆 x22的左、右两个焦点， 1(c,0)，F2(c,0)，2y21(a>b>0)ab0<e<1F22212222ca b.设点 P(x， y)，由 PFPF ，得 (xc，y) (x c， y)0，化简得 x yc .x2y2 c2 ，联立方程组x2y21，a2b2222a22整理得， x (2c a )20，解得 e2.c2又 0<e<1， 2 e<1.与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围(1)(2017 全国卷 )设 A， B 是椭圆 C：x2y23 1 长轴的两个端点，若 Cm上存在点 M 满足 AMB120，则 m 的取值范围是 ()A (0,1 9， )B(0，39， )C(0,1 4， )D(0，34， )22(2)(2019 烟台模拟 )若点 O 和点 F 分别为椭圆 x y 1 的中心和左焦点，若P 为43 的最大值为 ()椭圆上的任意一点，则 OPFPA 2B3C6D8(1)A(2)C(1) 由题意知，当 M 在短轴顶点时， AMB 最大如图 1，当焦点在 x 轴，即 m3 时， ，tan3 tan 60 3，0m1.a3 bmm图 1图 2如图 2，当焦点在 y 轴，即 m3 时， ，tan mtan 60 3，a mb33m9.综上， m 的取值范围 (0,1 9， )，故选 A. (2)由题意知， O(0,0)，F(1,0)，设 P(x，y)，则 OP(x，y)，FP (x1，y)，OPFP222x2y2232x(x 1)y x yx.又4 3 1，y34x ， 1212FP x (x2) 2.OP4x34 有最大值 6.2x2，当 x 2 时， OPFP本例 (1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x(y)的有界性解模的思路教师备选例题 深圳模拟设椭圆222，x2 y21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，1 (2019)C： abFP是 C 上的点， PF2 1 2，1230，则C的离心率为()F FPF F31A. 6B.313C.2D. 3D 法一： (直接法 )如图，在 RtPF2F1 中，PF1F2 30， |F1F2 |2c，|PF1|2c43ccos 303，|PF22 3c|2c tan 30 3 .|PF12 ，|PF |2a43c23c即33 2a，可得3ca.c 3 ea 3 .法二： (特殊值法 )在 RtPF2F1 中 ，令 |PF2 |1，PF1F2 30，|PF1|2，|F1F2 | 3.2c|F1F2|3e2a3.故选 D.|PF1 |PF2|如图，焦点在221，F，A 分别是椭圆的一个焦x轴上的椭圆 x y21 的离心率 e2.4b2点和顶点， P 是椭圆上任意一点，则 的最大值为 _PFPAc1222x2y24 由题意知 a2，因为 e a 2，所以 c1，b a c 3.故椭圆方程为 4 3 1.设 P 点坐标为 (x0，y0)所以 2 x02，3y03.因为 F( 1,0)，A(2,0)，PF( 1 x ， y )，PA(2x ， y )，0000 22 1212)2.所以 PFPA x0x02y0 x0x0 1 (x044 0 2 时， PFPA取得最大值4.则当 x已知椭圆 x22的左、右焦点分别为1 ，2，若以2 y21(a>b>c>0， a2 b2c2F3ab)FF