福建省福州市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题理新人教A版.docx

福建师大附中20122013 学年度上学期期末考试高二数学理试题本试卷共4 页满分 150 分，考试时间120 分钟注意事项：试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分， 将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷 .第 I 卷 共 60 分一、选择题：本大题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 .1 命题“x0 R ，x02x020 ”的否定是A x0R ， x0 2x020B x R ， x2x 2 0C x R ， x2x 20D x R ， x2x 2 02 下列有关命题的说法正确的是A命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x 1”B命题“若 x y ，则 x2y2 ”的逆否命题是假命题C命题“若 a2b20 ，则 a,b 全不为 0”为真命题D命题“若”，则 coscos”的逆命题为真命题3 抛物线 yax2的焦点坐标为A (1 ,0)B ( a ,0)C (0,1 )D (0, a )4a44a44 已 知 正 方 体 A B C D 1A1 B1 C中 D， 点 E 为 上 底 面 A1C1 的 中 心 ， 若AEAA1xAByAD ，则 x, y 的值是A x1 , y1B x 1, y1C x1 , y 1D x 1, y 12222DE与 AC夹角的余弦值5 如图，在正方体A B C D- ABCD中， E 是 CD 的中点，则异面直线111111为A10B1C.1D101020.2010第 5 题图16 过点 P(2,2) ，且与 x2y21有相同渐近线的双曲线方程是2A x 2y 21 B y 2x 21 C x 2y21D y 2x21422424427 “方程x2y2+=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是m - 1 3- mA 1 m3B 1 m 2C 2 m 3D 1 m 328已知 ABP 的顶点 A 、B 分别为双曲线 C : x2y21 的左右焦点， 顶点 P 在双曲线 C169上，sin Asin B则的值等于sin PA 7B7C 5D 44459已知抛物线 y 24x 上的焦点 F ，点 P 在抛物线上， 点 A 2,1，则要使 | PF | PA |的值最小的点 P 的坐标为A1 ,1B 1 ,1C 2, 2 2D 2,2 24410 如图，已知正方形 ABCD 的边长为4 ， E、 F 分别是 AB、 AD 的G中点， GC 平面 ABCD ，且 GC2 ，则点 B 到平面 EFG 的距离为DCFA 10 2 11 3BCDA 1B10115Eyx2y2第 10 题图1(ab 0)的四个顶点 A, B, C , D 构成D11 如图，椭圆b2a2OxABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的四边形为菱形，若菱形AC的离心率是BA 3 5B 35C5 1282D5 1第 11 题图4212 双曲线 y1的实轴长和焦距分别为xA 2, 2B 2, 2 2C 2 2, 4D 2 2, 4 2第卷 共 90 分二、填空题：本大题有6 小题，每小题5 分，共 30 分，把答案填在答卷的相应位置.13 已知向量 a( 1,0,1)， b(1,2,3), k R ，且 (kab) 与 b 垂直，则 k 等于 * .14 设 F1 ， F2是椭圆x2y21 的两个焦点，点P 在椭圆上，且F1P PF2 0 ，则4 F1PF 2 的面积为 * .15已知抛物线 y28x ， F 为其焦点， P 为抛物线上的任意点，则线段PF 中点的轨迹方程是 * .16 有一抛物线形拱桥，中午12 点时，拱顶离水面 2 米，桥下的水面宽4 米；下午 2 点，水位下降了 1米，桥下的水面宽 *米 .17 如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点 C 处，已知测得从D、C 到库底与水坝的交线的距离分别为 DA102 米、 CB10 米， AB 的长为 10米， CD 的长为 106米，则库底与水坝所成的二面角的大小为 *度 .第 17 题图18 已知平面经过点A(1,1,1)，且 n(1,2,3) 是它的一个法向量 .类比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤，可求得平面的方程是 * .三、解答题：本大题有5 题，共60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19（本小题满分12 分）在 如 图 的 多 面 体 中 ， EF 平 面 AEB ， AE EB , AD / EF ， EF / BC ， BC 2 AD 4 ， EF 3， AE BE 2 ， G 是 BC 的中点( ) 求证：AB / 平面 DEG ；( ) 求二面角CDFE 的余弦值 .ADEF20（本小题满分10 分）BGC3已知抛物线 C : y24x 与直线 y2 x4 交于 A, B 两点 .( ) 求弦 AB 的长度；( ) 若点 P 在抛物线 C 上，且ABP 的面积为 12 ，求点 P 的坐标 .21 ( 本小题满分 12分 )已知双曲线 C 与椭圆 x 2y21有相同的焦点，实半轴长为3 .84( ) 求双曲线 C 的方程；( ) 若直线 l : ykx2 与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B , 且 OA OB 2( 其中 O 为原点 ), 求 k 的取值范围 .22 ( 本小题满分12 分 )如图，在平行四边形ABCD 中， AB1,BD2,ABD900 ，将它们沿对角线BD折起，折后的点C 变为 C1 ，且 AC12 ( ) 求证：平面ABD平面 BC1D ；( )E 为线段 AC1 上的一个动点，当线段EC1 的长为多少时 , DE 与平面 BC1D 所成的角为300 ？23（本小题满分14 分）如图，已知椭圆 C : x2y222 1(a b 0) ， A1 , A2 , B1 是椭圆 C 的顶点，若椭圆C 的ab4离心率 e3，且过点 ( 2,2 ) .22( ) 求椭圆 C 的方程；( ) 作直线 l ，使得 l / A2 B1 ，且与椭圆 C 相交于 P、 Q 两点（异于椭圆C 的顶点），设直线 A1 P 和直线 B1Q 的倾斜角分别是, ，求证：.参考答案一、选择题： 1 12： BDCADB ADABCC二、填空题：13 714115.y24x 416 26 17 13518. x2 y3z 6 0三、解答题：19解 : ( ) 证法一：AD / /EF , EF / / BC ， AD / / BC .又 BC2 AD , G 是 BC 的中点， AD / /BG ，四边形 ADGB 是平行四边形， AB / / DG . AB平面 DEG ， DG平面 DEG ， AB / / 平面 DEG .证法二： EF平面 AEB ， AE平面 AEB ， BE 平面 AEB ， EFAE ， EFBE ，又 AEEB , EB, EF , EA 两两垂直 .z以点 E 为坐标原点，ADEB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的空间直角坐标系 . 由已知得， A （ 0，0， 2）， B （ 2， 0， 0），C （ 2， 4， 0）， F （ 0， 3， 0）， D （ 0， 2， 2）， G （ 2， 2， 0）F yED(0, 2,2), EG(2, 2,0), AB(2,0,2) ,ExBGC5设平面 DEG 的法向量为n(x, y, z)则 EDn0 ，即2y2z0 ，令 y1,得 n(1,1, 1) .EG n02x2y0 AB n220 ，即 ABn . AB平面 DEG , AB / / 平面 DEG .( ) 由已知得 EB(2,0,0)是平面 EFDA 的法向量 .设平面 DCF 的法向量为 n0(x0 , y0 , z0) ， FD (0,1,2), FC(2,1,0) ，FD n00y02z001, 得 n0( 1,2,1).FC n0，即2x0y0，令 z000则 cosn0, EB26 ，二面角 CDFE 的余弦值为6 .266620解： ( ) 设 A（x, y) 、 B( x , y ),1122由y2x4得 x2-5x+4=0,>0.y24x法一：又由韦达定理有x1+x2=5, x1x2=4,|AB|=1 22 | x1x2 | = 1 22( x1x2 )24x1x25 25 16 3 5,法二：解方程得：x=1 或 4， A、 B 两点的坐标为（ 1,-2)、（ 4,4 ）| |=(41)2(42)235,AB( ) 设点 P( yo2, yo ) , 设点 P 到 AB 的距离为 d, 则4yo2yo4yo2421 3 5 2yod PAB=12，5, S=52y2yo48 .y 2yo48 ，解得 yo6 或 yo4oo22P 点为（ 9， 6）或（ 4， -4 ）.621解： ( ) 设双曲线的方程为x2y21(a0, b0) ,a3, c2 , b 1,a2b 2故双曲线方程为x2y21.3( ) 将 y kx2 代入 x2y21得 (1 32 )x26 29 03kkx由 1 3k20 得 k 21 , 且 k 2103设(1,1 ),B(x2 ,y2 ), 则由 OA OB2得A xyx1x2y1 y2x1 x2(kx12 )(kx22) = (k 21) x1 x22k (x1x2 ) 2(k 21)92k 6 2k2 2 , 得 1k 23.13k 213k 23又 k21，1k 21,即 k(1,3 )(3 ,1)33322 ( )AC12AC12AB2BC12ABBC1又 ABBD ， BC1, BD平面 BC1 D , BC1BDBAB平面 BC1 DAB平面 ABD平面 ABD平面 BC1D（）在平面 BC1D 过点 B 作直线 lBD , 分别直线 l , BD , BA 为 x，y， z 建立空间直角坐标系 B-xyzzy则 A(0,0,1)， C1(1,2 ,0) ， D(0,2 ,0)x7 AC1(1,2, 1), AD(0,2, 1), BA(0,0,1)设 AEAC1( , 2 ,) ，则 E( , 2 ,1 ), 0,1 DE( , 22,1)又 BA(0,0,1)是平面 BCD 的一个法向量1依题意得 sin 30o | cosBA, DE| ，即 |1|123(1)22解得1，即 | C1E |1 时， DE 与平面 BC1D 所成的角为 300 223.解：c3a2x2211a 2, b1，y21（）由已知得：2b2椭圆 C的方程为a24c2a2b2（）由（）知：A1(2,0) ， A2 (2,0)， B1 (0,1)l / A2 B1klkA2B112故可设直线 l 的方程为 y1 xm ，设 P(x1, y1 ) ， Q ( x2 , y2 )2x221y由422mx2m220得 x1y x m24m24(2m22) 0 ，即2m2 , x1 x2 2m, x1x2 2m22P,Q 异于椭圆 C的顶点，,228tankA1Py1， tankB1Qy2 1x12x2tantany1y2 1 x2 y1 (x12)( y2 1)x2 y1x1 y22y2 x1 2x12x2( x12) x2(x12) x2y11 x1m ， y21 x2m22x2 ( 1 x1m) x1( 1 x2m) 2( 1 x2m) x12tantan222( x12) x2(m1)(x1x2 )x1x22m22m(m1) (2m22) 2m20(x12) x2(x1 2)x2tan()tantan01tantan又,(0,) ，(0,2) , 故.9