(完整版)2018高考全国3卷理科数学带答案.docx

2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。B1已知集合 = | -10 ， = 0，1，2 ，则 AI B =x xA A 0B 1 C 1，2D 0，1，2( )( )2 1+ i 2 - i =A -3- iB -3+ iC3 - iD3 + i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是14若sin = ，则cos2a =a38797989ABC -D-9255 x +的展开式中 x4的系数为B202x A10C40D80( )D上，则 ABP 面积的6直线x + y + 2 = 0 分别与 轴， y 轴交于 A，B 两点，点P 在圆- 2 + y = 2xx22取值范围是 A 2，6 B 4，8C 2 ，3 2D 2 2 ，3 27函数 = - + + 2 的图像大致为yx4x21 / 10 8某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的X( ) ( )10 位成员中使用移动支付的人数，DX = 2.4 ，= 4 <= 6 ，则 p =P XP XA07B06C04D03+ b - ca2 2 29ABC的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 D的面积为，则 =CA B CabcABC4ABCD234610设 ， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，DA B C D为等边三角形且其面积为9 3 ，则ABC三棱锥 -D ABC体积的最大值为A12 3B18 3C 24 3D54 3x2y211设 ， 是双曲线 C： -F F=1（ > 0， > 0 ）的左，右焦点， 是坐标原点过 作 的一abOF2C12a2 b2条渐近线的垂线，垂足为 若P，则 的离心率为CPF1= 6OPA 512设B2C 3D 2a =log 0.3 ，b =log 0.3，则0.22A + < < 0a b abB < + < 0ab a bC + < 0 <a bD < 0 < +ab a bab二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。( )( )( )()13已知向量 = 1,2 ， = 2,-2 ， = 1,若 2，则 = _abcca + bl( )( )14曲线 y = ax +1 e 在点 0，1 处的切线的斜率为-2 ，则_a =x ( )f x15函数= cos 3 +在 0， 的零点个数为_x6( )16已知点-1，1 和抛物线 C：y2 = 4x ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点若C k C A BMAMB = 90 ，则 k = _三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）2 / 10 等比数列中， =1， = 4 a a aan153 a（1）求的通项公式；n （2）记 为的前 项和若nS m= 63 ，求 mSann18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超mm过 的工人数填入下面的列联表：m超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？( )(- bc)22P Kk 0.050 0.010 0.001n ad附：=，K2( )( )( )( )a + b c + d a + c b + dk3.841 6.635 10.82819（12 分）如图，边长为 2 的正方形所在平面与半圆弧所在平面ABCDCD上异于 ， 的点CD C D（1）证明：平面 AMD平面；BMC（2）当三棱锥 -M ABC体积最大时，求面MAB 与面所成MCD二面角的正弦值20（12 分）x2y2( )( )m m1， > 0 已知斜率为 的直线 与椭圆C： +=1交于 A ，B 两点线段 AB 的中点为klM433 / 10 1（1）证明： < - ；k2uuur uuur uuurFP FA FB+ +uuurFAuuurFPuuur成等差FB（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且= 0 证明：，FCPC数列，并求该数列的公差21（12 分）()( )( )已知函数 f x = 2 + x + ax2 ln 1+ x - 2x ( )f x( )f x> 0 ；（1）若 = 0 ，证明：当-1< < 0时，< 0 ；当 > 0 时，axx( )f x（2）若 = 0 是的极大值点，求 ax（二）选考题：共10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）( )x =cosq，在平面直角坐标系中， 的参数方程为（q 为参数），过点 0，- 2 且倾斜角为xOyOy = sinqa 的直线 与 交于 ， 两点A BlOP（1）画出 =y f x)( ) + ，求 + 的最小值ax b（2）当 0，+ ，xf xa b绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题12345678910B11C12BCDABCADBC二、填空题1-3313 14 15 16224 / 10 17解：（1）设a 的公比为 ，由题设得aq= qn-1nn= 4q2 ，解得 q = 0（舍去）， q= -2= 2或 q 由已知得q4= (-2)a = 2故 a或n-1n-1nn1- (-2)n= (-2)= 63 (-2) = -188由 S（2）若a，则 S得m，此方程没有正整数解n-13nnm若 a，则得 m，解得m= 6= 2S = 2 -1= 63 2 = 64由 Sn-1nnnm综上， m18解：= 6（1）第二种生产方式的效率更高理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少 80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为855 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为735 分钟因此第二种生产方式的效率更高（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分79 +81= 80（2）由茎叶图知m2列联表如下：超过m不超过m5 / 10 第一种生产方式第二种生产方式15551540(1515-55)2K =10 > 6.635 所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有，（3）由 于220202020差异19解：（1）由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD因为 BCCD，BC 平面 ABCD，所以BC平面 CMD，故 BCDM因为 M 为CD 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM又 BCI CM=C，所以 DM平面 BMC而 DM 平面 AMD，故平面 AMD平面 BMCuuur（2）以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为CD 的中点由题设得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M(0,1,1)，uuuuruuuruuurAM = (-2,1,1),AB = (0, 2,0), DA = (2,0,0)= (x, y, z)设 n是平面 MAB 的法向量，则uuuur AM =0,- x + y + z = 0,2nuuur AB = 0.即 2y = 0.n= (1,0,2)可取 nuuurDA 是平面MCD的法向量，因此uuuruuurcos n, DA =n DA5uuur =| n | DA| 5，6 / 10 uuursin n, DA =2 55，2 55所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是20解：xyxy2222(x , y ), B(x , y )+=1, +=1（1）设 A，则得112243431122y - y= k两式相减，并由12x - x12x + x y + y+k = 0121243x + xy + y=1,= m2由题设知，于是121223k = -4m312由题设得0 < m <，故 k< -2（2）由题意得 F(1,0)( , )，设 P x y ，则33(x -1,y ) + (x -1, y ) + (x -1, y ) = (0,0)331122= 3- (x + x ) =1, y = -(y + y ) = -2m < 0由（1）及题设得 x312312uuurP(1,- ) | FP |=34332=又点 P 在 C 上，所以m，从而，2于是uuurxx214| FA|= (x -1) + y = (x -1) + 3(1- ) = 2 -22121 211uuur| FB |= 2 -x同理所以22uuuruuur1| FA| + | FB |= 4 - (x + x ) = 32127 / 10 uuur uuuruuuruuur uuur uuur| FA |,| FP |,| FB |2 | FP |=| FA | + | FB |故，即成等差数列设该数列的公差为 d，则uuuruuur112 | d |=| FB | - | FA|= | x - x |=(x + x ) - 4x x22212121 234=代入得k= -1将 m71y = -x +7x -14x + = 0所以 l 的方程为，代入 C 的方程，并整理得24413 21+ x = 2,x x =，代入解得| d |=故 x2828121 23 21283 2128-所以该数列的公差为或21解：（1）当ax= 0f (x) = (2 + x)ln(1+ x) - 2x f (x) = ln(1+ x) -，时，1+ xxx设函数 g(x) = f (x) = ln(1+ x) -，则g(x) =1+ x(1+ x)2-1< x < 0时， g(x) < 0；当x > 0时，g(x) > 0故当x > -1g(x) g(0) = 0时， ，且仅当= 0g(x) = 0f (x) 0x = 0f (x) = 0时， 当 x时，从而，且仅当(x) (-1,+)在所以 f单调递增(0) = 0，故当-1< x < 0时， f (x) < 0；当 x > 0f (x) > 0时， 又 f 0x > 0f (x) (2 + x)ln(1+ x) - 2x > 0 = f (0)x = 0，这 与（2）（i）若 a，由（1）知 ，当时，(x)是 f的极大值点矛盾f (x)2x2 + x + ax2< 0h(x) = ln(1+ x) -（ii）若 a，设函数2 + x + ax21由于当| x |< min1,时，2 + x + ax2 > 0h(x) f (x)，故 与 符号相同| a|又 h(0) = f (0) = 0，故x = 0 f (x)是x = 0 h(x)的极大值点当且仅当 是 的极大值点8 / 10 12(2 + x + ax ) - 2x(1+ 2ax) x (a x + 4ax + 6a +1)2222( ) =h x-=1+ x(2 + x + ax )(x +1)(ax + x + 2)22 226a +14a1如果6a +1> 0，则当0 < x < -，且| x |< min1,时，h(x) > 0，故x = 0h(x)不是a| |的极大值点1如果6a +1< 0a x + 4ax + 6a +1= 0x < 0x(x ,0) ，且| x |< min1,，则22存在根，故当11a| |( ) < 0时， h x= 0 ( )不是h x 的极大值点，所以 xx3(x - 24)(x +1)(x - 6x -12)2如果6a +1= 0( ) =，则 h x则当x(-1,0)时 ，h(x) > 0 x(0,1)时，；当2( ) < 0h x= 0( )是h x 的极大值点，从而 x= 0 ( )是 f x 的极大值点所以 x1= -综上， a22解：（1）e O6+ =1y的直角坐标方程为 x22paa=e当当时，l与 O 交于两点2p2tana =k ，则l 的方程为 y交于两点当且仅当|<1，eO= kx -2l 与时 ，记21+ k2p p( , )4 2p 3p< -1 k >1或( , )解得k，即a或a2 4p 3pa综上， 的取值范围是( , )4 4cosa,x = tp3p(ta)< <（2）l的参数方程为为参数，2 + t sina44= -yt + t=t t t设 A ，B ，P 对应的参数分别为 ， ， ，则tt t，且 ， 满足B2 - 2 2 sin +1= 0attA2ABPPABcosa,x = t+t = 2 2 sina ，t = 2 sinaP( , )于是t又点 P 的坐标 x y 满足P= - 2 + t sina.yABP2x =sin 2a,2p3p(a<a <)所以点 P 的轨迹的参数方程是为参数，4422y = -cos 2a229 / 10 23解：（1）1-3x, x < - ,21f (x) = x + 2,- x <1, y = f (x)的图像如图所示23x, x 1.= f (x)y2的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为（2）由（1）知， y且3，故当且仅当a 3 b 2( ) +时， f x ax b 在0,+) 成立，因此a +b5的最小值为 10 / 10