高等代数考研习题精选.docx

高等代数 试题库一、 选择题1在F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。A零多项式B零次多项式C本原多项式D不可约多项式2设g ( x) =x +1是 f ( x) =x 6 -k 2 x 4 +4 kx 2 +x -4的一个因式，则 k =（）。A 1 B 2 C 3 D 43以下命题不正确的是（）。A .若 f ( x) | g ( x), 则 f ( x ) | g ( x) ； B .集合 F =a +bi | a, b Q是数域；C .若 ( f ( x ), f ( x ) =1,则f ( x)没有重因式；D设p ( x)是f ( x )的k -1重因式，则p ( x)是f ( x )的k重因式4整系数多项式f ( x) 在 Z 不可约是f ( x ) 在 Q 上不可约的()条件。A .充分 B .充分必要 C .必要 D 既不充分也不必要 5下列对于多项式的结论不正确的是（）。A .如果 f ( x ) g ( x), g ( x) f ( x )，那么f ( x) =g ( x)B.如果f ( x ) g ( x), f ( x ) h( x )，那么f ( x) ( g ( x) h( x )C .如果 f ( x ) g ( x)，那么"h ( x) F x，有f ( x ) g ( x) h( x )D .如果 f ( x) g ( x ), g ( x) h( x )，那么f ( x ) h( x)6对于“命题甲：将n(>1)级行列式 D 的主对角线上元素反号,则行列式变为 -D ；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。A.甲成立,乙不成立；B.甲不成立,乙成立；C.甲,乙均成立；D甲,乙均不成立7下面论述中,错误的是()。A.奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；A A . AC任一数域包含Q；D在P x中,f ( x) g ( x) = f ( x) h ( x) g ( x) =h ( x )8设D = aij，Aij为aijA A . A11 21 n1的代数余子式,则 12 22 n 2 =()。. . . .A1nA2 n. AnnA.DB.-D C.D /D( -1)nD4109.行列式3 -2a中，元素a的代数余子式是（）。65-7A4 06 -7B4 16 5C -4 06 -7D -4 16 510以下乘积中（）是5阶行列式D = aij中取负号的项。A . a a a a a ； B . a a a a a ； C a a a a a ； D . a a a a a31 45 12 24 53 45 54 42 12 33 23 51 32 45 14 13 32 24 45 5411.以下乘积中（）是 4 阶行列式D = aij中取负号的项。A . a a a a ； B . a a a a ； C a a a a ； D . a a a a11 23 33 44 14 23 31 42 12 23 31 44 23 41 32 1112.设A, B均为n阶矩阵，则正确的为（）。A . det( A +B ) =det A +det B B . AB =BACdet( AB ) =det( BA) D.( A -B )2=A2-2 AB +B213.设 A 为 3 阶方阵， 的是（）A , A , A 1 2 3为按列划分的三个子块，则下列行列式中与 A 等值A . A -A1 2A -A2 3A -A B . A3 1 1A +A1 2A +A +A 1 2 3C A +A1 2A -A1 2A D . 2 A -A3 3 1A1A +A1 314.设A为四阶行列式，且A =-2，则A A =（）A . 4 B . 25 C -2 5 D . 815.设 A 为 n 阶方阵， k 为非零常数，则det(kA) =（）A.k (det A) B.k det A Ckndet A D.kndet A16.设 A ， B 为数域 F 上的 n 阶方阵，下列等式成立的是（）。n2n222 2 2A.det( A +B ) =det( A) +det( B )；B.det( kA) =k det( A)；C det( kA) =kn -1det( A) ； D . det( AB ) =det( A)det( B )17.设 A *为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵且 A 可逆，则结论正确的是（）A.( A*)*=| A |n -1A B.( A*)*=| A |n +1AC( A*)*=| A |n -2AD.( A*)*=| A |n +2A18.如果 AA-1 =A-1A =I，那么矩阵 A 的行列式 A 应该有（）。A.A =0；B.A 0；CA =k , k >1；D.A =k , k <-119.设 A , B 为 n 级方阵, m N ,则“命题甲：-A =-A；命题乙：( AB )m=AmBm”中正确的是()。A.甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立；C 甲,乙均成立； D .甲,乙均不成立20.设 A* 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵，则A*A =（）。A . A B.A CAn -nD . An -n+121.若矩阵 A ， B 满足 AB =O ，则（）。A.A =O或B =O；B.A O且B O；CA =O且B =O；D.以上结论都不正确22.如果矩阵 A 的秩等于 r ，则（）。A.至多有一个 r 阶子式不为零； B .所有 r 阶子式都不为零； C 所有 r +1 阶子式全为零，而至少有一个 r 阶子式不为零； D .所有低于 r 阶子式都不为零 23.设 n 阶矩阵 A 可逆 ( n 2) ， A* 是矩阵 A 的伴随矩阵，则结论正确的是（）。A.(A*)*= An -1A；B.(A*)*= An +1A；C(A*)*= An -2A；D.(A*)*= An +2A24.设A *为n阶方阵A的伴随矩阵，则| A*| A |=（）A.| A |nB . | A |n C | A |n -n D . | A |n -n+125.任 n 级矩阵 A 与?A ,下述判断成立的是()。A . A = -A ； B . AX =O 与 ( -A) X =O同解；C.若A可逆,则( -A)-1=( -1)nA-1；DA反对称,-A反对称26.如果矩阵rankA =r,则（）A.至多有一个 r 阶子式不为零； B .所有 r 阶子式都不为零 C 所有 r +1 阶子式全为零，而至少有一个 r 阶子式不为零； D 所有低于 r 阶子式都不为零27.设A为方阵，满足AA-1=A-1A =I，则A的行列式| A |应该有（）。A . | A |=0 B . | A |0 C | A |=k , k >1 D . | A |=k , k <-128.A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA =()。A . k A ； B . k A ； C k nA D . | k |nA29.设A、B为n阶方阵，则有（）.A . A ， B 可逆，则 A +B 可逆 B . A ， B 不可逆，则 A +B 不可逆C A 可逆， B 不可逆，则 A +B 不可逆 D . A 可逆， B 不可逆，则 AB 不可逆30.设A为数域F上的n阶方阵，满足A2-2 A =0，则下列矩阵哪个可逆（）。A . A B . A -I C A +I D A -2 I 31. A, B 为 n 阶方阵， A O ，且 R ( AB ) =0，则（）。A.B =O；B.R ( B ) =0；CBA =O；D.R ( A) +R ( B ) n32. A ， B ， C 是同阶方阵，且 ABC =I ，则必有（）。 A . ACB =I ； B . BAC =I ； C CAB =I D CBA =I33.设A为 3 阶方阵，且R ( A) =1，则（）。A . R ( A*) =3 ； B . R ( A*) =2 ； C R ( A*) =1 ； D . R ( A*) =034.设 A, B 为 n 阶方阵， A O ，且 AB =O ，则（）.A . B =O B . B =0 或 A =0 C BA =O D . (A-B )2=A2+B200 4 035.设矩阵A =01000 0 00 0 00 0 02 0 0，则秩A=（）。A 1 B 2 C 3 D 436.设A是m n矩阵，若（），则AX =O有非零解。A . m <n ； B . R ( A) =n ； C m >n D . R ( A) =m 37. A ， B 是 n 阶方阵，则下列结论成立得是（）。A . AB O A O 且 B O ； B . A =0 A =O；C AB =0 A =O 或 B =O ； D . A =I | A |=138.设 A 为 n 阶方阵，且R (A)=rn，则 A 中（）.A .必有 r 个行向量线性无关 B .任意 r 个行向量线性无关 C 任意 r 个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39.设 A 为 3 4 矩阵， B 为 2 3 矩阵， C 为 4 3 矩阵，则下列乘法运算不能进行的 是（）。A.BCTATB.ACBTCBAC D.ABC40.设 A 是 n 阶方阵，那么 AA是（）A.对称矩阵； B .反对称矩阵； C 可逆矩阵； D .对角矩阵41.若由AB =AC必能推出B =C（A, B, C均为n阶方阵），则A满足()。A . A 0 B . A =O C A O D . AB 042.设 A 为任意阶 ( n 3)可逆矩阵， k 为任意常数，且 k 0 ，则必有 ( kA) -1 =（）A . k n A -1 B . k n -1A -1 C kA -1 D.1kA-143.A，B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，则（）A.A相似于B；B.A =B；CA合同于B；D.A = B44.设1A = ( B +I ) 2，则A2=A的充要条件是（）A.B =I；（B）B =-I；CB2=I D.B2=-I45.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 -A -2 I =0，则下列矩阵哪个可能不可逆（）A . A +2 I B . A -I C A +I D . A()ij0 1 2 -1 10 0 0 1 546.设 n 阶方阵 A 满足 A 2 -2 A =0，则下列矩阵哪个一定可逆（）A.A -2 I；B.A -I；CA +I D.A47.设 A 为 n 阶方阵，且R (A)=rn，则 A 中（）.A .必有 r 个列向量线性无关； B .任意 r 个列向量线性无关； C 任意 r 个行向量构成一个极大无关组；D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示48.设 A 是 m n 矩阵，若（），则 n 元线性方程组 AX =0 有非零解。 A . m <n B . A 的秩等于 n C m >n D . A 的秩等于 m49.设矩阵A = amn， AX =0 仅有零解的充分必要条件是().A.A的行向量组线性相关B.A的行向量组线性无关C A 的列向量组线性相关 D . A 的列向量组线性无关50.设 A , B 均为 P 上矩阵,则由()不能断言 A B ；A . R ( A) =R ( B ) ； B .存在可逆阵 P 与 Q 使 A =PBQC A 与 B 均为 n 级可逆； D . A 可经初等变换变成B51.对于非齐次线性方程组 AX =B 其中 A =( a ) , B =(b ) , X =( x )ij nn i n1 j正确的是（）。n1，则以下结论不ACD.若方程组无解，则系数行列式 A =0 ； B .若方程组有解，则系数行列式 A 0 。 若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；.系数行列式 A 0 是方程组有惟一解的充分必要条件1 0 7 2 1 52.设线性方程组的增广矩阵是 0 -2 -4 2 -2 （）.，则这个方程组解的情况是A.有唯一解 B .无解 C 有四个解 D .有无穷多个解53.A, B为n阶方阵,A O，且AB =0，则（）。x +x +x =1A . A 0 ； B . R ( B ) <n ； C 齐次线性方程组( BA) X =O 有非 0 解； D . A 054.当 l=（）时，方程组 1 2 32 x +2 x +2 x =l 1 2 3，有无穷多解。A 1 B 2 C 3 D 455.设线性方程组bx -ax =-2ab 1 2-2cx +3bx =bc 2 3cx +ax =0 1 3，则（）A .当 a, b, c取任意实数时，方程组均有解。 B .当 a =0 时，方程组无解。C 当 b =0 时，方程组无解。 D .当 c =0 时，方程组无解。56.设原方程组为 AX =b ，且 R (A)=R(A,b)=r，则和原方程组同解的方程组为()。A . AT X =b ； B . QAX =b （ Q 为初等矩阵）； C PAX =Pb （ P 为可逆矩阵）；D.原方程组前 r 个方程组成的方程组57.设线性方程组AX =b及相应的齐次线性方程组AX =0，则下列命题成立的是（）。A . AX =0 只有零解时， AX =b 有唯一解； B . AX =0 有非零解时， AX =b 有无穷多 个解； C AX =b 有唯一解时， AX =0 只有零解； D . AX =b 解时， AX =0 也无解58.设n元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A的秩为r，则AX =0有非零解的充分必要条件是（）。A . r =n B . r <n C r n D . r >n59. n 维向量组 a ,1a ,2L ,as(3 s n )线性无关的充分必要条件是（）A.存在一组不全为零的数k , k ,1 2L , k ，使 k a +k a +Lk a s 1 1 2 2 s s0B.a ,1a , L ,2a 中任意两个向量组都线性无关 sC a , a ,1 2L ,a 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 sD . a ,1a ,2L ,a 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 s60.若向量组中含有零向量，则此向量组（）A.线性相关； B .线性无关； C 线性相关或线性无关； D .不一定61设 a为任意非零向量，则 a（）。A.线性相关； B .线性无关； C 线性相关或线性无关； D 不一定62.n维向量组 a ,1a ,.2as线性无关， b为一n维向量，则（）.A . a ,1a ,. ,2a ， b线性相关； B . b一定能被 a ,s 1a ,. ,2as线性表出；C b一定不能被 a , a ,. , a1 2s线性表出；D.当s =n时， b一定能被 a ,1a ,. ,2as线性表出63.（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组a，a ，L，a 1 2 r线性无关，ar +1可由 a , a La 1 2,r线性表出，则向量组a，a ，L，a 1 2 r +1也线性无关；（3）设 a，a ，L，a1 2 r线性无关，则 a，a ，L，a 1 2 r -1也线性无关；（4）a，a ，L，a 1 2 r线性相关，则 ar一定可由 a ,1a ，La2r -1线性表出；以上说法正确的有（）个。A .1 个 B .2 个 C 3 个 D .4 个64（1） n 维向量空间 V 的任意 n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基；（2）设 a ,1a ，La2n是向量空间 V 中的 n 个向量，且 V 中的每个向量都可由之线性表示，则 a , a ，La是V 的一个基；（3）设 a , a ，La1 2 n 1 2 n是向量空间 V 的一个基，如果b， b，Lb 1 2 n与a ,1a ，La 2 n等价，则b， b，Lb 1 2 n也是V的一个基；（4）n维向量空间 V 的任意 n +1 个向量线性相关；以上说法中正确的有（）个。A.1 个B.2 个C3 个D.4 个65设向量组 a ,a , a1 23线性无关。 a , a , a1 24线性相关，则（）。A.a 必可由 a , 1 2a ,3a4线性表示；B.a 必可由 a , 4 1a ,2a3线性表示；C a 必可由 a ,4 1a ,2a3线性表示； D . a 必不可由 a ,4 1a ,2a3线性表示66.设向量组（ a , a , La1 2r），（ a , a , La , a ,1 2 r r +1L ,as）则必须有（）。.； .； ； . .22 22 2A .无关 无关； B .无关 无关； C .无关 相关； D .相关 相关67向量组 A : a , a , ,1 2a 与 B : b, b , , n 1 2bm等价的充要条件为（）.A . R ( A) =R ( B ) ； B . R ( A) =n 且 R( B ) =m ； C R ( A) =R ( B ) =R ( A , B ) ； D . m =n68向量组 a ,1a , ,2ar线性无关?()。AC.不含零向量； B .存在向量不能由其余向量线性表出； 每个向量均不能由其余向量表出； D 与单位向量等价69.已知5(1, 0, -1) -3a-(1, 0, 2 ) =( 2, -3, -1)则?2 2 2 2 A ( ,1, -2) B ( - ,1, -2) C (1, , -2) D (1,1, - )3 3 3 370.设向量组 a ,1a ,2a3线性无关。 a ,1a ,2a4线性相关，则（）。A . a 必可由 a ,1 2a ,3a4线性表示； B . a 必可由 a ,4 1a ,2a3线性表示；C a 必可由 a ,4 1a ,2a3线性表示； D .a 必不可由 a ,4 1a ,2a3线性表示71下列集合中，是R3的子空间的为（），其中 a =( x , x , x )1 2 3A ax 0B. ax +2 x +3 x =0C ax =1D. ax +2 x +3 x =1 3 1 2 3 3 1 2 372下列集合有（）个是Rn的子空间；w =a =( x , x , L x ) | x R, x +x +L +x =0 1 1 2 n i 1 2 n；w =a =( x , x , L x ) | x R, x =x =L =x 2 1 2 n i 1 2 n；w =a =( a, b, a , b, L , a , b) | a, b R 3；w =a =( x , x , L x ) | x 为整数 4 1 2 n i；73设 a, b是相互正交的 n 维实向量，则下列各式中错误的是（）。A . a+b =a + b ； B . a+b=a-b；C a-b2=a + b ； D . a+b=a+ bA .1 个 B .2 个 C 3 个 D .4 个22 22 274. A 是 n 阶实方阵，则 A 是正交矩阵的充要条件是（）。A.AA-1=I；B.A =A/；CA-1=A/；D.A2=I75（1）线性变换 s的特征向量之和仍为 s的特征向量；（2）属于线性变换 s的同一特征值 l0的特征向量的任一线性组合仍是 s的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；（4）( l I -A) X =00（）个。的非零解向量都是 A 的属于 l 的特征向量；以上说法正确的有0A .1 个 B .2 个 C 3 个 D .4 个75.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）。A.充要条件； B .充分而非必要条件；C 必要而非充分条件；D .既非充分也非必要条件76.对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（）。A .一定有 n 个不同的特征根； B . $正交矩阵 P ，使 P AP成对角形；C 它的特 征根一定是整数； D .属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交77.设 a ,1a ,2a 与 b ,3 1b ,2b3都是三维向量空间 V 的基，且b =a , b =a +a , b =a +a +a 1 1 2 1 2 3 1 2 3，则矩阵1P =10100111是由基 a , a , a1 2 3到（）的过渡矩阵。A.b ,2b , b B1 3.b ,1b b2,3C b ,2b , b D3 1.b ,3b ,2b178.设 a， b是相互正交的 n 维实向量，则下列各式中错误的是（）。A . a+b =a + b B . a+b=a-bC a-b2 =a + b D . a+b=a+ b二、填空题1最小的数环是，最小的数域是。2一非空数集P,包含 0 和 1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为。3设 f 是实数域上的映射，f : x kx ( "x R )，若f (4) =12 ，则 f ( -5)=。4设f ( x), g ( x ) F x ，若 (f( x ) =0, (g(x ) =m ，则 (f( x) g( x )=。5.求用x -2除f ( x ) =x4+2 x3-x +5的商式为，余式为。6设 a 0 ，用 g ( x ) =ax -b 除 f ( x )所得的余式是函数值。7设 a, b 是两个不相等的常数，则多项式f ( x )除以( x -a )( x -b)所得的余式为_8把f ( x) =x4-5表成x -1的多项式是。9把f ( x ) =2 x3-x2+3 x -5 表成 x -1 的多项式是。10设f ( x ) Q x 使得 0( f ( x ) 2 ，且 f (1) =1 ， f ( -1) =3 ， f ( 2 ) =3，则f ( x) =。11 设12 设f