人教版 初中数学 八年级上册 分式的性质及意义教案.docx

分式的性质及意义一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。l 掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。重点难点：l 重点：分式的意义及其基本性质。l 难点：分式的变号法则。学习策略：l 通过复习分数的概念，基本性质，通分和约分，总结出分式的相关知识。并在理解的相关知识的基础上，灵活应用分式的基本性质将分式变形或求值。二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个 的数，分数的值不变。（二）最简分数：分子、分母互为 的分数叫做最简分数。（三）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做 。（四）把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做 。（五）单项式与多项式统称为 。（六）把一个多项式分解因式的主要方法： , 等。知识要点预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。知识点一：分式的概念一般地，如果A、B表示两个 ，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做 ，B叫做 。要点诠释：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为 ，分母为 ，分数线起 和括号的作用。如可以表示(ab)(a+b)； （2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的 一定含有字母。（3）分式的分母表示 ，由于 不能为0，所以分式的 不能为0，即当 时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的 面目进行判断。例如：对于来说，我们不能因为是 ，就判断也是整式，事实上是_。知识点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件（一）分式有意义的条件是分式的 ；（二）分式无意义的条件是分式的 ；（三）分式的值为零的条件是分式的 。要点诠释：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为 都没有意义。（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有 的。（3）分式的值为0，是在分式有 的条件下，再满足 的值为零。（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式中隐含着 ，即这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。 知识点三：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。要点诠释：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件；如，变形时，必须满足 。（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须 。（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生 。如：，在变形后，字母x的取值范围变大了。知识点四：分式的变号法则一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变。要点诠释：（1）改变符号时应该是分子、分母 的符号，而不是分子、分母中某一项的符号；（2）一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个或 个，得到的分式成为原分式的相反数。知识点五：分式的约分与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的 ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。要点诠释：（1）约分的依据是 ；（2）约分的方法是：先把分子、分母 （分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式；（3）找公因式的方法：先 ，系数取最大 ，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的 次幂；（4）约分要彻底，使分子、分母没有 ，分子、分母没有公因式的分式叫做 。知识点六：分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的 ，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同 的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。要点诠释：（1）通分的依据是 ；（2）通分的关键是寻求几个分式的 ：最简公分母：几个分式进行通分时，通常取各分母所有因式的 次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母；寻求最简公分母应注意以下几点：a“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数 的； b如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的 作为最简公分母的系数；c如果分母是多项式，一般应先 。（3）通分的方法是：先求各分式的 ，然后以每个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘分式的分子、分母。知识点七：整式和分式（一）有理式的概念： 和 统称为有理式。（二）有理式的分类： （三）整式和分式的区别：分式的本质特征是 中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有 ，只能是不为零的具体数。经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。类型一：分式的定义例1代数式，中，属于分式的是 。思路点拨：要判断一个代数式是否是分式，关键点：（1）代数式中必须有 ；（2）分母中必须含有 。注意分式的概念是针对原式，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍然是 。解答本题的易错点有两个：一个是，分母里的 是一个确定的值，不要把它当做字母处理了；另一个是，虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式，但它是一个 ，因为它的 中含有字母。解析：总结升华： 举一反三【变式】下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？A；B；C；D.答案：类型二：分式有意义例2x取何值时，下列分式无意义？ABCD思路点拨：分式无意义的条件是： 为0，与分式分子的值无关。解析：总结升华：看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须有这个前提： 。例3若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是（ ）。ABCD思路点拨：解决此类问题要遵从一个原则，即不论分母是一个字母、一个单项式还是一个多项式，都要考虑 不为0这个条件，也就是说，使分式有意义的条件是分式的 不为0。解析：总结升华： 举一反三【变式1】当x取什么值时，下列分式有意义？ （1）；（2）。答案： 【变式2】当x取何值时，分式有意义？ 答案：【变式3】取何值时，分式有意义？答案：类型三：分式的值为零例4当x是什么数时，分式的值是零？思路点拨：讨论何时分式的值为零时须同时考虑以下两点：（1）字母取值使得 值为零；（2）字母取值使得 值不为零。解析：总结升华： 举一反三【变式】下列各分式，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？解： 类型四：分式基本性质的应用例5下列各式是怎样从左边变形到右边的？思路点拨：这里的变形都是恒等变形，必须符合分式的基本性质。首先比较等式两边分式的分子或分母发生了怎样的变化，然后根据 ，分式的分母或分子也应发生相同的变化。解析：总结升华： 举一反三：【变式1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1）；（2）。答案：【变式2】下列各式与相等的是（ ）ABCD解析：【变式3】填空：（1）；（2）.解析： 【变式4】把分式中的，同时扩大2倍，则分式的值（ ）A扩大2倍B改变C缩小2倍D不改变解析：类型五：分式的变号法则的应用例6不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。（1）（2）（3）思路点拨：（1）根据分式的意义，分数线代表_，又起_的作用。（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号_；当括号前添“”号，括号内各项都_。解析：总结升华： 举一反三：【变式】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“”号：（1）（2）（3）.答案：类型六：与约分有关计算例7约分（1）（2）思路点拨：（1）分式中的分子和分母都是 ，直接可以看出，分子、分母的系数有最大公约数 ，分子、分母中都含有因式 ，因此公因式是 ，分子、分母都除以 . （2）分式的分子、分母是 ，需先分别分解因式再确定分子和分母的 ，因为x32x2y ，x2y2xy2 ，所以分子和分母的公因式是 ，利用分式的基本性质，把分子，分母同时除以 ，即达到了约分的目的。解析：总结升华： 举一反三：【变式1】约分（1）（2）思路点拨：分式的约分，即要求把分子与分母的_约去，为此，首先要找出分子与分母的_。答案： 【变式2】化简（1） ;（2） （3） 答案： 类型七：与通分的有关计算例8通分：（1）， ；（2）， ；思路点拨：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式 的 的分式。解析：总结升华： 举一反三【变式1】分式的最简公分母是： 答案：【变式2】对下列各式通分：（1）（2）解：类型八：综合提高例9若实数、满足：，则的值为 思路点拨：本题可有 种解法解法1：根据分式的基本性质，把待求值式的分子和分母分别除以 ，再进行适当的变形，使之出现 ，把条件式整体代入即可得解；解法2：对条件式进行变形，可得 ， 代入待求值式即可解法1： 解法2：总结升华：_举一反三【变式1】已知，求的值解：【变式2】已知，求的值思路点拨：由已知条件式取倒数可得 ，把待求值式取倒数化成 的代数式，进而求值解：【变式3】（1）已知，求的值（2）若，求的值思路点拨：（1）中的两项恰有对称性，且互为倒数，由此联想到完全平方公式即 ，=从而求得；（2）求，只要求出的值，然后求 即可解： 三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法-强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。（一）关于分式强调两点：在中，第一，B中含有 ；第二，B不能为 。（二）分母的值是零，分式没有意义。（三）分子为零且分母不等于零时，分式的值等于 。（四）约分根据的是 ，对一个分式进行约分是对分式进行恒等变形的一个手段，约分前后的分式值是 的，约分的关键是确立分式的分子与分母的 。（五）约分要彻底， 使分子、分母没有 。（六）分式的通分也是对一个分式进行恒等变形的手段，通分前后的分式值是 的，通分的关键是确立几个分式的 ，一般地，取各分母系数的 与各字母因式的 的积作为公分母，这样的公分母叫做 。13