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第二章有理数2.1正数和负数（1）相反意义的量：向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出都具有相反的意义。在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义（2）以前学过的0以外的数前面加上负号“”的书叫做负数。以前学过的以外的数叫做正数。数既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。（3）有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。（注意：有限循环小数叫做分数。）把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。所有有理数组成的数集叫做有理数集。类似的，所有整数组成的数集叫做整数集。2.2数轴（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项：数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。（2）同一根数轴，单位长度不能改变。一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。（3）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大（4）比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。2.3相反数（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（2）数轴上表示相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。（3）我们还规定：零的相反数是零。（4）在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数。2.4绝对值（1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。（2）一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（3）不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（通常也称非负数）。即对任意有理数a，总有|a|02.5有理数的大小比较（1）正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数（2）两个负数，绝对值大的反而小2.6有理数的加法1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号（正负号），并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号（正负号），并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。(4)一个数与0相加，仍得这个数。2、加法运算律两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：abba三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法结合律：(ab)ca(bc)2.7有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。aba(b)2.8有理数的加减混合运算加减法统一成加法，可以适当应用加法运算律，是计算简化。2.9有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。（2）有理数乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 abba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）ca（bc）一般地，我们有：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 a（bc）abac2.10有理数的除法（1） 乘积为1的两个数互为倒数. 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 aba(b0)（2）有理数除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。2.11有理数的乘方（1）求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。（2）一个数可以看做这个数本事的一次方，通常1省略不写。（3）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。（4）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。2.12科学记数法（1）把一个大于10的数表示成a10n的形式（其中1a10，n是正整数），像这样的记数法叫做科学记数法。（2）用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n1。2.13有理数的混合运算有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行2.14近似数和有效数字（1）接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。（2）精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。（3）从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。（4）对于用科学记数法表示的数a10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。小结一、知识结构二、概括1数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，学习本章要善于结合数轴理解有理数的有关概念(如相反、绝对值)，会利用数轴比较两个有理数的大小.2在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，还要善于灵活运用运算律简化运算.3在实际运算中经常会遇到近似数，要注意按要求的精确度进行计算和保留结果.对较大的数用科学记数法表示既方便，又容易体现对有效数字的要求第三章 整式的加减3.1列代数式1用字母表示数2代数式（1）由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫代数式。【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。代数式中不可含有“>”、“<”、“=”、“”、“”、“”等表示相等或不等关系的符号。（2）代数式书写要求1)代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。但数字与数字相乘时，要用“”。2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面。3）除法运算写成分数形式。4)带分数与字母相乘时，要把带分数写成假分数。5)在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在后面，若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在后面。（3）列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式。【注】抓住题中表示运算关系的关键词：如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。3.2代数式的值 一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。【注】1)代数式中的值随着代数式中字母取值的变化而变化。所以求代数式值时，在代入前必须写出“当时”。2）代数式里字母的取值必须确保代数式有意义。3.3整式1单项式（1）如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。注：这类代数式不是单项式（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。（注：包括符号）（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。【注】1）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。（4）单项式的读法：n次单项式（注意是数不是字母）2多项式（1）几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。（要特别注意项的符号）（2）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。（每一项次数都相等，则称多项式为齐次多项式）(3)一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x+2x+18是一个二次三项式。【注】1）多项式的次数不是所有项的次数和。2）多项式的每一项都包括它前面的正负号。3整式 单项式与多项式统称为整式。4升幂排列与降幂排列为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。【注】重新排列的多项式，每一项一定要连同它的正负号一起移动。含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母升幂排列或降幂排列。3.4整式的加减（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。【注】同类项与系数无关，与字母得先后顺序无关（2）合并同类项：根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。【注】系数是1省略不写；符号问题；如果同类项的系数互为相反数，则结果得0合并同类项中，若有的项没有同类项，就保留下来，作为合并后的多项式的一项(3)去括号与添括号1）去括号法则：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号。a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c2）添括号法则：所添括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括h号前是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号。a+b+c= a+(b+c) a-b-c= a-(b+c)（4）整式的加减 先去括号，再合并同类项。（5）多项式的求值关于多项式的求值问题，可先合并同类项（即先化简），后代入求值，比较简便合并同类项时，特别是当多项式的项比较多时，注意不要丢项，可先作出标记，再按照法则加以合并，熟练以后，中间过程可以简化求值步骤：化简：合并同类项，代入求值总结一、 知识结构二、 概括1整式中，只含一项的是单项式，否则是多项式分母中含有字母的代数式不是整式，当然也不是单项式或多项式2单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数3单项式的系数包括它前面的符号，多项式中每一项的系数也包括它前面的符号4去（添）括号时，要特别注意括号前面是“”号的情形：去括号时，括号里各项都改变符号；添括号时，括到括号里的各项都改变符号第四章 图形的初步认识1生活中常见的立体图形（1）球体（2）柱体：包括圆柱和棱柱。1）圆柱：有两个底面是圆，侧面是曲面。2）棱柱：上下两个底面是两个平行且相同的多边形，侧面是平行四边形。棱柱可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。（3）椎体：包括圆锥和棱锥。1）圆锥：有一个底面是圆，侧面是曲面。2）棱锥：底面是多边形，侧面是三角形。棱锥可按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。（4）多面体：由平的面围成的立体图形。2画立体图形（1）视图：就是从正面、上面、和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图。 正视图：从正面看到的图形。俯视图：从上面看到的图形。侧视图：从侧面看到的图形。依观看方向不同，有左视图、右视图。三视图：通常把正视图、俯视图、与左（或右）视图称作一个物体的三视图。（2） 球体的三视图都是圆。正方体的三视图都是正方形 圆柱体的正视图和左视图都是长方体，俯视图是圆。圆锥体的正视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，中心有一个点。3由视图到立体图形主视图：可分清物体的长与高。俯视图：可分清物体的长与宽。左视图：可分清物体的宽与高。4立体图形的表面展开图多面体是由平面图形围成的的立体图形，沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体的表面展开成一个平面图形，这个平面图形叫做多面体的表面展开图。5平面图形 （1）圆是由曲线围成的封闭图形。（2）多边形：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。按照组成多边形的边的个数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形在多边形里，三角形是最基本的图形，每个n边形都可以分割成(n-2)个三角形。6最基本的图形点和线（1）点：通常表示一个物体的位置。（2）线段、射线、直线线段：有两个端点，不向任何一方延伸，可度量。有两种表示方法线段AB（BA），或线段a。aABOA射线：有一个端点，向一方无限延伸，不可度量。有一种表示方法射线OA.。lAB直线：没有端点，向两方限延伸，不可度量。有两种表示方法直线AB(BA)，直线l。（3）公理1：两点之间，线段最短。公理2：经过两点有且只有一条直线。（4）线段长短的比较1) 度量法2）叠合法，就是把其中一条线段移到另一条线段上，使其一个端点重合，然后去加以比较。（5）画一条线段等于已知线段。已知：线段MN,求作：一条线段AC，使AC=MN。做法：1）画一条射线AB2)用圆规量出线段MN的长3）在射线AB上截取AC=MN，则线段AC就是要画的线段。（6）线段中点 把一条线段分成相等的点，叫做这条线段的中点。7角（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形。（2）角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的中边。【注】角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短无关。（3）角的表示方法1）用数字表示单独的一个角。如1，2等2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如，等3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只有一个角）的角。如O，A等。4）用三个大写的英文字母表示任意一个角，但必须把表示角的顶点的字母写在中间。如 AOB，BOC等。（4）角的分类锐角 < <直角 =钝角 <<平角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角。 = 周角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。 （5）角的度量 1周角= 1平角= 。（6）用角表示方向一般以正北、正南为基准，向东或向西旋转的角度表示方向。例如，北偏东。（7）角的比较1）度量法2）叠合法 把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧。（8）画一个角等于已知的角已知：AOB求作：CDE=AOB作法：1）画射线DE 2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。3）以点D为圆心，以OM长为半径作弧，交DE于P。4）以点P为圆心，以MN长为半径作弧，交前一条弧于Q。5）经过点Q画射线DC。则CDE为所求。（9）角的平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。（10）角的特殊关系1）互为余角：两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。互为补角：两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。2）等角或同角的余角相等。 等角或同角的补角相等。3）对顶角 两条直线相交得到的，有公共的顶点，没有公共边的两个角。4）对顶角相等8相交线（1）两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。若直线AB、CD互相垂直。记作“”（2）垂线的性质在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简述为“垂线段最短”。（3）点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。9相交线中的角12435678lab直线l截直线a、b得到八个角。同位角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的同一方，这样位置的一对角叫做同位角。如1与5，2与6，3与7，4与8。内错角：在截线l的两侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做内错角。如5与3，6与4。同旁内角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做同旁内角。如3与6，4与5。10平行线（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。若直线a与直线b互相平行，记作“/b”。【注】1）在同一平面内两条直线的位置关系只有平行与相交。 2）线段、射线平行是指它们本身所在的直线平行。（2）平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（3）画一条直线与已知直线平行 一贴二靠三推四画（4）平行线的判定同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 垂直于同一条直线的两条直线平行（5）平行线的性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补