《备课参考》2015年秋（人教版）数学 九年级上册21.2 解一元二次方程同步习题（有答案）.doc

212解一元二次方程212.1配方法第1课时直接开平方法1若x2a(a0)，则x就叫做a的平方根，记为x_(a0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法2直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为_两个一元一次方程_3如果方程能化为x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么x_或mxn_知识点1：可化为x2p(p0)型方程的解法1方程x2160的根为( C )Ax4Bx16Cx4 Dx82方程x2m0有实数根的条件是( D )Am0 Bm0Cm0 Dm03方程5y23y23的实数根的个数是( C )A0个 B1个C2个 D3个4若4x280成立，则x的值是_5解下列方程：(1)3x227；解：x13，x23 (2)2x2412；解：x12，x22 (3)5x283.解：没有实数根 知识点2：形如(mxn)2p(p0)的解法6一元二次方程(x6)216可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x64，则另一个一元一次方程是( D )Ax64 Bx64Cx64 Dx647若关于x的方程(x1)21k没有实数根，则k的取值范围是( D )Ak1 Bk1Ck1 Dk18一元二次方程(x3)28的解为_x32_9解下列方程：(1)(x3)290；解：x16，x20 (2)2(x2)260；解：x12，x22 (3)x22x12.解：x11，x21 10(2014白银)一元二次方程(a1)x2axa210的一个根为0，则a_1_11若的值为0，则x_2_12由x2y2得xy，利用它解方程(3x4)2(4x3)2，其根为_x1_13在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*ba2b2，根据这个规则，方程(x2)*50的根为_x13，x27_14下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C )Ax230 B(x1)240Cx22x0 D(x1)2(2x1)215(2014枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x1)215的两个解，且x1x2，下列说法正确的是( A )Ax1小于1，x2大于3Bx1小于2，x2大于3Cx1，x2在1和3之间Dx1，x2都小于316若(x2y23)216，则x2y2的值为( A )A7 B7或1C1 D1917解下列方程：(1)3(2x1)2270；解：x11，x22 (2)(x)(x)10；解：x12，x22 (3)x24x4(32x)2；解：x11，x2 (4)4(2x1)29(2x1)2.解：x1，x2 18若2(x23)的值与3(1x2)的值互为相反数，求的值解：由题意得2(x23)3(1x2)0，x3.当x3时，；当x3时，0 19如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a6，b4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长解：(1)ab4x2(2)依题意有ab4x24x2，将a6，b4代入，得x23，解得x1，x2(舍去)，即正方形的边长为 第2课时配方法1通过配成_完全平方形式_来解一元二次方程的方法叫做配方法2配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上_一次项系数的一半的平方_，使左边配成一个完全平方式，写成_(mxn)2p_的形式；(3)若p_0，则可直接开平方求出方程的解；若p_0，则方程无解知识点1：配方1下列二次三项式是完全平方式的是( B )Ax28x16Bx28x16Cx24x16 Dx24x162若x26xm2是一个完全平方式，则m的值是( C )A3 B3C3 D以上都不对3用适当的数填空：x24x_4_(x_2_)2；m2_3_m(m_)2.知识点2：用配方法解x2pxq0型的方程4用配方法解一元二次方程x24x5时，此方程可变形为( D )A(x2)21 B(x2)21C(x2)29 D(x2)295下列配方有错误的是( D )Ax22x30化为(x1)24Bx26x80化为(x3)21Cx24x10化为(x2)25Dx22x1240化为(x1)21246(2014宁夏)一元二次方程x22x10的解是( C )Ax1x21Bx11，x21Cx11，x21Dx11，x217解下列方程：(1)x24x20；解：x12，x22 (2)x26x50.解：x13，x23 知识点3：用配方法解ax2bxc0(a0)型的方程8解方程3x29x10，两边都除以3得_x23x0_，配方后得_(x)2_9方程3x24x20配方后正确的是( D )A(3x2)26 B3(x2)27C3(x6)27 D3(x)210解下列方程：(1)3x25x2；解：x1，x21 (2)2x23x1.解：x11，x2 11对于任意实数x，多项式x24x5的值一定是( B )A非负数 B正数C负数 D无法确定12方程3x2x6，左边配方得到的方程是( B )A(x)2 B(x)2C(x)2 D(x)2613已知方程x26xq0可以配方成(xp)27的形式，那么x26xq2可以配方成下列的( B )A(xp)25 B(xp)29C(xp2)29 D(xp2)2514已知三角形一边长为12，另两边长是方程x218x650的两个实数根，那么其另两边长分别为_5和13_，这个三角形的面积为_30_15当x_2_时，式子200(x2)2有最大值，最大值为_200_；当y_1_时，式子y22y5有最_小_值为_4_16用配方法解方程：(1)x22x；解：x1，x22 (2)3y212y.解：y1y2 17把方程x23xp0配方得到(xm)2，求常数m与p的值解：m，p 18试证明关于x的方程(a28a20)x22ax10，无论a为何值，该方程都是一元二次方程解：a28a20(a4)240，无论a取何值，该方程都是一元二次方程 19选取二次三项式ax2bxc(a0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方例如：选取二次项和一次项配方：x24x2(x2)22；选取二次项和常数项配方：x24x2(x)2(24)x，或x24x2(x)2(42)x；选取一次项和常数项配方：x24x2(x)2x2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x28x4的两种不同形式的配方；(2)已知x2y2xy3y30，求xy的值解：(1)x28x4x28x16164(x4)212；x28x4(x2)24x8x(x2)24x(2)x2y2xy3y30，(x2xyy2)(y23y3)0，(xy)2(y2)20，又(xy)20，(y2)20，xy0，y20，x1，y2，则xy(1)21 212.2公式法1一元二次方程ax2bxc0(a0)，当_b24ac0_时，x，这个式子叫做一元二次方程ax2bxc0的_求根公式_2式子_b24ac_叫做一元二次方程ax2bxc0根的判别式，常用表示，0ax2bxc0(a0)有_有两个不等的实数根_；0ax2bxc0(a0)有_两个相等的实数根_；0ax2bxc0(a0)_没有实数根_知识点1：根的判别式1下列关于x的方程有实数根的是( C )Ax2x10Bx2x10C(x1)(x2)0 D(x1)2102(2014兰州)一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )Ab24ac0 Bb24ac0Cb24ac0 Db24ac03一元二次方程x24x50的根的情况是( D )A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根4利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)9x26x10；解：a9，b6，c1，(6)24910，此方程有两个相等的实数根 (2)8x24x3；解：化为一般形式为8x24x30，a8，b4，c3，42483800，此方程没有实数根 (3)2(x21)5x0.解：化为一般形式为2x25x20，a2，b5，c2，5242(2)410，此方程有两个不相等的实数根 知识点2：用公式法解一元二次方程5方程5x2x23中，a_2_，b_5_，c_3_，b24ac_49_6一元二次方程x2x60中，b24ac_25_，可得x1_3_，x2_2_7方程x2x10的一个根是( B )A1 B.C1 D.8用公式法解下列方程：(1)x23x20；解：x1，x2 (2)8x28x10；解：x1，x2 (3)2x22x5.解：x1，x2 9(2014广东)关于x的一元二次方程x23xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )Am BmCm Dm10若关于x的一元二次方程kx22x10有实数根，则实数k的取值范围是( C )Ak1 Bk1且k0Ck1且k0 Dk1且k011已知关于x的一元二次方程x2bxb10有两个相等的实数根，则b 的值是_2_12关于x 的方程(a1)x24x10有实数根，则a满足的条件是_a5_13用公式法解下列方程：(1)x(2x4)58x；解：x1，x2 (2)(3y1)(y2)11y4.解：y1，y2 14当x满足条件时，求出方程x22x40的根解：解不等式组得2<x<4，解方程得x11，x21，x1 15(2014梅州)已知关于x的方程x2axa20.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根解：(1)a，另一个根为x(2)a24(a2)(a2)240，无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 16关于x的一元二次方程(a6)x28x90有实数根(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根解：(1)关于x的一元二次方程(a6)x28x90有实根，a60，(8)24(a6)90，解得a且a6，a的最大整数值为7(2)当a7时，原一元二次方程变为x28x90.a1，b8，c9，(8)241928，x4，即x14，x24 17(2014株洲)已知关于x的一元二次方程(ac)x22bx(ac)0，其中a，b，c分别为ABC三边的长(1)如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；(3)如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根解：(1)ABC是等腰三角形理由：x1是方程的根，(ac)(1)22b(ac)0，ac2bac0，ab0，ab，ABC是等腰三角形(2)方程有两个相等的实数根，(2b)24(ac)(ac)0，4b24a24c20，a2b2c2，ABC是直角三角形(3)当abc时，可整理为2ax22ax0，x2x0，解得x10，x21 212.3因式分解法1当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为_两个一次因式_的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做_因式分解_法2解一元二次方程，首先看能否用_直接开平方法_；再看能否用_因式分解法_；否则就用_公式法_；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用_配方法_知识点1：用因式分解法解一元二次方程1方程(x2)(x3)0的解是( C )Ax2Bx3Cx12，x23 Dx12，x232一元二次方程x(x5)5x的根是( D )A1 B5C1和5 D1和53(2014永州)方程x22x0的解为_x10，x22_4方程x22x10的根是_x1x21_5用因式分解法解下列方程：(1)x240；解：x12，x22 (2)x22x0；解：x10，x22 (3)(3x)290；解：x10，x26 (4)x24x4(32x)2.解：x11，x2 知识点2：用适当的方法解一元二次方程6解方程(x1)25(x1)60时，我们可以将x1看成一个整体，设x1y，则原方程可化为y25y60，解得y12，y23.当y2时，即x12，解得x1；当y3时，即x13，解得x2，所以原方程的解为x11，x22.利用这种方法求方程(2x1)24(2x1)30的解为( C )Ax11，x23 Bx11，x23Cx11，x22 Dx10，x217用适当的方法解方程：(1)2(x1)212.5；解：用直接开平方法解，x13.5，x21.5 (2)x22x1680；解：用配方法解，x112，x214 (3)x22x；解：用因式分解法解，x10，x2 (4)4x23x20.解：用公式法解，x1，x2 8方程x(x1)x1的解为( D )Ax1 Bx1Cx10，x21 Dx11，x219用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )A(2x2)(3x4)0化为2x20或3x40B(x3)(x1)1化为x31或x11C(x2)(x3)23化为x22或x33Dx(x2)0化为x2010一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x2)(x4)0的根，则这个三角形的周长是( C )A11 B11或13C13 D以上都不对11(2014陕西)若x2是关于x的一元二次方程x2axa20的一个根，则a的值是( B )A1或4 B1或4C1或4 D1或412已知x1是关于x 的方程(1k)x2k2x10的根，则常数k的值为_0或1_13已知(x22x3)0x23x3，则x_2_14用因式分解法解下列方程：(1)x23xx4；解：x1x22 (2)(x3)23(x3)解：x13，x26 15用适当的方法解下列方程：(1)4(x1)22；解：x1，x2 (2)x26x40；解：x13，x23 (3)x243x6；解：x11，x22 (4)(x5)2x225.解：x15，x20 16一跳水运动员从10 m高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m)与所用时间t(单位：s)的关系是h5(t2)(t1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？ 解：依题意，得5(t2)(t1)0，解得t11(不合题意，舍去)，t22，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s 17先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2(ab)xab(xa)(xb)，所以方程x2(ab)xab0可以这样解：(xa)(xb)0，xa0或xb0，x1a，x2b.问题：(1)用因式分解法解方程x2kx160时，得到的两根均为整数，则k的值可以为_15，6，0，6，15_；(2)已知实数x满足(x2x)24(x2x)120，则代数式x2x1的值为_7_专题训练(一)一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1用直接开平方法解方程：(1)(4x1)2225；解：x14，x2 (2)(x2)28；解：x122，x222 (3)9x26x19；解：x1，x2 (4)3(2x1)220.解：x1，x2 2用配方法解方程：(1)2t23t1；解：t1，t21 (2)2x25x10；解：x1，x2 (3)(2x1)(3x1)36x；解：x1，x2 (4)(2x1)2x(3x2)7.解：x14，x22 3用公式法解方程：(1)x26x1; 解：x13，x23 (2)0.2x20.10.4x；解：x1，x2 (3)x22x2.解：原方程无实数根 4用因式分解法解方程：(1)(x1)22(x1)0；解：x13，x21 (2)5x(x3)(x3)(x1)；解：x13，x2 (3)(x2)210(x2)250.解：x1x23 5用适当的方法解方程：(1)2(x3)2x29；解：x13，x29 (2)(2x1)(4x2)(2x1)22；解：x1，x2 (3)(x1)(x1)2(x3)8.解：x11，x23 二、配方法的应用(一)最大(小)值6利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值解：x2x1(x)2，(x)20，(x)20，故结论成立当x时，x2x1有最大值 7对关于x的二次三项式x24x9进行配方得x24x9(xm)2n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x24x9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)x24x9(xm)2nx22mxm2n，2m4，m2n9，m2，n5(2)m2，n5，x24x9(x2)25，当x2时，有最小值是5 (二)非负数的和为08已知a2b24a2b50，求3a25b25的值解：a2b24a2b50，(a24a4)(b22b1)0，即(a2)2(b1)20，a2，b1.3a25b243(2)2512512 9若a，b，c是ABC的三边长且满足a26ab28b250，请根据已知条件判断其形状解：等式变形为a26a9b28b160，即(a3)2(b4)20，由非负性得(a3)20，(b4)20，0，a3，b4，c5.324252，即a2b2c2，ABC为直角三角形 212.4一元二次方程的根与系数的关系1若一元二次方程x2pxq0的两个根分别为x1，x2，则x1x2_p_，x1x2_q_2若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个根分别为x1，x2，则x1x2_，x1x2_3一元二次方程ax2bxc0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即_ax2bxc0_；(2)二次方程，即_a0_；(3)有根，即_b24ac0_知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1已知x1，x2是一元二次方程x22x10的两根，则x1x2的值是( C )A0B2C2D42(2014昆明)已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个实数根，则x1x2等于( C )A4 B1 C1 D43已知方程x26x20的两个解分别为x1，x2，则x1x2x1x2的值为( D )A8 B4 C8 D44已知x1，x2是方程x23x40的两个实数根，则(x12)(x22)_6_5不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x23x10；解：x1x23，x1x21 (2)2x24x10；解：x1x22，x1x2 (3)2x235x2x.解：x1x2，x1x21 6已知x1，x2是一元二次方程x23x10的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x12x22；(2).解：(1)x12x22(x1x2)22x1x211(2)3 知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7已知关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根互为相反数，则( B )Ab0 Bb0 Cb0 Dc08已知一元二次方程x26xc0有一个根为2，则另一根和c分别为( C )A1，2 B2，4 C4，8 D8，169若关于x的一元二次方程x2bxc0的两个实数根分别为x12，x24，则bc的值是( A )A10 B10 C6 D110(2014烟台)关于x的方程x2ax2a0的两根的平方和是5，则a的值是( D )A1或5 B1 C5 D111若关于x的一元二次方程x24xk30的两个实数根为x1，x2，且满足x13x2，试求出方程的两个实数根及k的值解：由根与系数的关系得又x13x2，联立，解方程组得kx1x233136 12已知一元二次方程x22x20，则下列说法正确的是( D )A两根之和为2 B两根之积为2C两根的平方和为0 D没有实数根13已知，满足6，且8，则以，为两根的一元二次方程是( B )Ax26x80 Bx26x80Cx26x80 Dx26x8014设x1，x2是方程x23x30的两个实数根，则的值为( B )A5 B5 C1 D115方程x2(m6)xm20有两个相等的实数根，且满足x1x2x1x2，则m的值是( C )A2或3 B3C2 D3或216(2014呼和浩特)已知m，n是方程x22x50的两个实数根，则m2mn3mn_8_17在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为8，1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为_x29x80_18已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个实数根，求(x1x2)2()的值解：由根与系数的关系得x1x24，x1x21，(x1x2)2()x1x2(x1x2)4 19已知关于x的一元二次方程x22kxk222(1x)有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1x2|x1x21，求k的值解：(1)方程整理为x22(k1)xk20，由题意得4(k1)24k20，k(2)由题意得x1x22(k1)，x1x2k2，|x1x2|x1x21，|2(k1)|k21，k，2(k1)k21，整理得k22k30，解得k13，k21(舍去)，k3 20设x1，x2是方程x2x20150的两个实数根，求x132016x22015的值解：x2x20150，x2x2015，xx22015.又x1，x2是方程x2x20150的两个实数根，x1x21，x132016x22015x1x122016x22015x1(x12015)2016x22015x122015x12016x22015x120152015x12016x220152016(x1x2)201520152016