2018届高考数学(文)命题猜想 专题23 主观题的解题方法与技巧.pdf

20182018 届高考数学（文）命题猜想届高考数学（文）命题猜想 专题专题 2323 主观题的解题方法与技巧主观题的解题方法与技巧 【题型概述】【题型概述】 1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分 高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分， 无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写. 2.不求巧妙用通法，通性通法要强化 高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参 考答案一致，比较容易抓住得分点. 3.干净整洁保得分，简明扼要是关键 若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏 .若写错需改正，只需 划去，不要乱涂乱划，否则易丢分. 4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题 (1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3 个解答题及 选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第()问一般难度不大，要保证得分，第()问若不会，也要根据条件 或第()问的结论推出一些结论，可能就是得分点. 【高考命题热点一】【高考命题热点一】三角函数、解三角形三角函数、解三角形 【例 1】(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为. 3sinA (1)求 sinBsinC； (2)若 6cosBcosC1，a3，求ABC的周长. a2 【特别提醒】 1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式 及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应 用到余弦定理及三角形的面积公式. 2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些 题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解. 3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给 分，所以在解答题时一定要写清得分关键点， 如第(1)问中， 没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点)， 则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点才得分. 【解题程序】 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求C的余弦值，得角C的值. 3 3 第四步：利用三角形的面积为，求出ab的值； 2 第五步：根据c 7，利用余弦定理列出a，b的关系式； 第六步：求(ab) 的值，进而求ABC的周长. 【变式探究】 (2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cosC(acosB bcosA)c. 2 (1)求C； (2)若c 7，ABC的面积为3 3，求ABC的周长. 2 【高考命题热点二】数【高考命题热点二】数列列 1 【例 2】(2016全国卷)已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足b11，b2 ，anbn1bn 3 1nbn. (1)求an的通项公式； (2)求bn的前n项和. 1 解：(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2 ， 3 a12， 所以数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列， 因此an的通项公式an23(n1)3n1. (2)由(1)和anbn1bn1nbn， nbnbnbn 1 1 得bn1 0，则 ， 1an3bn3 1 因此数列bn是首项为 1，公比为 的等比数列， 3 设数列bn的前n项和为Sn，则 Sn 1 1 3 n 31 n1. 1223 13 【特别提醒】 1.牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌 握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断bn1 1 . bn3 2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些 题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得bn1与bn的关系. 3.写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得 1 分的根本保证.如本题第(1)问要写出a1b2b2b1，b11，b2 ，才能得出a1，并指出数列an的性质，否 3 则不能得全分.第(2)问中一定要写出求bn1 的步骤并要指明bn的性质；求Sn时，必须代入求和公式而 3 不能直接写出结果，否则要扣分. 【解题程序】 第一步：将n1 代入关系式anbn1bn1nbn，求出a1的值； 第二步：利用等差数列的通项公式求出an； 第三步：将第(1)问中求得的an代入关系式anbn1bn1nbn，求得bn1与bn的关系； 第四步：判断数列bn为等比数列； 第五步：代入等比数列的前n项和公式求Sn. 第六步：反思检验，规范解题步骤. 【变式探究】 (2016浙江卷)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN . (1)求通项公式an； (2)求数列|ann2|的前n项和. * bn 【高考命题热点三】立体几何【高考命题热点三】立体几何 【例 3】(2017天津卷)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为 棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. (1)求证：MN平面BDE； (2)求二面角CEMN的正弦值； (3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 7，求线段 AH的长. 21 解如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.依 题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)， N(1，2，0). (1)证明DE(0，2，0)，DB(2，0，2). (2)易知n1(1，0， 0)为平面CEM的一个法向量. 设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的一个法向量， n 2EM0， 则 n 2MN0， 因为EM(0，2，1)，MN(1，2，1)， 2y1z10， 所以 x12y1z10. 不妨设y11，可得n2(4，1，2). n 1n2 4 因此 cosn1，n2， |n1|n2| 21 于是 sinn1，n2 105. 21 105. 21 所以，二面角CEMN的正弦值为 (3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0，0，h)，进而可得NH(1，2，h),BE(2，2，2). |NHBE| 由已知，得|cosNH，BE| |NH|BE| 7 ， h252 3 21 |2h2| 81 2 整理得 10h21h80，解得h ，或h . 52 81 所以，线段AH的长为 或 . 52 【特别提醒】 1.写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没 分，所以对于得分点步骤一定要写.如第(1)问中的ACBD，ADCD，ACEF；第(2)问中的AB，AC，AD的坐 标，及两平面法向量的坐标. 2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，立体几何解答题的第(2)问建系，要用到第(1)问中的垂直 关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系，如本题即是在第(1)问的基础上建系. 3.写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分 .所以在解立体几何类解答题时，一 定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断DH平面ABCD的三个条件，写不全则不能得全分， mn 如OHEFH一定要有，否则要扣 1 分；第(2)问中不写出 cosm，n这个公式，而直接得出余 |m|n| 弦值，则要扣 1 分. 【解题程序】 第一步：利用平面几何性质，得ACEF. 第二步：借助数学计算，证明DHOH. 第三步：根据线面垂直的判断定理，得DH平面ABCD. 第四步：依题设建系，确定相关点、直线方向向量的坐标. 第五步：分别计算求得平面ABD与平面ACD的法向量. 第六步：由法向量夹角的余弦，得到二面角的正弦值. 【变式探究】 (2016全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E， F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD 10. 5 4 (1)证明：DH平面ABCD； (2)求二面角BDAC的正弦值. mAB0， 3x14y10， 即 3x1y13z10， mAD0， 所以可取m(4，3，5). 设n(x2，y2，z2)是平面ACD的一个法向量，则 6x20， nAC0， 即 3xy3z0， 2 nAD0， 22 所以可取n(0，3，1) mn147 5 于是 cosm，n. |m|n|25 50 10 2 95 sinm，n. 25 2 95 因此二面角BDAC的正弦值是. 25 【高考命题热点四】【高考命题热点四】概率与统计概率与统计 【例 4】(2017天津卷)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路 111 口遇到红灯的概率分别为 ， ， . 234 (1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. 解(1)随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3， 【特别提醒】 1.正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解 决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第 (1)问就是 求解离散型随机变量的分布列，其关键是准确写出随机变量X的取值及正确求其概率. 2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些 题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用分布列求概率之和来求解. 3.注意将概率求对：与离散型随机变量有关的问题，准确求出随机变量取值的概率是关键.本题第(1) 问，要做到：一是随机变量取值要准，二是要明确随机变量取每个值的意义，同时也要注意事件的独立性 . 在(1)，(3)问中概率、期望值要写出求解过程，不能直接写出数值. 【解题程序】 第一步：设出基本事件，明确事件间的关系及含义. 第二步：求出各个事件发生的概率. 第三步：列出随机变量X的分布列. 第四步：解关于n的不等式，求出n的最小值. 第五步：讨论n19 与n20 时的费用期望，做出判断决策. 第六步：检验反思，明确步骤规范. 【变式探究】 (2016全国卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足 再购买，则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机 器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台 机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列； (2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19 与n20 之中选其一，应选用哪个？ P(X16)P(A 1)P(B1)0.20.20.04， P(X17)P(A 1)P(B2)P(A2)P(B1)0.20.40.40.20.16， P(X18)P(A 1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)0.20.20.40.40. 20.20.24， P(X19)P(A 1)P(B4)P(A2)P(B3)P(A3)P(B2)P(A4)P(B1)0.20.20.40.20.20.4 0.20.20.24， P(X20)P(A 2)P(B4)P(A3)P(B3)P(A4)P(B2)0.40.20.20.20.20.40.2， P(X21)P(A 3)P(B4)P(A4)P(B3)0.20.20.20.20.08. P(X22)P(A 4)P(B4)0.20.20.04. 所以X的分布列为 X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)要令P(Xn)0.5，因为 0.040.160.241， 是常数).当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为C . (1)求曲线C的轨迹方程； (2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线C的交点为A，B两点，探究OAB的面积是否为定值.若 是，求OAB的面积，若不是，请说明理由. 当直线l的斜率存在时，设l：ykxm， 得(4k1)x8kmx4(m1)0， 由 0，可得m4k1. 22 222 得(4k1)x8kmx4(m )0. 8km4（m ） x1x2 2 ，x1x2. 2 4k14k1 16（4k1）（ 1） 则|AB| 1k 2 4k1 2 22 22 2222 4 1k 1 ， 2 4k1 |m| 1k 4k1， k21 2 22 原点到直线l的距离为d 2 1 2 所以SOAB |AB|d2 1. 2 综上所述，OAB的面积为定值 2 1. 2 【高考命题热点六】【高考命题热点六】函数与导数函数与导数 【例 6】(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)e a(x1) 有两个零点. (1)求a的取值范围. (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2<2. x2 【特别提醒】 1.牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键， 因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题第(1)问就涉及对函数的求导. 2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些 题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解. 3.注意分类讨论：高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所 以一定要重视分类讨论. 4.写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、极值、最值、题目的结论等 一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚，如本题中的得分点等. 【解题程序】 第一步，准确求出函数f(x)的导数. 第二步，讨论a的取值，分情况讨论函数的单调性、极值，从而判断函数零点，确定a的取值范围. 第三步，将结论x1x2<2 转化为判定f(2x2)1 时，g(x)<0. x 第五步，写出结论，检验反思，规范步骤. 【变式探究】 已知函数f(x)axxlnx的图象在点xe(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数a的值； (2)若kZ，且kf（x）对任意x1 恒成立，求k的最大值. x1