北京第十八中学高三数学第一轮复习 66 数学归纳法教案(学生版).doc
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北京第十八中学高三数学第一轮复习 66 数学归纳法教案(学生版).doc
教案66 数学归纳法一、课前检测1在数列中,=1,(),求。解:2在数列中,=1,求。解:二、知识梳理(一)基本知识1.归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点:特殊一般2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5.数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(kn0,kN*)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:(1)证明:当n取第一个值n0结论正确;(2)假设当n=k(kN*,且kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.(二)解读(1)用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤:第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立;第二步从n=k(kn0)时命题成立的假设出发,推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性,是归纳的基础;第二步则是推证命题正确性的可传递性,是递推的依据。两个步骤各司其职,缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。(2)在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中,必须利用“归纳假设”,即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件,而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。(3)“观察归纳猜想证明”是一种十分重要的思维方法,运用这种思维方法既能发现结论,又能证明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容,也是近几年高考的一个考查重点。(4)用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.(5)没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1 用数学归纳法证明:错证:(1)当n=1时,左=右=1,等式成立(2)假设当n=k时等式成立,那么当n=k+1时,综合(1)(2),等式对所有正整数都成立点拨:错误原因在于只有数学归纳法的形式,没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中,没有运用归纳假设(6)归纳起点未必是1。问题2:用数学归纳法证明:凸n边形的对角线条数为点拔:本题的归纳起点三、典型例题分析题型1 证明等式问题例1 用数学归纳法证明证明:(1)(2)变式训练1 在数列中,求数列的通项公式。解:猜想:小结与拓展:(1)数学归纳法证明命题,格式严谨,必须严格按步骤进行;(2)归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形;(3)由k推导到k+1时,有时可以“套”用其它证明方法,如:比较法、分析法等,表现出数学归纳法“灵活”的一面。找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。(4)“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式。题型2 证明不等式问题例2 (2010年北京调研20)数列满足:,.()若数列为常数列,求的值;()若,求证: (.)。解:()()变式训练2 对于不等式n1(nN*),某同学的证明过程如下:证明:(1)当n1时,11,不等式成立(2)假设当nk(kN*)时,不等式成立,即k1,则当nk1时,(k1)1,当nk1时,不等式成立综上所述,不等式对任何自然数n都成立。则上述证法( )A过程全部正确 Bn1验得不正确C归纳假设不正确 D从nk到nk1的推理不正确小结与拓展:题型3 数学归纳法的综合应用例3 是否存在常数a,b,c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对于一切正整数n都成立?并证明你的结论证明:变式训练3 设函数f(n)(2n9)3n19,当nN*时,f(n)能被m(mN*)整除,猜想m的最大值为( )A9 B18 C27 D36小结与拓展:四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)(一)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法。(二)数学归纳法分为两个步骤:(1)证明当n取第一个允许值n0时,结论正确。(注意n0不一定是1,也可能是其他的自然数。)(2)假设当n=k(kN, kn0)时命题正确,根据假设,证明n=k+1时,结论也正确。由以上两步得出结论:任何nn0的自然数,命题均成立。数学归纳法只有第一步,属不完全归纳法;只有第二步,递推过程就失去了基础。先为推理建立初始条件,然后依据最初的条件从有限递推到无限,是这种证明方法的精髓,是它思想方法的闪光点。即:第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可。- 5 -用心 爱心 专心