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三角函数恒等变换的分析与启示 袁爱玲 三角函数是高中数学重点，是高考必考的知识块，其主要内容包括三角函数的基本概念、三角函数的化简、求值、证明，三角函数的图像和性质及三角函数在实际问题中的应用。其中三角函数化简求值及证明要求较高，不仅公式多，而且表达式的变换中蕴含着较多的数学思想方法。本文结合具体的例题从三个角度即“角”的变换、“名称”的变换、“次数”的变换一“角”的变换例1若则 分析：本题是給值求值题，据给已知角，求角的特点，发现它们两者之间的内在联系，用已知角表示所求角即可解：思路一 有得思路二： 令则由已知得故=。点评：思路一利用已知角“”与目标角“”之间架设一个桥梁，引进中间角“”进而转化为利用诱导公式求解；思路二通过换元法将目标角用已知角表示出来，两者的关系一目了然，运算简单，快捷，不易出错，故所选思路二求解例2 设其中求 分析：已知角“而目标角为，探求两者的关系可知问题即可迎刃而解。解：由知故，所以 故点评：在三角函数求值中，要善与抓住“角”的变换，根据已知角和目标角的特征，探寻两者之间的关系，找准解题的方向和思路在具体求的过程中，要善与根据角的范围确定三角函数值的符号。二“名称”的变换例3 若已知都是锐角，且求的值分析：这是一个給值求角的问题，则必须先求的某一个三角函数值，然后再由的范围确定的值思路一：由已知条件，故故又， 故思路二：同上可得又，可知或，而故点评：求题涉及到三角函数的名称选择，有两种思路可以看出名称的选择对运算的繁简程度影响较大，而且如果选择不恰当，运算推理能力差，还可能出现增解的错误。故在选取函数时，一般遵照以下原则：（1） 已知正切函数值时，一般选正切函数，（2） 已知正、余弦函数值，选正弦时、还是余弦函数一般要根据角的范围确定，若角的范围是选正、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数较好；若角的范围是选正弦函数较好。解决问题时要善与准确确定角的范围，要尽量使所求角与三角函数值一一对应，否则需根据隐含条件缩小角的范围。例4 已知求下列各式的值。 （1） （2） （3）分析：本题是已知的值，求目标式是关于和构成的齐次式，故可将目标式用表示，进而求值。 解：（1）由题意知，把分子、分母同除以，则原式=；（2）；（3） 原式= =。点评：在求有关和的齐次式问题时，要善于“1”的代换等手段转化为的表达式即将“弦”化为“切”，通过名称的变换转化为“一元”的问题求解。例4 已知是关于的方程求的值。分析：由已知条件及一元二次方程中根与系数的关系可求出的值，再将目标式转化为和的关系式即可 解： 由已知，原方程判别式即或又代入即的，故 （舍） 所以故点评：（1）要善于抓注之间内在联系，即，（2） 遇到表达式中既有“弦”又有“切”的问题时，要善于将两者进行转化，即“切化为弦”“弦化为切”即为名称的转换。三 “次数”的变换例5 化简下列各式 (1)， (2)，（3）。分析:这三道题目中表达式的结构比较复杂，有根式，有高次问题遇到这类问题一般要通过升幂、将幂等手段达到化简的目地。解：(1) 原式-=(2) 原式= = = = =，（1） 原式= =。点评:(1)化简根式、通过升幂手段将被开方式配成完全平方式一般用到，等公式（2）当次数较高时，一般选择将幂公式即 ，等求解牛刀小试：1 PACB如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知，设， 均为锐角（1）求；（2）求的值2已知是锐角,向量，（1） 若求的值；（2） 若求的值3若 化简=答案 1（1） （2） 2 (1) （2）3