23个典型的数列专题.doc

23个典型的数列专题解答1、等差数列中，前三项依次为，求：解：由等差数列中项公式得：，则：.首项为：，公差为：；则数列通项为：. 故：.由等差数列公式就可以通解.2、前100个自然数（1到100）中，除以7余2的所有数之和S是？解：这些数构成的数列为：；在100之内，n的最大数m为：，即;这些数之和S为：余数是常数的问题要转化为等差数列问题.3、在等差数列中，前n项和为. 若，则最大时，解：等差数列通项为：，求和公式为：；则：，即：，即：；，即：，即：.故最大时，.通项公式和求和公式都要很熟啊.4、数列的通项公式，若它的前n项和为，求： 解：通项：；则：，于是：相当于裂项法.5、等差数列，其公差不为0，其中，、依次构成等比数列，求公比解：等差数列通项：，则：，构成等比数列，则：，即：；即：.因为，故：；所以：.由比例中项直接列式，导出与的关系. 6、已知等差数列的前n项和，且,. 设，求证：是等比数列，并求其前n项和.证明：通项：，求和公式：；则：，即：，故：.于是：；则：，则：，故是首项为，公比为,的等比数列，通项为：.其求和公式：7、若，且两个数列：和均为等差数列，求：解：设两个等差数列的公差分别为：和，则:,.故：利用等差数列的等差性质来求本题.8、已知正项数列的前n项和满足：，且、成等比数列，求数列的通项解：由已知： 由-：移项合并：，即：由于正项数列，所以：，即：；由此得到是公差为5的等差数列. 设：，则：，；由、成等比数列得：，即：；即：，故：. 所以：本题由等式条件得出公差是5，由等比条件确定首项. 9、已知数列的前n项和,试求数列的前n项和解：由已知：及： 和：得到上面求和公式可分成两部分，一个求和，一个求和.故：. 那么：；所以：. 要熟悉一些基本的求和公式，还有裂项求和方法. 10、已知数列的前n项和为，其首项，且满足，求通项解：由已知： 由： ；移项合并：，即： 由此递推得：将递推进行到底！11、如果数列中,相邻两项和是二次方程(n=1,2,3)的两个根,当时,试求解：由韦达定理： 由式可得：，即： 式表明：和都是公差为-3的等差数列.又因，代入式可得：，于是得到等差数列为：；.那么： ，代入式得：本题由韦达定理得出为等差数列，算出首项得到，再计算出.12、有两个无穷的等比数列和,其公比的绝对值都小于1,其各项和分别是和,对一切自然数都有：，求这两个数列的首项和公比.解：由和得：，及. 数列的首项设这两个等比数列的通项公式分别为： 将两式代入，并采用赋值法，分别令和得：，即： ，即： 由得： 将式代入式得：因为：，则上式化简为：，即：将代入式得： 这是这两个数列的公比.将和分别代入式和式得：；本题采用赋值法求解.13、已知数列的前n项和为，当时，满足：；求证：数列为等差数列；并求的通项公式解：由得：，即：，则：，.上式表明：是一个首项为2，公差为2的等差数列. 则：，即：，；于是： 故：注意求和化通项的方法.14、已知等比数列的首项，且满足：.（1）求的通项；（2）求的前n项和.解：将、代入上面等式得：化简得：即：整理得：，即：则：或注意求和化通项的方法.第14题第(2)问解答：(2)A.对于等比数列：，其求和公式为： 故：1> 2> 则： 由-得：综合1>和2>得：(2)B.对于等比数列：其求和公式为：故：1> 2> 则： 由+得：故：于是：15、若等差数列的第m项等于k，第k项等于m(其中)，求数列的前项的和。解：等差数列通项为：；则： 由两式相减得：，故：.首项为：，通项为：；则的通项为：前项求和：求公差和求首项是求通项的关键.16、如果数列中,，求通项解：整式递推数列用待定系数法.令：，则：与比较得：令：，则：，于是：，是首项为，公比为的等比数列；其通项为：故：的通项为：待定系数法确定新构建的等比数列通项.17、设数列，且当时满足：，求通项 解：整式递推数列用待定系数法.令：，则：与比较得：，.令：，则：，故：是首项为，公比为3的等比数列.于是：待定系数法是如何构造等比数列的？18、设数列，且满足：，求通项解：本题是二阶递推数列，且看如何解：待定系数法：令：则：与比较系数得：若将、看成是一元二次方程的两个根，则又韦达定理得到这个方程为：，而这正是采用特征根法的特征方程.上述方程的解为：，或：，这两组解推出的数列通项的结果是一样的. 取令：，则，于是：，则是首项为1，公比为2的等比数列，其通项为：，故：，即：再用待定系数法，令：则：与比较得：，令：，则： 由于，于是：即：，故：.现在用特征根法求解：特征方程：，其两个根为：，代入特征根法的二异根解得：用，代入上式，以确定、则：，解得：，故：对于二阶递推数列，采用特征根法比较简洁.19、已知正项数列，且满足：，求通项解：，则：令：，则：，代入上式得： 于是： ；故：这是递推数列的递推法. 另：也可取对数再做20、已知数列中，且满足：，求通项解：将化简为： 用不动点法解不动点方程：；即：，方程的根为二重根：；那么，二重根的不动点解为： （为待定常数） 通分化简得：；即：； 即： 将式与式对比得：. 令：，则：，代入式得：即：是一个首项为、公差为1的等差数列. 故：.代入：，即：不动点法根为二重根时，可构造等差数列解之.21、已知数列中，且满足：，求通项解：将化简为： 用不动点法解不动点方程：；即：，方程的根为二异根：，；设二异根解式满足： ，即： 化简：；即： 比较两式得：令：，则：，代入式得：于是：是首项为、公比为的等比数列，即：. 代入得：不动点法根为二异根时，可构造等比数列求之.22、已知数列中，且满足：，求通项解：将化简为： 用不动点法解不动点方程：；即：，方程的二异根为：，设二异根解式满足： ，即： 化简： 比较两式得: 令：，则：，代入式得：于是：是首项为、公比的等比数列.故：代入，即：得：或 不动点法为二异根时，可构造等比数列求之.23、已知数列中，且满足：，求通项解：由得：或代入得：即：则：递推下去找规律.吧中的数列题吧题1、设数列中的每一项都不为0，证明为等差数列的充要条件是对任何，都有：.证明：若为等差数列，则设：当时，有：，于是成立.当时，于是故，充分条件成立.若，则当时，满足上式，此时是公差为0的等差数列.若，当互不相等时，设，则上式变为：即：于是：对于任何都成立，则：，于是：即：为等差数列. 故必要条件成立.吧题2：对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列.证明：设：，则：由成等差数列得：，即： 由式得：为偶数，则为奇数. 设：，代入式得：即： 由式得：为奇数. 设：，代入式得：，即：即： 由式，得到4种情况：1> 都是偶数；此时，则.2> 都是奇数；此时，则.3> 为奇数，为偶数；此时，则：，故：，于是：，则：，4> 为偶数，为奇数；此时，则：，即：，不符合和综合上述4条：1>和2>不满足，4>不满足，只有3>满足要求，故：，. 证毕.吧题3：设数列满足，其中，求证：证明：设：，则：.代入，即：代入得：等式两边同除以得：. 即：. 代入得： 证毕.吧题4：已知数列对任意正整数都有：，且，求该数列的通项解：由等号两边同时除以得：即： ，即： 令：，则：，代入式得：即：是一个首项为1、公比也是1的等比数列.故：，即：所以，数列的通项是：，是一个等差数列.吧题5：已知数列对任意正整数有：，且，求该数列的通项解：由得： 由式： 由-式得： 即：即： 由式得：则：